Estado Triaxial (“3D”) de Tensões

Teoria Completa

Introdução

Dessa vez, vamos dizer que você é um(a) engenheiro(a) naval e descobriu que o ponto mais crítico do barco do seu cliente está submetido a um estado de tensões:

σ x = + 30   M P a ;     σ y = + 40   M P a ;       &   τ x y = + 50   M P a

Sendo que, além disso, o choque da água ainda gera nesse ponto uma tensão normal no eixo z :

σ z = - 80   M P a

...como mostra a imagem abaixo:

Com isso, nós deixamos de trabalhar com um estado plano de tensões, representado por um quadrado, e passamos a trabalhar com um estado triaxial ou 3D, representado por um cubo.

Agora...

Vamos dizer que o material desse ponto é um material que falha sempre por causa da tensão cisalhante τ .

Então, para saber se esse ponto vai falhar, você precisa descobrir:

Qual é a tensão cisalhante τ máxima nele?

Transformação de Tensões

De início, você pode pensar que a tensão cisalhante máxima nesse ponto é a de 50   M P a no plano x y , por ser a única tensão τ que existe nele:

Mas aí você se lembra!

Essas tensões desenhadas no cubo são só as tensões nesse ponto quando ele está nessa orientação...

Mas se você rotacionar esse cubo (mudar a orientação dele), essas tensões vão se transformar:

  • Uma parte das tensões normais σ podem virar tensões cisalhantes τ (e vice-versa);
  • Ou uma parte de uma tensão em um eixo por virar tensão em outro eixo;
  • Etc.

Assim, vai haver alguma orientação do ponto em que vai surgir uma tensão de cisalhamento máxima τ m á x , possivelmente bem maior que a de 50   M P a .

Então...

Como é que a gente pode analisar as tensões em diferentes orientações desse ponto, para que a gente possa descobrir a tensão τ m á x nele?

Círculo de Mohr para o Estado Triaxial de Tensões

A resposta está em utilizar o Círculo de Mohr, que, para um elemento “3D”, vai ser composto na realidade por 3 círculos.

Mas como assim?

Então...

Lá no estado plano de tensões, o que acontecia era que nós tinhamos 2 tensões principais ( σ 1 e σ 2 ) e o círculo de Mohr era o círculo que existia entre essas duas tensões:

Agora, para o estado triaxial de tensões, nós temos 3 tensões principais:

  • σ 1 ou σ m á x , a tensão principal “máxima”; (que fica mais à direita no gráfico)
  • σ 2 ou σ i n t , a tensão principal intermediária;
  • & σ 3 ou σ m í n , a tensão principal “mínima”; (que pode superar a máxima em intensidade e que fica à esquerda no gráfico)

E aí, entre essas 3 tensões principais, nós conseguimos desenhar 3 círculos:

Juntos, esses 3 círculos são os nossos círculos de Mohr para um estado triaxial de tensões.

Beleza!

Mas como a gente faz para desenhar esses círculos em um caso real?

Vamos ver isso agora!

Como desenhar o Círculo de Mohr “3D”?

1° Caso - Caso Simplificado

Às vezes, o exercício vai nos fornecer um elemento 3D de tensões só com tensões normais σ x , σ y e σ z . (Livre de qualquer tensão de cisalhamento   τ !)

Como, por exemplo, caso a tensão de cisalhamento τ x y no nosso barco não existisse:

Mas espera aí!

As tensões principais são justamente aquelas que aparecem quando o elemento está livre de tensões de cisalhamento!!!!!

Então as tensões σ x , σ y e σ z dadas pelo exercício já vão ser as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 .

Só precisamos ordenar elas! ( σ 1 precisa ser a máxima, σ 2 a intermediária, etc.)

Aí, marcando essas 3 tensões em um gráfico τ   ×   σ , você consegue desenhar os 3 círculos entre elas:

E pronto! Círculos de Mohr desenhados.

2° Caso - Caso Comum

Agora, nos exercícios mais difíceis, nós vamos ter um elemento com alguma tensão de cisalhamento τ em algum plano.

Pode ser uma τ x y , uma τ y z ou uma τ z x :

É o caso do ponto do nosso barco, por exemplo, onde temos uma τ x y :

Nesse caso, podemos perceber uma coisa:

Se temos uma tensão τ x y , mas não tensões τ y z ou τ z x , isso significa que não há nenhum cisalhamento envolvendo o eixo z .

E se o eixo z já está livre de cisalhamento, então a tensão de - 80   M P a nele já é uma tensão principal (ainda não sabemos qual).

Percebendo isso, podemos:

  • Esquecer temporariamente desse eixo z livre de cisalhamento;
  • Olhar para o plano x y em que o cisalhamento ainda existe;
  • & desenhar o círculo de Mohr para esse plano x y :

Aí, se antes nós já tinhamos identificado uma tensão principal, agora com esse círculo de Mohr para o plano identificamos as outras duas:

Assim, adicionando ao gráfico a tensão principal de - 80   M P a que já tinhamos reconhecido anteriormente, conseguimos:

  • Desenhar os outros dois círculos;
  • & numerar as tensões principais,

Como na figura abaixo:

Por fim...

Ainda podemos calcular as tensões principais no círculo “plano x y ” calculando o raio R desse círculo e depois fazendo σ p r i n c i p a i s = σ m é d ± R :

Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta

Depois de entender tudo sobre o círculo de Mohr no caso triaxial, podemos voltar para a nossa pergunta inicial:

Qual é a tensão cisalhante τ máxima no ponto crítico do barco?

Para responder essa pergunta, basta olharmos para o ponto mais alto entre os 3 círculos que desenhamos:

Nessa imagem, vemos que essa tensão cisalhante máxima τ m á x é igual ao raio do círculo maior.

E o raio do círculo maior pode ser calculado dividindo o seu diâmetro ( σ 1 - σ 3 ) por 2.

Dessa forma, dizemos que, em um estado de tensões triaxial, a tensão de cisalhamento máxima no ponto é sempre:

τ m á x = σ 1 - σ 3 2

Uma Observação Final

Identificando os 3 Círculos

É comum que, depois de encontrarmos as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 no elemento, a gente faça um desenho mostrando o elemento sob essas tensões principais:

E nesse desenho, chamamos de “eixo 1” o eixo onde ocorre σ 1 , “eixo 2” o eixo onde ocorre σ 2 e “eixo 3” o eixo onde ocorre σ 3 .

Daí que, alguns professores mais formais gostam que você identifique os 3 círculos do gráfico com base nesses eixos.

Nesses casos, fazemos isso assim:

  • O círculo interno à esquerda vai representar sempre o “eixo 1”;
  • O círculo externo o “eixo 2”;
  • E o círculo interno à direita o “eixo 3”.

Como foi feito abaixo:

E o que isso significa?

Significa que cada círculo do gráfico representa o que acontece se a gente girar o elemento em volta daquele eixo.

Se a gente fosse girar o elemento em volta do “eixo 1”, por exemplo:

  • A tensão σ 1 vai permanecer intacta;
  • Mas as tensões nas faces onde ocorriam σ 2 e σ 3 vão variar de acordo com o círculo “eixo 1”.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 356-9.89.

Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem cada um dos seguintes estados de tensão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

Tanto no item ( a ) quanto no item ( b ) , o exercício nos forneceu estados triaxiais de tensão em que não há nenhuma tensão de cisalhamento τ .

O que isso significa é que as tensões normais σ mostradas nesses elementos já são as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 neles.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente desenhe os três círculos de Mohr para cada um desses estados de tensão.

Então, o que devemos fazer para cada item é:

  • Identificar e ordenar as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 ;
  • Marcar essas tensões em um gráfico τ   ×   σ ;
  • & desenhar os três círculos entre esses pontos marcados.

Passo 2

Então vamos lá!

Começando pelo item ( a ) :

Nesse elemento, em uma direção nós temos uma tração de 15   M P a , em outra uma compressão de 15   M P a e em outra nenhuma tensão normal, ou seja, σ = 0   M P a