Estado Triaxial (“3D”) de Tensões

Teoria Completa

Introdução

Dessa vez, vamos dizer que você é um(a) engenheiro(a) naval e descobriu que o ponto mais crítico do barco do seu cliente está submetido a um estado de tensões:

σ x = + 30   M P a ;     σ y = + 40   M P a ;       &   τ x y = + 50   M P a

Sendo que, além disso, o choque da água ainda gera nesse ponto uma tensão normal no eixo z :

σ z = - 80   M P a

...como mostra a imagem abaixo:

Com isso, nós deixamos de trabalhar com um estado plano de tensões, representado por um quadrado, e passamos a trabalhar com um estado triaxial ou 3D, representado por um cubo.

Agora...

Vamos dizer que o material desse ponto é um material que falha sempre por causa da tensão cisalhante τ .

Então, para saber se esse ponto vai falhar, você precisa descobrir:

Qual é a tensão cisalhante τ máxima nele?

Transformação de Tensões

De início, você pode pensar que a tensão cisalhante máxima nesse ponto é a de 50   M P a no plano x y , por ser a única tensão τ que existe nele:

Mas aí você se lembra!

Essas tensões desenhadas no cubo são só as tensões nesse ponto quando ele está nessa orientação...

Mas se você rotacionar esse cubo (mudar a orientação dele), essas tensões vão se transformar:

  • Uma parte das tensões normais σ podem virar tensões cisalhantes τ (e vice-versa);
  • Ou uma parte de uma tensão em um eixo por virar tensão em outro eixo;
  • Etc.

Assim, vai haver alguma orientação do ponto em que vai surgir uma tensão de cisalhamento máxima τ m á x , possivelmente bem maior que a de 50   M P a .

Então...

Como é que a gente pode analisar as tensões em diferentes orientações desse ponto, para que a gente possa descobrir a tensão τ m á x nele?

Círculo de Mohr para o Estado Triaxial de Tensões

A resposta está em utilizar o Círculo de Mohr, que, para um elemento “3D”, vai ser composto na realidade por 3 círculos.

Mas como assim?

Então...

Lá no estado plano de tensões, o que acontecia era que nós tinhamos 2 tensões principais ( σ 1 e σ 2 ) e o círculo de Mohr era o círculo que existia entre essas duas tensões:

Agora, para o estado triaxial de tensões, nós temos 3 tensões principais:

  • σ 1 ou σ m á x , a tensão principal “máxima”; (que fica mais à direita no gráfico)
  • σ 2 ou σ i n t , a tensão principal intermediária;
  • & σ 3 ou σ m í n , a tensão principal “mínima”; (que pode superar a máxima em intensidade e que fica à esquerda no gráfico)

E aí, entre essas 3 tensões principais, nós conseguimos desenhar 3 círculos:

Juntos, esses 3 círculos são os nossos círculos de Mohr para um estado triaxial de tensões.

Beleza!

Mas como a gente faz para desenhar esses círculos em um caso real?

Vamos ver isso agora!

Como desenhar o Círculo de Mohr “3D”?

1° Caso - Caso Simplificado

Às vezes, o exercício vai nos fornecer um elemento 3D de tensões só com tensões normais σ x , σ y e σ z . (Livre de qualquer tensão de cisalhamento   τ !)

Como, por exemplo, caso a tensão de cisalhamento τ x y no nosso barco não existisse:

Mas espera aí!

As tensões principais são justamente aquelas que aparecem quando o elemento está livre de tensões de cisalhamento!!!!!

Então as tensões σ x , σ y e σ z dadas pelo exercício já vão ser as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 .

Só precisamos ordenar elas! ( σ 1 precisa ser a máxima, σ 2 a intermediária, etc.)

Aí, marcando essas 3 tensões em um gráfico τ   ×   σ , você consegue desenhar os 3 círculos entre elas:

E pronto! Círculos de Mohr desenhados.

2° Caso - Caso Comum

Agora, nos exercícios mais difíceis, nós vamos ter um elemento com alguma tensão de cisalhamento τ em algum plano.

Pode ser uma τ x y , uma τ y z ou uma τ z x :

É o caso do ponto do nosso barco, por exemplo, onde temos uma τ x y :

Nesse caso, podemos perceber uma coisa:

Se temos uma tensão τ x y , mas não tensões τ y z ou τ z x , isso significa que não há nenhum cisalhamento envolvendo o eixo z .

E se o eixo z já está livre de cisalhamento, então a tensão de - 80   M P a nele já é uma tensão principal (ainda não sabemos qual).

Percebendo isso, podemos:

  • Esquecer temporariamente desse eixo z livre de cisalhamento;
  • Olhar para o plano x y em que o cisalhamento ainda existe;
  • & desenhar o círculo de Mohr para esse plano x y :

Aí, se antes nós já tinhamos identificado uma tensão principal, agora com esse círculo de Mohr para o plano identificamos as outras duas:

Assim, adicionando ao gráfico a tensão principal de - 80   M P a que já tinhamos reconhecido anteriormente, conseguimos:

  • Desenhar os outros dois círculos;
  • & numerar as tensões principais,

Como na figura abaixo:

Por fim...

Ainda podemos calcular as tensões principais no círculo “plano x y ” calculando o raio R desse círculo e depois fazendo σ p r i n c i p a i s = σ m é d ± R :

Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta

Depois de entender tudo sobre o círculo de Mohr no caso triaxial, podemos voltar para a nossa pergunta inicial:

Qual é a tensão cisalhante τ máxima no ponto crítico do barco?

Para responder essa pergunta, basta olharmos para o ponto mais alto entre os 3 círculos que desenhamos:

Nessa imagem, vemos que essa tensão cisalhante máxima τ m á x é igual ao raio do círculo maior.

E o raio do círculo maior pode ser calculado dividindo o seu diâmetro ( σ 1 - σ 3 ) por 2.

Dessa forma, dizemos que, em um estado de tensões triaxial, a tensão de cisalhamento máxima no ponto é sempre:

τ m á x = σ 1 - σ 3 2

Uma Observação Final

Identificando os 3 Círculos

É comum que, depois de encontrarmos as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 no elemento, a gente faça um desenho mostrando o elemento sob essas tensões principais:

E nesse desenho, chamamos de “eixo 1” o eixo onde ocorre σ 1 , “eixo 2” o eixo onde ocorre σ 2 e “eixo 3” o eixo onde ocorre σ 3 .

Daí que, alguns professores mais formais gostam que você identifique os 3 círculos do gráfico com base nesses eixos.

Nesses casos, fazemos isso assim:

  • O círculo interno à esquerda vai representar sempre o “eixo 1”;
  • O círculo externo o “eixo 2”;
  • E o círculo interno à direita o “eixo 3”.

Como foi feito abaixo:

E o que isso significa?

Significa que cada círculo do gráfico representa o que acontece se a gente girar o elemento em volta daquele eixo.

Se a gente fosse girar o elemento em volta do “eixo 1”, por exemplo:

  • A tensão σ 1 vai permanecer intacta;
  • Mas as tensões nas faces onde ocorriam σ 2 e σ 3 vão variar de acordo com o círculo “eixo 1”.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 356-9.89.

Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem cada um dos seguintes estados de tensão.

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Passo 1

O que está acontecendo?

Tanto no item ( a ) quanto no item ( b ) , o exercício nos forneceu estados triaxiais de tensão em que não há nenhuma tensão de cisalhamento τ .

O que isso significa é que as tensões normais σ mostradas nesses elementos já são as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 neles.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente desenhe os três círculos de Mohr para cada um desses estados de tensão.

Então, o que devemos fazer para cada item é:

  • Identificar e ordenar as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 ;
  • Marcar essas tensões em um gráfico τ   ×   σ ;
  • & desenhar os três círculos entre esses pontos marcados.

Passo 2

Então vamos lá!

Começando pelo item ( a ) :

Nesse elemento, em uma direção nós temos uma tração de 15   M P a , em outra uma compressão de 15   M P a e em outra nenhuma tensão normal, ou seja, σ = 0   M P a .

Sendo assim, vamos ter então tensões principais de + 15   M P a , - 15   M P a e 0   M P a .

Ordenando essas tensões, encontramos que:

σ 1 = + 15   M P a

σ 2 = 0   M P a

&     σ 3 = - 15   M P a

Aí, marcando esses três pontos em um gráfico e desenhando círculos entre eles, obtemos a nossa resposta para o item ( a ) , que é o desenho abaixo:

Passo 3

Já no item ( b ) :

...nós temos em duas direções compressões de 65   M P a , e na outra direção uma tração de 65   M P a .

Dessa forma, nossas tensões principais vão ser de - 65   M P a , - 65   M P a e + 65   M P a .

Ordenando essas tensões, encontramos que:

σ 1 = + 65   M P a

σ 2 = - 65   M P a

&     σ 3 = - 65   M P a

Aí, marcando esses três pontos em um gráfico e desenhando círculos entre eles, obtemos a nossa resposta para o item ( b ) , que é o desenho abaixo:

Observação:

Esse exemplo é interessante pois dá para ver nele como um dos círculos (o círculo formado entre σ 2 e σ 3 ) se reduziu a um ponto, fazendo com que os outros dois círculos fossem coincidentes.

E aí com isso, ficamos com essa situação em que aparentemente só temos 1 círculo de Mohr.

Resposta

Ver desenhos no final dos passos 2 e 3.

Exercício Resolvido #2

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 357-9.91.

A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

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Passo 1

O que está acontecendo?

Nesse exercício, nós temos um elemento 3D de tensões em que existe:

  • Uma tensão de cisalhamento τ x z = - 5   M P a no plano x z , que é negativa por não estar apontando para o primeiro quadrante entre os eixos x e z ;
  • E uma tensão normal σ y = 7   M P a no eixo x , que é positiva por ser de tração.

Aí, para esse elemento, como não existe nenhuma tensão de cisalhamento τ x y ou τ y z envolvendo o eixo y , podemos concluir que o eixo y já está livre de cisalhamento.

Isso significa que a tensão σ y = 7   M P a no eixo y já é então uma das tensões principais desse elemento. (Só não sabemos qual...)

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 para esse elemento, além da tensão de cisalhamento máxima absoluta τ m á x para ele:

τ m á x = σ 1 - σ 3 2

Nós já conhecemos uma das tensões principais: a tensão de 7   M P a que ocorre no eixo y , livre de cisalhamento.

Então para determinar as outras duas tensões principais, nós podemos esquecer do eixo y e focar no que resta, que é o plano x z :

Calculando a tensão normal média σ m é d para esse plano e fazendo o círculo de Mohr para ele, vamos conseguir calcular o raio R desse círculo, para, em seguida, determinarmos as suas tensões principais:

σ p r i n c i p a i s = σ m é d ± R

Aí, com essas duas tensões principais do plano x z , mais a tensão principal do eixo y , vamos conseguir:

  • Desenhar os três círculos de Mohr para esse estado triaxial de tensões;
  • Ordenar as tensões principais encontradas, definindo assim as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 ;
  • E calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto, τ m á x .

Passo 2

Então vamos começar fazendo o círculo de Mohr do plano x z .

Lembra aí!

Para fazer isso, precisamos calcular σ m é d para esse plano:

σ m é d = σ x + σ z 2 = 0 + 0 2 = 0

Feito isso, podemos marcar esse ponto e o ponto ( σ x ,   τ x z ) em um gráfico τ   ×   σ e usar esses pontos para desenhar o nosso círculo:

Passo 3

Agora, usando o círculo que acabamos de fazer, conseguimos identificar que:

R = 5   M P a

E aí, podemos fazer que:

σ p r i n c i p a i s = σ m é d ± R

E substituir σ m é d = 0 e R = 5   M P a para encontrarmos as tensões principais do plano x z :

σ p r i n c i p a i s = 0 ± 5 M P a = ± 5   M P a

Isso significa que o nosso elemento 3D, além da tensão principal de + 7   M P a que já tínhamos identificado, ainda tem uma tensão principal de - 5   M P a e outra de + 5   M P a .

Passo 4

Agora que sabemos as três tensões principais do nosso elemento 3D, podemos complementar o círculo de Mohr que fizemos para o plano x z com elas.

Fazendo isso, vamos obter os três círculos de Mohr para o nosso elemento 3D e ao mesmo tempo identificar qual tensão principal é qual ( σ 1 , σ 2 ou σ 3 ):

Se quisermos, ainda podemos identificar os círculos:

  • O círculo interno à esquerda, entre as tensões principais σ 3 e σ 2 , descreve o que ocorre se a gente rotacionar o elemento em volta do “eixo 1” (aquele em que ocorre a tensão principal σ 1 );
  • O círculo externo, entre σ 3 e σ 1 , descreve a rotação em volta do “eixo 2”;
  • E o círculo interno à direita, a rotação em volta do “eixo 3”:

Passo 5

Por fim, podemos calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse elemento fazendo:

τ m á x = σ 1 - σ 3 2

Aí, substituindo σ 1 = + 7   M P a e σ 3 = - 5   M P a , vamos ter:

τ m á x = 7 - ( - 5 ) 2 = 12 2 = 6   M P a

E pronto!

Está resolvido o nosso exercício.

Resposta

σ 1 = + 7   M P a

σ 2 = + 5   M P a

σ 3 = - 5   M P a

&

τ m á x = 6   M P a

Exercício Resolvido #3

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 356-9.90.

A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O que está acontecendo?

Nesse exercício, temos um elemento 3D de tensões com uma tensão de cisalhamento:

τ y z = 40   M P a

...no plano y z , além de tensões normais em cada eixo:

σ x = - 100   M P a ;       σ y = + 90   M P a ;       σ z = - 80 M P a

Aí, para esse elemento, como não existe nenhuma tensão de cisalhamento τ x y ou τ x z envolvendo o eixo x , podemos concluir que esse eixo x já está livre de cisalhamento.

Isso significa que a tensão σ x = - 100   M P a no eixo x já é então uma das tensões principais desse elemento. (Só não sabemos qual...)

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 para esse elemento, além da tensão de cisalhamento máxima absoluta τ m á x para ele:

τ m á x = σ 1 - σ 3 2

Nós já conhecemos uma das tensões principais: a tensão de - 100   M P a que ocorre no eixo x , livre de cisalhamento.

Então para determinar as outras duas tensões principais, nós podemos esquecer do eixo x e focar no que resta, que é o plano y z :

Calculando a tensão normal média σ m é d para esse plano e fazendo o círculo de Mohr para ele, vamos conseguir calcular o raio R desse círculo, para, em seguida, determinarmos as suas tensões principais:

σ p r i n c i p a i s = σ m é d ± R

Aí, com essas duas tensões principais do plano y z , mais a tensão principal do eixo x , vamos conseguir:

  • Desenhar os três círculos de Mohr para esse estado triaxial de tensões;
  • Ordenar as tensões principais encontradas, definindo assim as tensões principais σ 1 , σ 2 e σ 3 ;
  • E calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto, τ m á x .

Passo 2

Então vamos começar fazendo o círculo de Mohr do plano y z .

Lembra aí!

Para fazer isso, precisamos calcular σ m é d para esse plano:

σ m é d = σ y + σ z 2 = 90 + - 80 2 = 10 2 = 5   M P a

Feito isso, podemos marcar esse ponto e o ponto σ y ,   τ y z em um gráfico τ   ×   σ e usar esses pontos para desenhar o nosso círculo:

Passo 3

Agora, usando o círculo que acabamos de fazer, conseguimos usar o teorema de Pitágoras para determinarmos o valor do seu raio R :