Teoria Completa
Introdução
Dessa vez, vamos dizer que você é um(a) engenheiro(a) naval e descobriu que o ponto mais crítico do barco do seu cliente está submetido a um estado de tensões:
Sendo que, além disso, o choque da água ainda gera nesse ponto uma tensão normal no eixo :
...como mostra a imagem abaixo:
Com isso, nós deixamos de trabalhar com um estado plano de tensões, representado por um quadrado, e passamos a trabalhar com um estado triaxial ou 3D, representado por um cubo.
Agora...
Vamos dizer que o material desse ponto é um material que falha sempre por causa da tensão cisalhante .
Então, para saber se esse ponto vai falhar, você precisa descobrir:
Qual é a tensão cisalhante máxima nele?
Transformação de Tensões
De início, você pode pensar que a tensão cisalhante máxima nesse ponto é a de no plano , por ser a única tensão que existe nele:
Mas aí você se lembra!
Essas tensões desenhadas no cubo são só as tensões nesse ponto quando ele está nessa orientação...
Mas se você rotacionar esse cubo (mudar a orientação dele), essas tensões vão se transformar:
- Uma parte das tensões normais podem virar tensões cisalhantes (e vice-versa);
- Ou uma parte de uma tensão em um eixo por virar tensão em outro eixo;
- Etc.
Assim, vai haver alguma orientação do ponto em que vai surgir uma tensão de cisalhamento máxima , possivelmente bem maior que a de .
Então...
Como é que a gente pode analisar as tensões em diferentes orientações desse ponto, para que a gente possa descobrir a tensão nele?
Círculo de Mohr para o Estado Triaxial de Tensões
A resposta está em utilizar o Círculo de Mohr, que, para um elemento “3D”, vai ser composto na realidade por 3 círculos.
Mas como assim?
Então...
Lá no estado plano de tensões, o que acontecia era que nós tinhamos 2 tensões principais ( e ) e o círculo de Mohr era o círculo que existia entre essas duas tensões:
Agora, para o estado triaxial de tensões, nós temos 3 tensões principais:
- ou , a tensão principal “máxima”; (que fica mais à direita no gráfico)
- ou , a tensão principal intermediária;
- & ou , a tensão principal “mínima”; (que pode superar a máxima em intensidade e que fica à esquerda no gráfico)
E aí, entre essas 3 tensões principais, nós conseguimos desenhar 3 círculos:
Juntos, esses 3 círculos são os nossos círculos de Mohr para um estado triaxial de tensões.
Beleza!
Mas como a gente faz para desenhar esses círculos em um caso real?
Vamos ver isso agora!
Como desenhar o Círculo de Mohr “3D”?
1° Caso - Caso Simplificado
Às vezes, o exercício vai nos fornecer um elemento 3D de tensões só com tensões normais , e . (Livre de qualquer tensão de cisalhamento!)
Como, por exemplo, caso a tensão de cisalhamento no nosso barco não existisse:
Mas espera aí!
As tensões principais são justamente aquelas que aparecem quando o elemento está livre de tensões de cisalhamento!!!!!
Então as tensões , e dadas pelo exercício já vão ser as tensões principais , e .
Só precisamos ordenar elas! ( precisa ser a máxima, a intermediária, etc.)
Aí, marcando essas 3 tensões em um gráfico , você consegue desenhar os 3 círculos entre elas:
E pronto! Círculos de Mohr desenhados.
2° Caso - Caso Comum
Agora, nos exercícios mais difíceis, nós vamos ter um elemento com alguma tensão de cisalhamento em algum plano.
Pode ser uma , uma ou uma :
É o caso do ponto do nosso barco, por exemplo, onde temos uma :
Nesse caso, podemos perceber uma coisa:
Se temos uma tensão , mas não tensões ou , isso significa que não há nenhum cisalhamento envolvendo o eixo .
E se o eixo já está livre de cisalhamento, então a tensão de nele já é uma tensão principal (ainda não sabemos qual).
Percebendo isso, podemos:
- Esquecer temporariamente desse eixo livre de cisalhamento;
- Olhar para o plano em que o cisalhamento ainda existe;
- & desenhar o círculo de Mohr para esse plano :
Aí, se antes nós já tinhamos identificado uma tensão principal, agora com esse círculo de Mohr para o plano identificamos as outras duas:
Assim, adicionando ao gráfico a tensão principal de que já tinhamos reconhecido anteriormente, conseguimos:
- Desenhar os outros dois círculos;
- & numerar as tensões principais,
Como na figura abaixo:
Por fim...
Ainda podemos calcular as tensões principais no círculo “plano ” calculando o raio desse círculo e depois fazendo :
Tensão de Cisalhamento Máxima Absoluta
Depois de entender tudo sobre o círculo de Mohr no caso triaxial, podemos voltar para a nossa pergunta inicial:
Qual é a tensão cisalhante máxima no ponto crítico do barco?
Para responder essa pergunta, basta olharmos para o ponto mais alto entre os 3 círculos que desenhamos:
Nessa imagem, vemos que essa tensão cisalhante máxima é igual ao raio do círculo maior.
E o raio do círculo maior pode ser calculado dividindo o seu diâmetro por 2.
Dessa forma, dizemos que, em um estado de tensões triaxial, a tensão de cisalhamento máxima no ponto é sempre:
Uma Observação Final
Identificando os 3 Círculos
É comum que, depois de encontrarmos as tensões principais , e no elemento, a gente faça um desenho mostrando o elemento sob essas tensões principais:
E nesse desenho, chamamos de “eixo 1” o eixo onde ocorre , “eixo 2” o eixo onde ocorre e “eixo 3” o eixo onde ocorre .
Daí que, alguns professores mais formais gostam que você identifique os 3 círculos do gráfico com base nesses eixos.
Nesses casos, fazemos isso assim:
- O círculo interno à esquerda vai representar sempre o “eixo 1”;
- O círculo externo o “eixo 2”;
- E o círculo interno à direita o “eixo 3”.
Como foi feito abaixo:
E o que isso significa?
Significa que cada círculo do gráfico representa o que acontece se a gente girar o elemento em volta daquele eixo.
Se a gente fosse girar o elemento em volta do “eixo 1”, por exemplo:
- A tensão vai permanecer intacta;
- Mas as tensões nas faces onde ocorriam e vão variar de acordo com o círculo “eixo 1”.
Exercício Resolvido #1
Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem cada um dos seguintes estados de tensão.
Passo 1
O que está acontecendo?
Tanto no item quanto no item , o exercício nos forneceu estados triaxiais de tensão em que não há nenhuma tensão de cisalhamento .
O que isso significa é que as tensões normais mostradas nesses elementos já são as tensões principais , e neles.
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente desenhe os três círculos de Mohr para cada um desses estados de tensão.
Então, o que devemos fazer para cada item é:
- Identificar e ordenar as tensões principais , e ;
- Marcar essas tensões em um gráfico ;
- & desenhar os três círculos entre esses pontos marcados.
Passo 2
Então vamos lá!
Começando pelo item :
Nesse elemento, em uma direção nós temos uma tração de , em outra uma compressão de e em outra nenhuma tensão normal, ou seja, .
Sendo assim, vamos ter então tensões principais de , e .
Ordenando essas tensões, encontramos que:
Aí, marcando esses três pontos em um gráfico e desenhando círculos entre eles, obtemos a nossa resposta para o item , que é o desenho abaixo:
Passo 3
Já no item :
...nós temos em duas direções compressões de , e na outra direção uma tração de .
Dessa forma, nossas tensões principais vão ser de , e .
Ordenando essas tensões, encontramos que:
Aí, marcando esses três pontos em um gráfico e desenhando círculos entre eles, obtemos a nossa resposta para o item , que é o desenho abaixo:
Observação:
Esse exemplo é interessante pois dá para ver nele como um dos círculos (o círculo formado entre e ) se reduziu a um ponto, fazendo com que os outros dois círculos fossem coincidentes.
E aí com isso, ficamos com essa situação em que aparentemente só temos 1 círculo de Mohr.
Resposta
Exercício Resolvido #2
A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
Passo 1
O que está acontecendo?
Nesse exercício, nós temos um elemento 3D de tensões em que existe:
- Uma tensão de cisalhamento no plano , que é negativa por não estar apontando para o primeiro quadrante entre os eixos e ;
- E uma tensão normal no eixo , que é positiva por ser de tração.
Aí, para esse elemento, como não existe nenhuma tensão de cisalhamento ou envolvendo o eixo , podemos concluir que o eixo já está livre de cisalhamento.
Isso significa que a tensão no eixo já é então uma das tensões principais desse elemento. (Só não sabemos qual...)
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente determine as tensões principais , e para esse elemento, além da tensão de cisalhamento máxima absoluta para ele:
Nós já conhecemos uma das tensões principais: a tensão de que ocorre no eixo , livre de cisalhamento.
Então para determinar as outras duas tensões principais, nós podemos esquecer do eixo e focar no que resta, que é o plano :
Calculando a tensão normal média para esse plano e fazendo o círculo de Mohr para ele, vamos conseguir calcular o raio desse círculo, para, em seguida, determinarmos as suas tensões principais:
Aí, com essas duas tensões principais do plano , mais a tensão principal do eixo , vamos conseguir:
- Desenhar os três círculos de Mohr para esse estado triaxial de tensões;
- Ordenar as tensões principais encontradas, definindo assim as tensões principais , e ;
- E calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto, .
Passo 2
Então vamos começar fazendo o círculo de Mohr do plano .
Lembra aí!
Para fazer isso, precisamos calcular para esse plano:
Feito isso, podemos marcar esse ponto e o ponto em um gráfico e usar esses pontos para desenhar o nosso círculo:
Passo 3
Agora, usando o círculo que acabamos de fazer, conseguimos identificar que:
E aí, podemos fazer que:
E substituir e para encontrarmos as tensões principais do plano :
Isso significa que o nosso elemento 3D, além da tensão principal de que já tínhamos identificado, ainda tem uma tensão principal de e outra de .
Passo 4
Agora que sabemos as três tensões principais do nosso elemento 3D, podemos complementar o círculo de Mohr que fizemos para o plano com elas.
Fazendo isso, vamos obter os três círculos de Mohr para o nosso elemento 3D e ao mesmo tempo identificar qual tensão principal é qual (, ou ):
Se quisermos, ainda podemos identificar os círculos:
- O círculo interno à esquerda, entre as tensões principais e , descreve o que ocorre se a gente rotacionar o elemento em volta do “eixo 1” (aquele em que ocorre a tensão principal );
- O círculo externo, entre e , descreve a rotação em volta do “eixo 2”;
- E o círculo interno à direita, a rotação em volta do “eixo 3”:
Passo 5
Por fim, podemos calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse elemento fazendo:
Aí, substituindo e , vamos ter:
E pronto!
Está resolvido o nosso exercício.
Resposta
Exercício Resolvido #3
A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.
Passo 1
O que está acontecendo?
Nesse exercício, temos um elemento 3D de tensões com uma tensão de cisalhamento:
...no plano , além de tensões normais em cada eixo:
Aí, para esse elemento, como não existe nenhuma tensão de cisalhamento ou envolvendo o eixo , podemos concluir que esse eixo já está livre de cisalhamento.
Isso significa que a tensão no eixo já é então uma das tensões principais desse elemento. (Só não sabemos qual...)
E o que é que o exercício quer?
Ele quer que a gente determine as tensões principais , e para esse elemento, além da tensão de cisalhamento máxima absoluta para ele:
Nós já conhecemos uma das tensões principais: a tensão de que ocorre no eixo , livre de cisalhamento.
Então para determinar as outras duas tensões principais, nós podemos esquecer do eixo e focar no que resta, que é o plano :
Calculando a tensão normal média para esse plano e fazendo o círculo de Mohr para ele, vamos conseguir calcular o raio desse círculo, para, em seguida, determinarmos as suas tensões principais:
Aí, com essas duas tensões principais do plano , mais a tensão principal do eixo , vamos conseguir:
- Desenhar os três círculos de Mohr para esse estado triaxial de tensões;
- Ordenar as tensões principais encontradas, definindo assim as tensões principais , e ;
- E calcular a tensão de cisalhamento máxima absoluta nesse ponto, .
Passo 2
Então vamos começar fazendo o círculo de Mohr do plano .
Lembra aí!
Para fazer isso, precisamos calcular para esse plano:
Feito isso, podemos marcar esse ponto e o ponto em um gráfico e usar esses pontos para desenhar o nosso círculo:
Passo 3
Agora, usando o círculo que acabamos de fazer, conseguimos usar o teorema de Pitágoras para determinarmos o valor do seu raio :