Conceito

Teoria Completa

Introdução

Antes de começarmos a fazer qualquer cálculo com treliças, precisamos definir dois pontos principais:

O primeiro é: o que é uma treliça?

Bom, uma treliça pode ser identificada como:

  • Uma estrutura composta por triângulos, em que a partir de dois pontos anteriores conseguimos definir um seguinte, parece embolado? Sim né? Então vamos ver essa figurinha aqui em baixo pra visualizarmos melhor.
  • Numerando duas rótulas ou nós teremos que

    Veja que a partir dos pontos 1 e 2 conseguimos definir a próxima rótula, nesse caso chamada de 3, mas com 1 e 3 também conseguimos definir a rótula 2, logo esses dois pontos iniciais são definidos por você, e ou outros deverão aparecer a partir deles.

    Seguindo a mesma linha, a partir de 2 e 3 conseguimos definir a nossa próxima rótula, nesse caso a 4

    E por fim definimos a última rótula a partir de 3 e 4, nesse caso a 5

    Como foi possível chegar em todos os nós das treliças a partir de dois nós anteriores, de fato podemos caracterizar a estrutura acima como uma treliça.

  • Perceba que as barras da treliça sempre serão ligadas por rótulas
  • As rótulas dão aos nós maior grau de liberdade, permitindo que se desloquem. Portanto não há momento fletor nesse tipo de estrutura, apenas esforço normal.
  • As treliças possuem os carregamentos apenas sobre os nós dela (lembrando que os nós são as rótulas que ligam as barras da treliça)
  • Treliças que possuam carga fora do nó serão chamadas de treliças complexas ou ainda, em alguns casos, de pórticos.
  • O segundo ponto é muito importante, pois se trata do que pode cair na prova sobre treliças, então você pode estar se perguntando:

    O que o professor pode me cobrar na prova com relação a uma treliça?

  • Geralmente os professores gostam de perguntar quais forças normais estão aplicadas nas barras das treliças.
  • Outra pergunta que sempre cai é se os esforços comprimem ou tracionam a barra, logo, devemos tomar muito cuidado com os sinais que usarmos.
  • Outra pegadinha que costuma cair é qual os diagramas de esforços internos de uma treliça. Com já vimos antes o único esforço que atua na nossa treliça é o normal, ou seja, cortante e momento fletor estão estritamente proibidos.
  • Agora que já sabemos tudo isso, vamos analisar a suposta treliça abaixo, e a partir dela vamos definir se podemos de fato chama-la de treliça ou não.

    Primeiro caso

    Vamos ver se a estrutura dada abaixo de fato é uma treliça.

    Já vemos de cara que ela atende alguns requisitos que havíamos definido, como por exemplo ter cargas apenas nos nós, possuir nós articulados, mas além disso precisamos fazer o teste de conseguir achar um terceiro nó a partir de dois anteriores. Abaixo temos a sequencia de passos que devemos fazer para testarmos isso. Dessa vez irei começar a fazer pelo lado direito, e também definirei dois nós diferentes do que definimos no primeiro caso, então vamos lá.

    Como já vimos devemos definir dois nós iniciais, e a partir deles definir o próximo, então podemos fazer o seguinte

    Também conseguimos achar o nó que ficou para traz saindo de 3 e 1, com isso teremos que

    mas perceba que agora temos um problema, qual será o próximo nó que iremos encontrar?

    Perceba que a partir de 2 e 3 não conseguimos chegar nem no nó 5 e nem no nó 6, ou seja, não conseguimos a partir de dois nós anteriores chegar no terceiro.

    Quando isso acontecer devemos fazer um balanceamento de equações e incógnitas. Se o número de incógnitas der igual ao número de equações, significa que tudo que fizemos de fato está certinho e a estrutura está em equilíbrio. Se o número de equações e incógnitas der diferente, deveremos tomar muito cuidado, pois deveremos tomar duas suposições.

  • A primeira é que a nossa estrutura é hipoestática, ou seja, não está em equilíbrio e cairá quando aplicarmos a nossa carga.
  • A segunda seria que na verdade teríamos uma treliça composta, que no caso é uma treliça maior composta de várias treliças menores, mas tome cuidado, a ligação entre treliças menores deverá ser dada entre um ou dois nós (não necessariamente consecutivos) ou entre um nó e uma barra (tirante ou cabo) como mostram as figuras abaixo.

Balanceamento de equações e incógnitas

Para fazermos o balanceamento de equação e incógnitas precisamos saber o seguinte.

  1. Sabemos que pelos nossos apoios temos 3 reações de apoio
  2. Precisamos saber também que cada nó possui uma rótula, e como rótula transmite momento, sabemos que os momentos totais nas rotulas devem ser obrigatoriamente zero, como poderemos fazer esse equilíbrio tanto pela esquerda quanto pela direita, cada rótula nos permitirá ter 2 equações de momento, ou seja, o total de equações devido a rótulas será dado pela equação
  3. E = n   .   2

    n = n ú m e r o   d e   r ó t u l a s   d a   t r e l i ç a  

    2 = d e v i d o   a s   d u a s   e q u a ç õ e s   p o r   r ó t u l a s

  4. Por fim o número de barras da nossa treliça nós dará as incógnitas que faltam, ou seja,

k = n ú m e r o   d e   b a r r a s   d a   t r e l i ç a

No fim para sabermos se a treliça está equilibrada teremos que ter o número de equações igual ao número de incógnitas

OBS:. Nesse balanceamento de equações e incógnitas não estamos levando em consideração as equações de equilíbrio, ou seja, não somamos ao total de equações, as 3 equações de equilíbrio externo, que são ∑ F x = 0 , ∑ F y = 0   e ∑ M = 0 .

Fazendo essa conta para o nosso caso anterior teremos

n ú m e r o   d e   r e a ç õ e s   d o   a p o i o = 3

n ú m e r o   d e   r ó t u l a s   d a   t r e l i ç a ( c o n t a r   a s   d o   a p o i o   t a m b é m ) = 10

n ú m e r o   d e   e q u a ç õ e s   d e v i d o   a s   r ó t u l a s = 2   .   n = 2   .   10 = 20

n ú m e r o   d e   b a r r a s = 16

Para o equilíbrio teremos

3 + 16 = 20

Solucionando a equação teremos que

19 = 20

O que não fecha a conta, o que é legal de ver é que se colocarmos uma barra exatamente na parte quadrada da treliça, teríamos mais uma barra na equação, que fecharia certinho com 20 incógnitas e 20 equações, formando assim uma treliça simples isostática como mostra a figura

Visto que a peça não fechou no balanceamento de equações e incógnitas devemos ver se ela é composta de treliças menores e se essas treliças menores são ligadas por 1 ou 2 rótulas, ou se ainda são ligadas por uma rótula e uma barra. Se isso não ocorrer concluímos que a nossa treliça é hipostática, não sustentando a aplicação de cargas.

Como vemos na figura acima as nossas treliças simples apenas se ligam por barras, sem possuir ligações por rótulas, dessa forma temos uma treliça hipostática, que não suportará o carregamento colocado nela.

Agora vamos treinar com os exercícios para pegarmos a manha!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Abaixo são dadas 2 treliças, sendo a primeira uma treliça simples e a segunda uma treliça composta. Determine com base em seus conhecimentos se essas treliças são de fato treliças e também diga como elas são estruturalmente, ou seja, isostáticas, hiperestáticas ou hipostáticas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que a solução desse exercício se divide em duas analises

  • Primeiro devemos analisar se os apoios da estrutura tornam ela isostática, hipostática ou hiperestática.
  • Depois devemos avaliar se a nossa estrutura representa de fato uma treliça, e para representar uma treliça deve obedecer a regra dos triângulos que vimos na teoria.

Devemos tomar cuidado pois temos duas estruturas diferentes. A primeira iremos avaliar diretamente pois se trata, possivelmente de uma treliça simples, e digo possivelmente pois temos que ver se a regra irá bater. Da mesma forma faremos com a segunda, mas antes iremos dividir a estrutura e analisa cada parte dela. Se cada parte respeitar a regra, toda a estrutura irá respeitar, vamos lá então?

Passo 2

Vamos primeiro avaliar a treliça do caso a)

Vimos que a primeira coisa que devemos avaliar são seus apoios, para isso devemos nós lembrar que

Em que um dos apoios dão resistência horizontal e vertical e o outro apoio da resistência apenas vertical, dando assim, ao nosso problema, 3 incógnitas. Quanto as equações, é simples, basta que lembremos das equações de equilíbrio conhecidas

∑ F x = 0

∑ F y = 0  

∑ M = 0

O que também totaliza 3 equações, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações, logo, podemos dizer que a estaticidade da nossa treliça no primeiro caso é isostática.

Passo 3

Agora avaliando ainda a treliça da questão a) precisamos confirmar se ela de fato é uma treliça, partindo do nó mais a direita, iremos numerar dois nós respectivos a nossa escolha

Agora a partir deles devemos ser capaz de definir o próximo nó, que nesse caso será o 3

Logo com os nós 1 e 2 foi possível definir o nó 3. Agora usando os nós 2 e 3 vamos tentar definir o nó 4

E vamos assim continuar a sequência definindo agora o nó 5 a partir de 3 e 4

E seguindo a mesma sequência definimos os próximos nós

Ou seja, de fato a nossa treliça a) é uma treliça simples e tem equilíbrio do tipo isostático

Passo 4

Vamos agora para a treliça b)

Perceba que os apoios que compõe a trelia b) são exatamente os mesmos apoios da nossa treliça a), logo podemos pular essa parte, porque já sabemos que a nossa treliça b) também é isostática no que se refere aos apoios, vamos então ao mais importante que é avaliar se de fato a nossa treliça é uma treliça.

Mas antes de fazer isso, vamos dividir a nossa treliça grande em treliças mais simples, perceba que podemos encontrar pontos que são mais fáceis de quebrarmos as ligações (veremos melhor como fazer isso na aula de treliças compostas) mas aqui vale apenas dar um spoiler que sempre que formos separar treliças faremos isso nas rótulas. Fazendo uma divisão prévia teremos.

Perceba que a treliça de cima ainda pode ser dividida de forma mais simples como vemos abaixo