Conceito

Teoria Completa

Introdução

Antes de começarmos a fazer qualquer cálculo com treliças, precisamos definir dois pontos principais:

O primeiro é: o que é uma treliça?

Bom, uma treliça pode ser identificada como:

  • Uma estrutura composta por triângulos, em que a partir de dois pontos anteriores conseguimos definir um seguinte, parece embolado? Sim né? Então vamos ver essa figurinha aqui em baixo pra visualizarmos melhor.
  • Numerando duas rótulas ou nós teremos que

    Veja que a partir dos pontos 1 e 2 conseguimos definir a próxima rótula, nesse caso chamada de 3, mas com 1 e 3 também conseguimos definir a rótula 2, logo esses dois pontos iniciais são definidos por você, e ou outros deverão aparecer a partir deles.

    Seguindo a mesma linha, a partir de 2 e 3 conseguimos definir a nossa próxima rótula, nesse caso a 4

    E por fim definimos a última rótula a partir de 3 e 4, nesse caso a 5

    Como foi possível chegar em todos os nós das treliças a partir de dois nós anteriores, de fato podemos caracterizar a estrutura acima como uma treliça.

  • Perceba que as barras da treliça sempre serão ligadas por rótulas
  • As rótulas dão aos nós maior grau de liberdade, permitindo que se desloquem. Portanto não há momento fletor nesse tipo de estrutura, apenas esforço normal.
  • As treliças possuem os carregamentos apenas sobre os nós dela (lembrando que os nós são as rótulas que ligam as barras da treliça)
  • Treliças que possuam carga fora do nó serão chamadas de treliças complexas ou ainda, em alguns casos, de pórticos.
  • O segundo ponto é muito importante, pois se trata do que pode cair na prova sobre treliças, então você pode estar se perguntando:

    O que o professor pode me cobrar na prova com relação a uma treliça?

  • Geralmente os professores gostam de perguntar quais forças normais estão aplicadas nas barras das treliças.
  • Outra pergunta que sempre cai é se os esforços comprimem ou tracionam a barra, logo, devemos tomar muito cuidado com os sinais que usarmos.
  • Outra pegadinha que costuma cair é qual os diagramas de esforços internos de uma treliça. Com já vimos antes o único esforço que atua na nossa treliça é o normal, ou seja, cortante e momento fletor estão estritamente proibidos.
  • Agora que já sabemos tudo isso, vamos analisar a suposta treliça abaixo, e a partir dela vamos definir se podemos de fato chama-la de treliça ou não.

    Primeiro caso

    Vamos ver se a estrutura dada abaixo de fato é uma treliça.

    Já vemos de cara que ela atende alguns requisitos que havíamos definido, como por exemplo ter cargas apenas nos nós, possuir nós articulados, mas além disso precisamos fazer o teste de conseguir achar um terceiro nó a partir de dois anteriores. Abaixo temos a sequencia de passos que devemos fazer para testarmos isso. Dessa vez irei começar a fazer pelo lado direito, e também definirei dois nós diferentes do que definimos no primeiro caso, então vamos lá.

    Como já vimos devemos definir dois nós iniciais, e a partir deles definir o próximo, então podemos fazer o seguinte

    Também conseguimos achar o nó que ficou para traz saindo de 3 e 1, com isso teremos que

    mas perceba que agora temos um problema, qual será o próximo nó que iremos encontrar?

    Perceba que a partir de 2 e 3 não conseguimos chegar nem no nó 5 e nem no nó 6, ou seja, não conseguimos a partir de dois nós anteriores chegar no terceiro.

    Quando isso acontecer devemos fazer um balanceamento de equações e incógnitas. Se o número de incógnitas der igual ao número de equações, significa que tudo que fizemos de fato está certinho e a estrutura está em equilíbrio. Se o número de equações e incógnitas der diferente, deveremos tomar muito cuidado, pois deveremos tomar duas suposições.

  • A primeira é que a nossa estrutura é hipoestática, ou seja, não está em equilíbrio e cairá quando aplicarmos a nossa carga.
  • A segunda seria que na verdade teríamos uma treliça composta, que no caso é uma treliça maior composta de várias treliças menores, mas tome cuidado, a ligação entre treliças menores deverá ser dada entre um ou dois nós (não necessariamente consecutivos) ou entre um nó e uma barra (tirante ou cabo) como mostram as figuras abaixo.

Balanceamento de equações e incógnitas

Para fazermos o balanceamento de equação e incógnitas precisamos saber o seguinte.

  1. Sabemos que pelos nossos apoios temos 3 reações de apoio
  2. Precisamos saber também que cada nó possui uma rótula, e como rótula transmite momento, sabemos que os momentos totais nas rotulas devem ser obrigatoriamente zero, como poderemos fazer esse equilíbrio tanto pela esquerda quanto pela direita, cada rótula nos permitirá ter 2 equações de momento, ou seja, o total de equações devido a rótulas será dado pela equação
  3. E = n   .   2

    n = n ú m e r o   d e   r ó t u l a s   d a   t r e l i ç a  

    2 = d e v i d o   a s   d u a s   e q u a ç õ e s   p o r   r ó t u l a s

  4. Por fim o número de barras da nossa treliça nós dará as incógnitas que faltam, ou seja,

k = n ú m e r o   d e   b a r r a s   d a   t r e l i ç a

No fim para sabermos se a treliça está equilibrada teremos que ter o número de equações igual ao número de incógnitas

OBS:. Nesse balanceamento de equações e incógnitas não estamos levando em consideração as equações de equilíbrio, ou seja, não somamos ao total de equações, as 3 equações de equilíbrio externo, que são ∑ F x = 0 , ∑ F y = 0   e ∑ M = 0 .

Fazendo essa conta para o nosso caso anterior teremos

n ú m e r o   d e   r e a ç õ e s   d o   a p o i o = 3

n ú m e r o   d e   r ó t u l a s   d a   t r e l i ç a ( c o n t a r   a s   d o   a p o i o   t a m b é m ) = 10

n ú m e r o   d e   e q u a ç õ e s   d e v i d o   a s   r ó t u l a s = 2   .   n = 2   .   10 = 20

n ú m e r o   d e   b a r r a s = 16

Para o equilíbrio teremos

3 + 16 = 20

Solucionando a equação teremos que

19 = 20

O que não fecha a conta, o que é legal de ver é que se colocarmos uma barra exatamente na parte quadrada da treliça, teríamos mais uma barra na equação, que fecharia certinho com 20 incógnitas e 20 equações, formando assim uma treliça simples isostática como mostra a figura

Visto que a peça não fechou no balanceamento de equações e incógnitas devemos ver se ela é composta de treliças menores e se essas treliças menores são ligadas por 1 ou 2 rótulas, ou se ainda são ligadas por uma rótula e uma barra. Se isso não ocorrer concluímos que a nossa treliça é hipostática, não sustentando a aplicação de cargas.

Como vemos na figura acima as nossas treliças simples apenas se ligam por barras, sem possuir ligações por rótulas, dessa forma temos uma treliça hipostática, que não suportará o carregamento colocado nela.

Agora vamos treinar com os exercícios para pegarmos a manha!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Abaixo são dadas 2 treliças, sendo a primeira uma treliça simples e a segunda uma treliça composta. Determine com base em seus conhecimentos se essas treliças são de fato treliças e também diga como elas são estruturalmente, ou seja, isostáticas, hiperestáticas ou hipostáticas.

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Passo 1

Sabemos que a solução desse exercício se divide em duas analises

  • Primeiro devemos analisar se os apoios da estrutura tornam ela isostática, hipostática ou hiperestática.
  • Depois devemos avaliar se a nossa estrutura representa de fato uma treliça, e para representar uma treliça deve obedecer a regra dos triângulos que vimos na teoria.

Devemos tomar cuidado pois temos duas estruturas diferentes. A primeira iremos avaliar diretamente pois se trata, possivelmente de uma treliça simples, e digo possivelmente pois temos que ver se a regra irá bater. Da mesma forma faremos com a segunda, mas antes iremos dividir a estrutura e analisa cada parte dela. Se cada parte respeitar a regra, toda a estrutura irá respeitar, vamos lá então?

Passo 2

Vamos primeiro avaliar a treliça do caso a)

Vimos que a primeira coisa que devemos avaliar são seus apoios, para isso devemos nós lembrar que

Em que um dos apoios dão resistência horizontal e vertical e o outro apoio da resistência apenas vertical, dando assim, ao nosso problema, 3 incógnitas. Quanto as equações, é simples, basta que lembremos das equações de equilíbrio conhecidas

∑ F x = 0

∑ F y = 0  

∑ M = 0

O que também totaliza 3 equações, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações, logo, podemos dizer que a estaticidade da nossa treliça no primeiro caso é isostática.

Passo 3

Agora avaliando ainda a treliça da questão a) precisamos confirmar se ela de fato é uma treliça, partindo do nó mais a direita, iremos numerar dois nós respectivos a nossa escolha

Agora a partir deles devemos ser capaz de definir o próximo nó, que nesse caso será o 3

Logo com os nós 1 e 2 foi possível definir o nó 3. Agora usando os nós 2 e 3 vamos tentar definir o nó 4

E vamos assim continuar a sequência definindo agora o nó 5 a partir de 3 e 4

E seguindo a mesma sequência definimos os próximos nós

Ou seja, de fato a nossa treliça a) é uma treliça simples e tem equilíbrio do tipo isostático

Passo 4

Vamos agora para a treliça b)

Perceba que os apoios que compõe a trelia b) são exatamente os mesmos apoios da nossa treliça a), logo podemos pular essa parte, porque já sabemos que a nossa treliça b) também é isostática no que se refere aos apoios, vamos então ao mais importante que é avaliar se de fato a nossa treliça é uma treliça.

Mas antes de fazer isso, vamos dividir a nossa treliça grande em treliças mais simples, perceba que podemos encontrar pontos que são mais fáceis de quebrarmos as ligações (veremos melhor como fazer isso na aula de treliças compostas) mas aqui vale apenas dar um spoiler que sempre que formos separar treliças faremos isso nas rótulas. Fazendo uma divisão prévia teremos.

Perceba que a treliça de cima ainda pode ser dividida de forma mais simples como vemos abaixo

Numerando cada parte teremos

Perceba que em um primeiro momento pode parecer muito complexo definir todos os nós e ver se todas as regras de triangulo estão valendo, mas lembre do seguinte. Pra considerarmos a nossa estrutura como uma treliça, todas as partes que compõem ela, devem ser uma treliça. Podemos chutar que as estruturas 1 e 2 são treliças, mas elas são mais complexas, então vamos começar da estrutura mais simples (a estrutura 3). Se a estrutura 3 não for uma treliça, então toda a nossa estrutura não pode ser classificada como uma treliça, então vamos lá.

Primeiro temos que definir 2 nós respectivos, como está a abaixo

Agora para de fato podermos considerar a nossa a nossa estrutura uma treliça, precisamos chegar no terceiro nó a partir dos dois anteriores

Mas veja que só conseguimos chegar no terceiro nó a partir do nó 2, não tendo essa ligação a partir do nó 1, logo a terceira estrutura subdividida da estrutura principal, não respeita a regra do triangulo, ou seja, a nossa terceira estrutura não é uma treliça, o que nós impede de classificar a estrutura principal como uma treliça. Podemos dizer que as estruturas 1 e 2 de fato são treliças, porém a estrutura 3 não é.

Resposta

  1. Estrutura de uma treliça
  2. Estrutura isostática

  3. Não é uma treliça

Estrutura isostática

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

A treliça abaixo representa uma treliça de sustentação do teto de um aeroporto. Em determinado dia um evento cataclísmico rompeu as barras AB, CD, EF e GH da treliça. Determine:

  1. O tipo de estrutura antes do rompimento (treliçada ou não)
  2. O tipo de estrutura após o rompimento (treliçada ou não)
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Passo 1

Antes de tudo precisamos analisar o seguinte. As perguntas principais se focam em definir se a estrutura é ou não treliçada. Para definirmos se uma estrutura é treliçada precisamos fazer a analise de nós. Após a analise de nós também precisamos verificar o número de diagonais por polígono da nossa estrutura, sabemos que

Se o número de diagonais por polígono quadrangular for maior que uma diagonal, nossa estrutura será hiperestática internamente, e nesse caso, podemos romper uma dessas diagonais excedentes que ainda teremos uma estrutura isostática, dito isso, vamos por a mão na massa

Passo 2

Analisando primeiro a estrutura antes do rompimento, conseguimos ver que temos polígonos com duas diagonais, o que já caracteriza a nossa treliça como hiperestática internamente, e podemos ver aqui 3 casos de hiperestaticidade interna como marcado na figura abaixo

Agora precisamos ver se podemos caracteriza-la como treliça, para isso basta fazermos a regra do triângulo na nossa estrutura e ver se bate, já sabemos que o primeiro passo sempre é escolher dois nós consecutivos e a partir deles dois chegar em todos os outros através de triângulos, fazendo isso na nossa estrutura teremos

Mas perceba que interessante, nos casos que avaliamos os nós com duas diagonais podemos determinar o ponto 4 de duas formas, uma usando o nó 2 e 3

Ou podemos usar o nós 1 e 2 também

Por isso caracterizamos a nossa estrutura como hiperestática internamente, agora só, continuarmos o processo até chegarmos no último nó.

Podemos ver que de fato conseguimos chegar no ultimo nó, logo, de fato, a nossa estrutura antes do rompimento é treliçada (já que respeita a regra dos triângulos) e de fato, pelos apoios dela, é uma estrutura isostática devido aos apoios, vamos agora analisar a nossa estrutura após o rompimento das barras.

Passo 3

A primeira coisa que faremos é arrancar todas as barras que romperam e fazer exatamente o que fizemos no passo anterior, mas agora sem as barras rompidas, com isso teremos primeiro a seguinte estrutura

Precisamos agora definir dois nós iniciais consecutivos, e agora irei definir esses dois nós começando pelo lado esquerdo da treliça, e a partir deles definiremos os próximos nós com isso temos

A partir do nó 3 definimos o próximo nó, que é o 4

A partir do nó 4 definimos o próximo nó, que é o 5, e a partir do 5 definiremos o 6

Agora perceba o seguinte, a partir dos nós 5 e 6 é impossível definir o nó 7 através de um triangulo, ou seja, a estrutura não é treliçada, pelos apoios é uma estrutura do tipo isostática, e ainda vemos que os polígonos apresentam apenas uma diagonal, sendo assim, não é mais uma estrutura do tipo hiperestática internamente.

Resposta

  1. É uma estrutura do tipo treliçada
  2. Não é uma estrutura do tipo treliçada

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

a treliça abaixo apresenta varios estados hiperestáticos internos. Determine quais barras devem ser rompidas para que a mesma se torne uma treliça isostática.

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Passo 1

Esse exercício é bem simples mas devemos tomar alguns cuidados.

É bem simples pois vimos um macete na teoria, sabemos que o que torna a nossa estrutura hiperestática internamente é o número de diagonais em um polígono de 4 lados, sabemos que para ser isostático devemos ter apenas 1 diagonal no polígono, tudo que passar de 1 diagonal pode ser retirado sem mais problemas para estrutura.

Logo, para resolvermos o nosso problema, basta fazermos o seguinte

  • Pegar todos os setores de 4 lados
  • Ver o numero de diagonais
  • Tirar a barra que desejar desde que sobre uma barra na diagonal
  • Fazer isso em todos os setores de 4 lados

Se fizermos exatamente isso, no fim teremos uma estrutura completamente isostática, tanto externamente quanto internamente. Vamos testar então? bora lá

Passo 2

Como dito vamos começar da esquerda pra direita e de baixo para cima, o nosso primeiro setor está marcado de verde

Perceba que podemos tirar tanto a barra AE quanto a barra BD, ambas podem ser retiradas sem mais problemas, nesse caso escolhendo aleatoriamente posso retirar a barra BD e com isso teria

Repetindo esse processo para cada setor poligonal da nossa estrutura teremos que as barras escolhidas para serem retiradas são

BD

DH

HJ

BF

FH

HL

LM

MO

MR

E dessa forma nossa estrutura isostática será

E é só isso o exercício 😊😊😊

Resposta

As barras a serem rompidas são

BD

DH

HJ

BF

FH

HL

LM

MO

MR

E a estrutura isostática será

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

A treliça abaixo representa uma treliça de torres elétricas. Em determinado dia foi entendido que a barra AB possuía um problema de sustentação e deveria ser trocada. Usando seu conhecimento de treliças, determine se a substituição da peça deve ser feita de forma imediata, ou se a manutenção da mesma pode mudar o tipo de estrutura da torre. Se a retirada da barra for causar mudança estrutural, explique a melhor maneira de agira para que isso não ocorra.

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Passo 1

Para sabermos se nossa estrutura é estável devemos fazer duas coisas:

  • Primeiro precisamos garantir que a nossa estrutura pode ser definida como uma treliça.
  • Se puder ser definida como uma treliça, deveremos refazer a analise, mas agora sem a barra de sustentação. Nesse segundo caso teremos que garantir se a barra de fato irá mudar o estado estrutural da estrutura, e se mudar, deveremos explicar como proceder para evitar isso.

Entendida a forma que iremos proceder, vamos partir para a solução do problema. Bora lá 😊.

Passo 2

Como já sabemos, para definirmos se a nossa estrutura é treliçada, precisamos garantir que conseguiremos determinar todos os nós a partir de 2 nós iniciais, dessa forma, definindo 2 nós iniciais consecutivos, podemos fazer a análise da seguinte maneira

A partir desses 2 nós, conseguimos determinar o terceiro nó, como mostra a figura abaixo

Seguindo o mesmo principio podemos ver abaixo que de fato conseguimos determinar todos os nós a partir dos 2 nós iniciais, logo, de fato a nossa estrutura pode ser considerada uma estrutura do tipo treliçada

Vamos agora fazer a mesma analise, porém agora, retirando a barra que no enunciado foi dito ter um problema.

Passo 3

Faremos a mesma analise que antes, escolheremos dois nós iniciais e a partir dele iremos ver se conseguimos determinar todos os outros, se não for possível, de fato teremos uma estrutura que não mais é considerada treliçada e nesse caso teremos que dar uma solução ao problema, vamos lá então.

Podemos determinar exatamente os dois nós iniciais que consideramos na figura anterior, porém irei usar nós diferentes para mostrar que podemos fazer essa analise por qualquer lado, desde que comecemos por 2 nós consecutivos. Dessa forma definirei os seguintes nós

A partir deles podemos definir o nó 3

Agora definimos o nó 4

Agora o nó 5

E o nó 6

Mas a partir daqui temos um problema, veja que a partir dos nós 4 e 6 é impossível encontrar um próximo nó, pois o que faria a ligação desses nós seria exatamente a barra AB que foi retirada. Ou seja, podemos definir que na verdade a nossa estrutura sofreria riscos caso tirássemos a barra AB, já que a mesma deixaria de ser treliçada como era seu estado anterior. Mas o que podemos fazer pra resolver isso?

Passo 4

Olhando novamente a nossa figura, temos que