Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade e Dispersão para Dados Agrupados

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Enunciado

Considerando os dados abaixo:

  1. Construa a distribuição de frequência para dados grupados (utilizando Sturges);
  2. Encontre a amplitude total;
  3. Calcule a média;
  4. Calcule a mediana;
  5. Calcule a moda;
  6. Calcule a variância;
  7. Calcule o desvio padrão;
  8. Calcule o coeficiente de variação.

Passo 1

(a)

Aqui nós montaremos uma tabelinha de distribuição de frequência assim como fazíamos para os dados, a diferença é que aqui agruparemos os dados para montar!

Então, a primeira coisa que faremos como queremos dados agrupados, é dividir os valores em classes.

O exercício pede pra usarmos a regra da Sturges. Como vimos lá na teoria, a fórmula para essa regra é:

n °   d e   c l a s s e s → k = 1 + 3,3 . log ⁡ n

Onde n é o número de elementos da nossa amostra e k a quantidade de classe que vamos ter! Se a gente tem 42 valores na amostra:

1 + 3,3 . log ⁡ 42 = 6,356

k = 6,356

Arredondando isso aí, vamos ter então 6 classes.

Passo 2

(b) Agora precisamos calcular a amplitude da nossa amostra.

Reparem que a nossa tabela já tá em ordem crescente! A diferença aqui é que tá crescendo “pra baixo”, no sentido das colunas, e não das linhas.

Então podemos ver de cara que o maior valor que temos é 104 e o menor é 80.

A amplitude total da amostra é então:

A m p = 104 - 80 = 24

Com isso, cada classe vai ter uma amplitude igual a:

h = 24 6 = 4

Ou seja vamos ter classes de 4 em 4, começando por 80.

Passo 3

Para construir a distribuição de frequência vamos montar uma tabela com as seguintes colunas:

1 - C l a s s e s

2 - X i   ( o s   v a l o r e s   m é d i o s   d a s   c l a s s e s )

Vamos ver como fica para a nossa primeira classe, que vai começar em 80 e como h = 4 , vai terminar em 80 + 4 = 84 . Nossos valores entre 80 e 84 são:

80 ;   80,5 ;   83,5

Lembrem que nunca contamos o valor que “fecha” o intervalo, no nosso caso o 84 .

Vamos calcular as informações dessa primeira classe então. Começando pelo valor médio X 1 . Se a classe vai de 80 a 84 , o valor médio é:

X 1 = 80 + 84 2 = 82

3 - f i f r e q u ê n c i a   a b s o l u t a   d e   c a d a   c l a s s e

Agora a frequência absoluta da classe, ou seja, quantos elementos temos dentro dela. Por exemplo,

f 1 = 3

4 - F i f r e q u ê n c i a   a c u m u l a d a

Só ir somando as f i anteriores;

No primeiro caso

F 1 = 3

Por quê? Porque essa é nossa primeira classe, então não temos nenhuma frequência acumulada para somar a ela, por que não há classes antes dela!

No caso

F 2 = 11 + 3 = 14

E vamos seguir esse mesmo processo pro restante! Ficaremos com

5 - f r i f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a

Que é dividir f i pelo total de valores que no caso são 42;

Por exemplo, na primeira classe a frequência relativa vai ficar:

f r 1 = f 1 F t o t a l = 3 42 = 0,0714

6 - F r i f r e q u ê n c i a   r e l a t i v a   a c u m u l a d a

Que é dividir F i pelo total de valores (42). Para a primeira classe, teriamos

F r 1 = F 1 F t o t a l = 3 42 = 0,0714

Passo 4

Repetindo esse passo a passo para todas as classes, ficaria algo assim:

Passo 5

(c)

Para dados grupados calculamos a média usando:

x ¯ = ∑ i = 1 n x i f i n

x ¯ = 82 × 3 + 86 × 11 + … + 102 × 2 42 = 90,67

Passo 6

(d)

Pra calcular a mediana, temos primeiro que identificar a classe da mediana.

Para isso calculamos o valor de n / 2 que será 42 2 = 21 .

Agora, olhando para os valores de F i procuramos em qual classe estará o valor 21. Percebemos que a classe 84 - 88 tem F = 14 . Como queremos 21 não usaremos essa e sim a seguinte.

No nosso caso a classe da mediana será 88 - 92 .

Ai usamos a fórmula:

M d = l M D + n 2 - ∑ F . h f M D

Onde

l M D → limite inferior da classe que contém a mediana.

F → frequência acumulada anterior à classe que contém a mediana.

f M D → frequência dessa classe.

h → amplitude da classe

Assim,

M d = 88 + 21 - 14 . 4 13 = 90,15

Passo 7

(e)

Para calcular a moda, temos primeiro que achar a classe modal que é a classe com a maior frequência absoluta.

No casso é a classe 88 - 92   que tem f i = 13 .

Aí usamos a fórmula:

M o = l + Δ 1 Δ 1 + Δ 2 . h

Onde

l → limite inferior da classe modal

Δ 1 →   frequência da classe modal menos a da classe anterior

Δ 2 → frequência da classe modal menos a da classe posterior

h → amplitude da classe

M o = 88 + 13 - 11 13 - 11 + ( 13 - 8 ) . 4 = 89,14

Passo 8

(f)

Para a variância vamos usar a fórmula:

s 2 = ∑ x i - x ¯ ² . f i n - 1

s 2 = 82 - 90,67 2 . 3 + 86 - 90,67 2 . 11 + … + 102 - 90,67 2 . 2 41

s ² = 26,47

Passo 9

(g)

Desvio padrão:

s = s ² = 26,47 = 5,14

Passo 10

(h)

Coef. De variação:

c v = s x ¯ = 5,14 90,67 = 0,057

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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