Exercícios Resolvidos de Método da Posição Falsa

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Enunciado

5. Seja a função f x = x 3 + 3 x - 5 definida no intervalo I = 1 ,   1.25 .

(a) Mostre, sem a utilização de gráfico, que existe pelo menos um zero de f x no intervalo I .

(b) Mostre, sem a utilização de gráfico, que este zero de f x é único no intervalo.

(c) Use o método da falsa posição para encontrar o zero de f x em I . Faça 3 iterações (isto é, determine o valor da aproximação x 2 ao final do passo k = 2 ).

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que provar que existe ao menos uma raiz dentro do intervalo de x = 1 a x = 1,25 e que essa raiz é única.

Depois usamos o método da falsa posição para obter o 0 de f x dentro do intervalo fazendo 3 itrações.

Sabe como fazemos isso? 🤔

Primeiro, para mostrar que existe ao menos uma raiz de f x no intervalo, calculamos a imagem da função em x = 1 e em x = 1,25 e verificamos se os sinais são opostos...

Já para verificar se a raiz é única, calculamos a derivada de f x e analisamos se o resultado é crescente ou decrescente em todo o intervalo.

E depois, vamos verificar a raiz da função a partir do método da falsa posição.

Esse método consiste em obter a raiz em um intervalo a , b

x = a f b - b f a f b - f a

Se f a · f x > 0 , fazemos a = x , se não for, fazemos b = x e repetimos o procedimento.

Nesse caso não precisamos definir os valores da nossa precisão, pois nosso limite é o nosso número de iterações, no caso, igual a 3 .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos substituir x por 1 em f x e depois por 1,25 .

f 1 = 1 3 + 3 1 - 5 = - 1

f 1 , 25 = 1 , 25 3 + 3 1 , 25 - 5 = 0,7031

Se em x = 1 a imagem da função é negativa, em x = 1,25 a imagem da função é positiva e a função é contínua nesse intervalo, então certamente existe ao menos uma raiz nesse intervalo!

Para verificar se é apenas uma raiz, vamos calcular a derivada de f x pelo método de derivação polinomial.

f ' x = 3 x 3 - 1 + 3 x 1 - 1 - 5 0

f ' x = 3 x 2 + 3

Analisando f ' x , vemos que para x > 0 , a função é estritamente crescente, logo a função f x possui apenas uma raiz em x > 0 !

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos partir para o cálculo do método da falsa posição.

x = a f b - b f a f b - f a

Fazendo a = 1 e b = 1,25 , vimos que f a = - 1 e f b = 0,7031 .

Calculando a iteração k = 0 , temos

x 0 = 1 0,7031 - 1,25 - 1 0,7031 - - 1

x 0 = 1,1468

Calculando a imagem de x 0 , temos

f 1,1468 = 1,1468 3 + 3 1,1468 - 5

f 1,1468 = - 0,0514

f 1,1468 e f 1 tem o mesmo sinal, portanto f 1,1468 · f 1 > 0 , logo reconsideramos a = 1,1468 e refazemos o teste.

x 1 = 1,1468 0,7031 - 1,25 - 0,0514 0,7031 - - 0,0514

x 1 = 1,1538

Calculando a imagem de x 1 ...

f 1 , 1538 = 1 , 1538 3 + 3 1 , 1538 - 5

f 1,1538 = - 0,0024

f x 1 e f a tem o mesmo sinal, então mudamos a para x 1 novamente

E por fim, refazendo o teste...

x 2 = 1 , 1538 0,7031 - 1,25 - 0 , 0024 0,7031 - - 0 , 0024

x 2 = 1,1541

E a imagem de x 2 é dada por

f 1 , 1541 = 1 , 1541 3 + 3 1 , 1541 - 5

f 1 , 1541 = - 0,0001

Com isso, vemos que o valor da raiz de f x é igual a aproximadamente 1 , 1541 !

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a) f 1 = - 1 ,     f 1,25 = 0,7031

b) f ' x = 3 x 2 + 3

c) f 1 , 1541 = - 0 , 0001