Exercícios Resolvidos de Método das forças – Solução dos sistemas de equações e incógnitas

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Enunciado

Determine o valor das reações de cada apoio do sistema hiperestático dado abaixo.

Passo 1

Faaala, galerinha!!! Agora vamos ver como achar as reações de uma viga hiperestática utilizando o método das forças!!!

Para a utilização deste método é muito importante sabermos construir o diagrama de momento fletor e calcular o deslocamento δ de um ponto numa estrutura isostática.

Então vamos fazer o seguinte:

  1. Transformar essa estrutura numa estrutura isostática.
  2. Montar os diagramas de momento fletor.
  3. Calcular os deslocamentos.
  4. Achar os hiperestáticos.
  5. Achar as reações

Passo 2

Então vamos transformar nossa viga hiperestática numa viga isostática. Vamos fazer isso transformando o engaste em um apoio de segundo gênero e adicionando um momento; e também transformando o apoio de segundo gênero em apoio do primeiro gênero e adicionando uma força horizontal. Essa força e o momento são os nossos hiperestáticos.

Agora a gente tem que lembrar de separar em sistemas distintos, nesse caso serão três sistemas:

Que nos fornecerão as seguintes equações de deslocamentos.

δ 10 + δ 11 . X 1 + δ 12 . X 2 = 0

δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

Passo 3

Agora vamos montar os diagramas de momento fletor para cara sistema lembrando que nosso hiperestático será considerado como uma força ou momento unitário.

Passo 4

Agora vamos combinar esses diagramas de forma a obter os deslocamentos. Quando eu falo combinar a gente tem que se ligar na seguinte expressão e da tabela

δ 10 + δ 11 . X 1 + δ 12 . X 2 = 0

δ 20 + δ 21 . X 1 + δ 22 . X 2 = 0

A primeira coisa que a gente pode verificar é que no sistema 1 não há momento logo podemos eliminar todos os deslocamentos que tem 1 como índice, obtendo:

δ 20 + δ 22 . X 2 = 0

Desta forma o deslocamento δ 20 pode ser calculado dividindo a viga ao meio e calculando a combinação de um triângulo + trapézio e a combinação de dois triângulos. Lembrando que eles tem sentidos opostos logo temos de adicionar um sinal negativo.

E J δ 20 = 1 6 L ' M A + 2 M B M B - + 1 3 L ' M B M B -

E J δ 20 = - 1 6 . 3 . 1 + 0,5 . 7,5 + 1 3 . 3.7,5.0,5 = - 5,625 + 3,75

δ 20 = - 3,75 E J

E para δ 22 vamos ter a combinação de dois triângulos de mesmo sentido:

E J δ 22 = 1 3 L ' M B M B -

δ 22 = 1 3 . 6.7,5.1 = 15 E J

Passo 5

Com esses dois deslocamentos vamos poder achar o hiperestático X 2 :

δ 20 + δ 22 . X 2 = 0

- 3,75 E J + 15 E J . X 2 = 0

X 2 = 0,25

E o hiperestático X 1 ? Pessoal, como o nosso momento fletor deu nulo e não dá pra calcular esse termo então a gente considere ele como sendo zero mesmo beleza?

X 1 = 0

Passo 6

Agora para achar as reações a gente vai considerar a reação de cada sistema separado:

Como o hiperestático X 1 é nulo podemos ignorar o sistema 1 e partir para o sistema 2:

Agora vamos finalmente achar a reação verdadeira:

Para o apoio da esquerda:

R v = R v 0 + R v 2 . X 2

R v = - 2,5 - 1 6   .   0,25 = - 2,54   k N

Para o apoio da direita:

R v = R v 0 + R v 2 . X 2

R v = 2,5 + 1,6.0,25 = 2,54   k N

Passo 7

Para achar as outras reações é só voltar lá no começo e substituir essa reação que acabamos de encontrar e utilizar as equações da estática:

R v = - 2,54   k N

R ' v = 2,54   k N

R H = 0

R H ' = 0

M = 0,24   k N . m

Resposta

R v = - 2,54   k N

R ' v = 2,54   k N

R H = 0

R H ' = 0

M = 0,24   k N . m