Exercícios Resolvidos de Método de Jacobi-Richardson

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Enunciado

Utilize os critérios das linhas para garantir convergência:

Passo 1

Um ponto importante em Jacobi-Richardson é que o critério das linhas será satisfeito se:

Na verdade, diferente de outros métodos, se nós conseguirmos garantir qualquer um, tipo, qualquer critério mesmo...Pasme, aí garantimos a convergência.

É isso mesmo, garantir um critério só já é sucesso.

Vemos que uma matriz qualquer A é estritamente diagonar dominante se a soma dos termos a i j da linha i for menor (em módulo) que o termo dominante da linha a i i .

Tendo o nosso sistema:

Existem duas maneiras de satisfazer o critério das linhas, primeiro é testar se a matriz é estritamente diagonal dominante e o outro falaremos no passo 2.

Vamos entender em termos de linhas e colunas:

| a 11 | = | a 12 | + | a 13 |

| a 22 = | a 2 1 + a 2 3

| a 33 | = | a 3 1 | + | a 3 2 |

Agora, testaremos se a matriz é estritamente dominante:

| a 11 = | a 12 + a 13 = 2 + 1 < | 10 |

| a 22 = | a 21 + a 23 = 1 + 1 < | 5 |

| a 33 = | a 31 + a 32 = 2 + 3 < | 10 |

Apenas com esse critério, já garantimos que Jacobi-Richardson pode ser implementado!

Passo 2

Para calcular o critério das linhas propriamente dito, voltaremos láaaaaa pra nossa matriz:

Faremos o seguinte, vamos pegar o termo dominante de cada linha (linha 1: a 11 , linha 2:   a 22 , linha 3: a 33 ). E dividiremos os demais temos pelos termos dominantes:

a 12 = a 12 a 1 1 = 2 10 = 0,2

a 1 3 = a 1 3 a 11 = 1 10 = 0,1

a 2 1 = a 2 1 a 22 = 1 5 = 0,2

a 23 = a 2 3 a 22 = 1 10 = 0 , 2

a 31 = a 31 a 33 = 2 10 = 0,2

a 32 = a 3 2 a 33 = 3 10 = 0 , 3

Montando a função temos:

Mesmo não sendo necessário, já que garantimos a convergência no passo anterior, podemos calcular novamente os módulos assim:

| a 11 = | a 12 + a 13 = 0,2 + 0 , 1 = 0,3

| a 22 = | a 21 + a 23 = 0,2 + 0,2 = 0,4

| a 33 = | a 31 + a 32 = 0 , 2 + 0 , 3 = 0,5

Perceba que 0,5 foi o maior valor obtido, então é o nosso máximo, e o valor máximo deve ser sempre menor que 1. Então se 0,5

Resposta

0,5 < 1  

Critério atendido

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26. Verifique que, se lim k → ∞ ⁡ x k = α , onde x ( j + 1 ) = C x j + g , então α é solução de x = C x + g .