Exercícios Resolvidos de Método de Runge-Kutta

Enunciado

A informação abaixo é essencial num PVI:

  1. Intervalo
  2. Erro
  3. iterações
  4. Valor Inicial

Passo 1

Vamos lá!! Afinal, o que é um PVI, Problema de Valor Inicial?

Antes de falar o que é um PVI, vamos entender porque eles são tão comuns. Veja essa EDO:

y ' ' + y = 0

Resolver uma EDO é achar todas as funções y ( x ) que satisfazem à equação. Nesse caso, a solução é:

y = A cos ⁡ x + B sin ⁡ x

Onde A e B são constantes reais arbitrárias. Isto é, pra qualquer valores que a gente jogar nessas constantes, a função y sempre vai satisfazer à EDO. Chamamos isso de solução geral da EDO.

Pra determinar uma função só, precisamos impor mais umas condições. Por exemplo,

y ' ' + y = 0 y 0 = 2 y ' 0 = 3

Agora sim temos só uma solução! Vimos que a geral é:

y = A cos ⁡ x + B sin ⁡ x

Então, precisamos achar os valores de A e B . Para isso, vamos substituir os pontos que foram dados:

y 0 = 2

y ' 0 = 3

Onde y ' = - A sin ⁡ x + B cos ⁡ x . Fazendo y 0 = A cos ⁡ 0 + B sin ⁡ 0 = 2 e y ' 0 = - A sin ⁡ 0 + B cos ⁡ 0 = 3 , achamos os valores para A e B , que são:

A = 2

B = 3

Dessa forma, a resposta da EDO será:

y x = 2 cos ⁡ x + 3 sin ⁡ x

Isso aí é um PVI: a EDO mais os valores iniciais da função e de suas derivadas. Observe que para a nossa EDO aqui, que é de ordem 2 , temos 2 condições iniciais, sobre y e y ' . Se fosse de ordem 1 , precisaríamos só do valor de y ( 0 ) pra determinar a solução.

Resposta

L e t r a   D