Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados e Reflexões

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 164 – Ext 5.2 Adaptado

Determine as matrizes das T L s T : R n R n :

a   n = 2 , reflexão em torno da reta 2 x - 4 y = 0

b   n = 2 , reflexão em torno da reta y = 3 x

c   n = 3 , reflexão em torno do plano x - y + z = 0

Passo 1

a É pedida a matriz que representa a projeção sobre a reta 2 x - 4 y = 0 . Primeiro vamos achar o vetor gerador da reta. Temos:

2 x = 4 y x = 2 y

Logo os vetores da reta são da forma 2 y , y . Portanto, um vetor gerador possível é o 2,1

A fórmula da matriz projeção sobre a direção de um vetor v é dada por:

P v = v v T v T v = 2 1 2 1 2 1 2 1 = 4 2 2 1 5 = 4 5 2 5 2 5 1 5

Para acharmos a matriz rotação R basta fazermos:

R = 2 P - I

R = 2 4 5 2 5 2 5 1 5 - 1 0 0 1 = 8 5 4 5 4 5 2 5 - 1 0 0 1 = 3 5 4 5 4 5 - 3 5 = 1 5 3 4 4 - 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Agora precisamos da matriz que representa a projeção sobre a reta y = 3 x . Novamente, vamos achar o vetor que gera ela:

x , 3 x = x 1,3

A fórmula da matriz projeção sobre a direção de um vetor v é dada por:

P v = v v T v T v = 1 3 1 3 1 3 1 3 = 1 3 3 9 10 = 1 10 3 10 3 10 9 10

Para acharmos a matriz rotação R basta fazermos:

R = 2 P - I

R = 2 1 10 3 10 3 10 9 10 - 1 0 0 1 = 1 5 3 5 3 5 9 5 - 1 0 0 1 = - 4 5 3 5 3 5 4 5 = 1 5 - 4 3 3 4  

Passo 3

c Queremos a reflexão em torno de um plano no R 3 . O que vamos fazer é o seguinte: Primeiro encontramos a matriz projeção no complemento ortogonal do plano. Com essa matriz em mãos encontramos a que faz a projeção no plano. Por fim, encontramos a matriz que reflete pelo plano.

Se não entendeu direito fica calmo que vai ficar claro no caminho haha. Primeiro, vamos encontrar o complemento ortogonal do plano.

Sabemos que ele é uma reta gerada por um vetor ortogonal ao plano. Este pode ser obtido pelos coeficientes da equação do plano:

x - y + z = 0

1 , - 1,1

A matriz que projeta sobre esta reta é dada por:

P v = v v T v T v = 1 - 1 1 [ 1 - 1 1 ] [ 1 - 1 1 ] 1 - 1 1 = 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 3 = 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3

Passo 4

O próximo passo é encontrar P H que projeta o vetor sobre o plano. Ela é dada por:

P H = I - P v

P H = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 - 1 3 1 3 = 2 3 1 3 - 1 3 1 3 2 3 1 3 - 1 3 1 3 2 3

Passo 5

Finalmente, podemos encontrar R H :

R H = 2 P H - I

R H = 2 2 3 1 3 - 1 3 1 3 2 3 1 3 - 1 3 1 3 2 3 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 4 3 2 3 - 2 3 2 3 4 3 2 3 - 2 3 2 3 4 3 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1

R H = 1 3 2 3 - 2 3 2 3 1 3 2 3 - 2 3 2 3 1 3 = 1 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 2 1

Resposta

a 1 5 3 4 4 - 3

b   1 5 - 4 3 3 4

c   1 3 1 2 - 2 2 1 2 - 2 2 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas