Exercícios Resolvidos de Modelagem – Circuito RLC

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 264 - 5

Encontrar carga no capacitor em um circuito em série L-R-C no instante t = 0,01 segundo quando L = 0,05   h e n r y , R = 2   o h m s , C = 0,01   f a r a d ,   E t = 0   v o l t , q 0 = 5   c o u l u m b s e i 0 = 0   a m p e r . Determine o primeiro instante no qual a carga do capacitor é zero.

Passo 1

Vimos na teoria que, pela lei de Kirchhoff das tensões, o circuito RLC se reduz a EDO de 2° ordem:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos substituir os valores dados:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

0,05 d 2 q d t 2 + 2 d q d t + 1 0,01 q = 0

Passo 3

A equação auxiliar é:

0,05 r 2 + 2 r + 1 0,01 = 0

Calculando temos:

= 2 2 - 4 0,05 100 = - 16

Portanto as raízes são:

r 1 = - 2 + 4 i 0,1 = - 20 + 40 i

r 2 = - 2 - 4 i 0,1 = - 20 - 40 i

Passo 4

A solução da EDO é da forma:

q t = e - 20 t c 1 cos 40 t + c 2 s e n 40 t

Pois estamos no caso em que < 0

Passo 5

Podemos determinar as constantes usando as condições iniciais:

q 0 = 5

i 0 = 0

Substituindo a primeira informação:

q t = e - 20 t c 1 cos 40 t + c 2 s e n 40 t

q 0 = e - 20 0 c 1 cos 40 . 0 + c 2 s e n 40 . 0 = c 1

Chegamos então a:

q 0 = c 1 = 5

c 1 = 5

Vamos usar a segunda informação:

i 0 = 0  

Porém sabemos que:

i = d q d t

Portanto, usando a regra do produto temos:

i t = - 20 e - 20 t 5 cos 40 t + c 2 s e n 40 t + - 5 . 40 s e n 40 t + 40 c 2 cos 40 t e - 20 t

Ajeitando:

i t = e - 20 t - 100 cos 40 t - 20 c 2 s e n 40 t - 200 s e n 40 t + 40 c 2 cos 40 t  

Usando i 0 = 0 temos:

i 0 = e - 20 0 - 100 cos 0 - 20 c 2 s e n 0 - 200 s e n 0 + 40 c 2 cos 0

i 0 = - 100 + 40 c 2 = 0

Temos então:

c 2 = 5 2

A solução da EDO fica então:

q t = e - 20 t 5 cos 40 t + 5 2 s e n 40 t

Passo 6

Calculando q 0,01 temos:

q 0,01 = e - 20 0,01 5 cos 40 . ( 0,01 ) + 5 2 s e n 40 ( 0,01 )  

Temos:

q 0,01 = 4,5676   c o u l u m b s

Passo 7

Agora só falta determinar o primeiro instante em que a carga do capacitor é zero. Queremos encontrar o instante que q t = 0 .

Temos então:

q t = e - 20 t 5 cos 40 t + 5 2 s e n 40 t = 0  

Repare que temos então duas possibilidades:

5 cos 40 t + 5 2 s e n 40 t = 0

Ou

e - 20 t = 0

Repare que a exponencial acima só é zero quando t tende a infinito. Logo, ficamos com a primeira possibilidade. Portanto, temos de resolver:

5 cos 40 t + 5 2 s e n 40 t = 0

Que é o mesmo que:

5 cos 40 t = - 5 2 s e n 40 t

Ajeitando:

t g 40 t = - 2

Ou ainda:

a r c t g t g 40 t = a r c t g - 2

40 t = a r c t g - 2

Com a ajuda de uma calculadora, verificamos que:

40 t = a r c t g - 2 = - 1,1071 + k π ,   c o m   k = , - 1,0 , 1

Como queremos a primeira vez, temos de escolher o menor valor para t , e consequentemente para k , desde que t > 0 . Portanto, temos k = 1 . Então temos:

40 t = π - 1,1071

Calculando, encontramos:

t = 0,0509   s e g u n d o s

Resposta

A carga no capacitor no instante 0,01 segundo é q 0,01 = 4,5676   c o u l u m b s

O primeiro instante no qual a carga do capacitor é zero:

t = 0,0509   s e g u n d o s

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