Exercícios Resolvidos de Modelagem – Circuito RLC

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 264 - 13

Encontre a carga no capacitor em um circuito R-L-C em série, quando L = 1 2 h e n r y , R = 10   o h m s , C = 0,01   f a r a d . E t = 150   v o l t s , q 0 = 1   c o u l u m b e i 0 = 0   a m p e r e . Qual é a carga no capacitor após um longo período de tempo?

Passo 1

Vimos na teoria que, pela lei de Kirchhoff das tensões, o circuito RLC se reduz a EDO de 2° ordem:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos substituir os valores dados:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

0,5 d 2 q d t 2 + 10 d q d t + 1 0,01 q = 150

Passo 3

Para resolver essa EDO, temos de resolver a parte homogênea associada e a não homogênea. Ou seja, a solução será:

q = q h + q p

A equação homogênea associada é :

0,5 d 2 q d t 2 + 10 d q d t + 1 0,01 q = 0

A equação auxiliar é:

0,5 r 2 + 10 r + 100 = 0

Calculando temos:

= 10 2 - 4 0,5 100 = - 100

Portanto as raízes são:

r 1 = - 10 + 10 i 1 = - 10 + 10 i

r 2 = - 10 - 10 i 1 = - 10 - 10 i

A solução da EDO homogênea associada é da forma:

q t = e - 10 t c 1 cos 10 t + c 2 s e n 10 t

Pois estamos no caso em que < 0

Passo 4

Agora vamos encontrar a solução da parte não homogênea. Pelo método dos coeficientes a determinar, o nosso palpite será:

q p = A

Encontrando as derivadas temos:

d q d t = 0

d 2 q d t 2 = 0

Substituindo na EDO temos:

0,5 d 2 q d t 2 + 10 d q d t + 1 0,01 q = 150

0,5 . 0 + 10 . 0 + 1 0,01 A = 150

Então:

A = 3 2

Portanto a solução particular fica:

q p = 3 2

Passo 5

Logo, a solução geral é:

q t = e - 10 t c 1 cos 10 t + c 2 s e n 10 t + 3 / 2  

Passo 6

Vamos usar as informações:

q 0 = 1

i ( 0 ) = 0

Primeiro vamos encontrar:

i = d q d t

Então temos:

q t = e - 10 t c 1 cos 10 t + c 2 s e n 10 t + 3 / 2  

Derivando:

i = - 10 e - 10 t c 1 cos 10 t + c 2 s e n 10 t + e - 10 t - 10 c 1 sen 10 t + 10 c 2 c o s 10 t

Usando a segunda informação temos:

i 0 = 0 = - 10 e 0 c 1 cos 0 + c 2 s e n 0 + e - 0 - 10 c 1 sen 0 + 10 c 2 c o s 0  

Que nos leva a :

0 = - 10 c 1 + 10 c 2

c 1 = c 2

Utilizando a primeira informação, q 0 = 1 temos:

q 0 = 1 = e 0 c 1 cos 0 + c 2 s e n 0 + 3 / 2  

Que resulta em:

c 1 = - 1 2

Então:

c 2 = - 1 2

Portanto a solução geral fica:

q t = e - 10 t - 1 2 cos 10 t - 1 2 s e n 10 t + 3 / 2  

Passo 7

O problema ainda pede a carga no capacitor após um longo período de tempo, ou seja, ele quer q t quando t tende a infinito.

q t = e - 10 t - 1 2 cos 10 t - 1 2 s e n 10 t + 3 / 2  

Perceba que o termo   e - 10 t - 1 2 cos 10 t - 1 2 s e n 10 t tende a zero quando t tende ao infinito, devido ao teorema do confronto. Logo a carga no capacitor após um longo período de tempo é 3 2   c o u l u m b

Resposta

A carga no capacitor é:

q t = e - 10 t - 1 2 cos 10 t - 1 2 s e n 10 t + 3 / 2  

A carga no capacitor após um longo período de tempo é 3 2   c o u l u m b

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