Exercícios Resolvidos de Modelagem – Circuito RLC

UERJ - Cálculo 3 - Lista 7 Fernando Lopes

Resolva o circuito RLC

Sabendo que as quedas de voltagem são:

I n d u t o r     L d I d t R e s i s t o r     R I C a p a c i t o r   Q C

E que a força eletromotriz da fonte é:

E t = E 0 sen ( w s t )

Faça

2 b = R L             w 0 2 = 1 L C             F = w 0 E 0 L

Passo 1

Pela teoria de Kirchoff, a tensão fornecida à um circuito fechado deve ser igual as quedas de tensões ao longo dele, assim:

L d I d t + R I + Q C = E 0 sen ( w s t )

Pela definição de corrente:

I = d Q d t d Q = I d t     Q = I d t

Subtituindo isso na EDO:

L d I d t + R I + 1 C I d t = E 0 sen ( w s t )

Derivando tudo com relação ao tempo:

L d 2 I d t 2 + R d I d t + I C = E 0 w s cos ( w s t )

Não esquece da regra da cadeia: ( E 0 sen ( w s t ) ) ' = E 0 w s cos ( w s t )

Bem bem, tá quase com a cara que a gente gosta, vamos dividir tudo por L :

d 2 I d t 2 + R L d I d t + 1 C L I = E 0 w s L cos w s t

Beleza, vamos escrever agora em função das variáveis que ele definiu:

d 2 I d t 2 + 2 b d I d t + w 0 2 I = F cos w s t

Agora temos que resolver essa parada ae né? Simbora

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver a EDO homogênea!

d 2 I d t 2 + 2 b d I d t + w 0 2 I = 0

Fazendo a equação característica:

r 2 + 2 b + w 0 2 = 0

r 1 = - 2 + 4 b 2 - 4 w 0 2 2 = - 2 + 4 b 2 - w 0 2 2 = - 2 + 2 b 2 - w 0 2 2 = - 1 + b 2 - w 0 2 r 2 = - 2 - 4 b 2 - 4 w 0 2 2 = - 2 - 4 b 2 - w 0 2 2 = - 2 - 2 b 2 - w 0 2 2 = - 1 - b 2 - w 0 2

Bem, a resposta varia de acordo com o sinal do cara dentro da raiz, podemos separa em 3 casos,

b 2 - w 0 2 > 0 b > w 0

b 2 - w 0 2 = 0 b = w 0

b 2 - w 0 2 < 0 b < w 0

Lembrando que, pelas propriedades físicas usadas, o b > 0

Pensa bem, o sistema está impondo uma voltagem oscilante no sistema, então uma solução de resposta da corrente oscilando parece justo se o amortecimento não for muito grande. O que expressaria oscilação seria para o caso b < w 0 , porque ae a solução seria uma combinação de seno com cosseno, o que representa bem o que queremos.

r 1 = - 1 + i w 0 2 - b 2

r 1 = - 1 - i w 0 2 - b 2

Assim a solução da equação homogênea é:

I h = e - t c 1 cos w 0 2 - b 2 . t + c 2 sen w 0 2 - b 2 . t

Galera, paranauê bolado, você pode juntar esse s e n e c o s :

A sen ( c t ) + B cos ( c t ) = A 2 + B 2 cos c t + ϕ = C cos c t + ϕ

Assim fica:

c 1 cos w 0 2 - b 2 . t + c 2 sen w 0 2 - b 2 . t = A cos w 0 2 - b 2 . t + ϕ

Basicamente trocamos as duas constantes para determinar :   c 1 e c 2   por A e ϕ

Passo 3

A carona da função é F cos w s t do outro lado, né? Então podemos chutar uma solução particular desse tipo:

I p = k 1 . cos w s t + k 2 . sen ( w s t )

Como a homogênea é multiplicada por exponencial, esse tipo de solução é viável para a particular, não tem necessidade de multiplica-la por nada, assim:

I p ' = - k 1 w s sen w s t + k 2 w s . cos ( w s t )

I p ' ' = - k 1 w s 2 cos w s t - k 2 w s 2 sen w s t

Substituindo em:   d 2 I d t 2 + 2 b d I d t + w 0 2 I = F cos w s t

Obtemos:

- k 1 w s 2 cos w s t - k 2 w s 2 sen w s t - 2 b k 1 w s sen w s t + 2 b k 2 w s . cos w s t + w 0 2 k 1 . cos w s t + w 0 2 k 2 . sen w s t = F cos w s t

Para gigante, né ? O.o ...vamos juntar o que tem cosseno e o que tem seno:

sen w s t - k 2 w s 2 - 2 b k 1 w s + w 0 2 k 2 + cos w s t - k 1 w s 2 + 2 b k 2 w s + w 0 2 k 1 = F cos w s t

Daí temos que:

- k 2 w s 2 - 2 b k 1 w s + w 0 2 k 2 = 0   k 2 w 0 2 - w s 2 = 2 b k 1 w s

- k 1 w s 2 + 2 b k 2 w s + w 0 2 k 1 = F   - k 1 w 0 2 - w s 2 + 2 b k 2 w s = F

Que doidera, né?!

Mas olha, da primeira equação nós temos que:

k 2 w 0 2 - w s 2 = 2 b k 1 w s k 1 = k 2 2 b w s w 0 2 - w s 2

Substituindo isso na segunda equação:

- k 2 2 b w s w 0 2 - w s 2 2 + 2 b k 2 w s = F Assim:

k 2 2 b w s - w 0 2 - w s 2 2 2 b w s = F

Logo k 2 :

k 2 = F 2 b w s - w 0 2 - w s 2 2 2 b w s = 2 b w s F 4 b 2 w s 2 - w 0 2 - w s 2

Então k 1 :

k 1 = k 2 2 b w s w 0 2 - w s 2 = w 0 2 - w s 2 F 4 b 2 w s 2 - w 0 2 - w s 2

Encontrar a cara da solução particular: I p = k 1 . cos w s t + k 2 . sen ( w s t )

Ficou:

I p = w 0 2 - w s 2 F 4 b 2 w s 2 - w 0 2 - w s 2 . cos w s t + 2 b w s F 4 b 2 w s 2 - w 0 2 - w s 2 . sen ( w s t )

I p = F 4 b 2 w s 2 - w 0 2 - w s 2 . ( w 0 2 - w s 2 cos w s t + 2 b w s sen w s t )

Passo 4

Então a solução geral I = I p + I h é:

I = F 4 b 2 w s 2 - w 0 2 - w s 2 . ( w 0 2 - w s 2 cos w s t + 2 b w s sen w s t )

Resposta

I ( t ) = F 4 b 2 w s 2 - w 0 2 - w s 2 . ( w 0 2 - w s 2 cos w s t + 2 b w s sen w s t )

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