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Exercícios Resolvidos de Modelos elétricos

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Enunciado

Determine a função de transferência V L ( s ) / V ( s ) para o circuito abaixo:

Passo 1

Vamos resolver esse problema usando a lei das malhas. A lei das malhas diz que a soma das tensões em uma determinada malha é igual a 0 .

Temos aqui um circuito com duas malhas, vamos desenhar para conseguir ver melhor:

Passo 2

Agora, devemos escrever a equação para cada uma das malhas. Para isso, percorremos todo o “círculo” e escrevemos todas as tensões que encontramos. Para a primeira malha:

v t = 2 d i 1 ( t ) d t + 2 i 1 - 2 i 2                 ( 1 )

Para a segunda malha:

0 = 2 i 2 - 2 i 1 + 2 i 2 + 2 d i 2 ( t ) d t

Simplificando:

0 = i 2 - i 1 + i 2 + d i 2 t d t           ( 2 )

Passo 3

Para facilitar nossas manipulações algébricas, vamos aplicar Laplace de uma vez porque depois disso, tudo fica mais fácil.

Aplicando Laplace em ( 1 ) e ( 2 ) :

V s = 2 s I 1 s + 2 I 1 s - 2 I 2 s = 2 s + 2 I 1 s - 2 I 2 s         ( 3 )

0 = I 2 s - I 1 s + I 2 s + s I 2 s           ( 4 )

Vamos agora isolar I 1 s em ( 4 ) :

I 1 s = s + 2 I 2 ( s )

Substituindo em ( 3 ) :

V s = 2 s + 2 s + 2 I 2 s - 2 I 2 ( s )

V s = 2 s + 2 s + 2 - 2 I 2 ( s )

V s = 2 s 2 + 6 s + 2 I 2 s                 ( 5 )

Passo 4

Entretanto, o exercício pede a relação entre a tenção no indutor e a tensão de entrada do circuito.

A tensão no indutor pode ser calculada como:

v L t = L d i 2 t d t = 2 d i 2 t d t

Aplicando Laplace:

V L s = 2 s I 2 ( s )

Logo:

I 2 s = V L s 2 s

Substituindo em ( 5 ) :

V s = 2 s 2 + 6 s + 2 V L s 2 s

Por fim:

V L s V s = s s 2 + 3 s + 1

Resposta

V L s V s = s s 2 + 3 s + 1