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Exercícios Resolvidos de Modelos elétricos

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Enunciado

Determine a função de transferência para o circuito passivo abaixo:

Passo 1

Vamos resolver esse circuito pela regra dos nós. Como temos apenas um nó no circuito, a gente já sabe em qual aplicar a regra.

Logo:

i 1 + i 2 = 0

Obs: a direção das setas é arbitrado.

Passo 2

Precisaremos, então, encontrar as corrente i 1 e i 2 para aplicar a regra dos nós. Entretanto, a corrente i 1 passa por um capacitor e um indutor. Para encontrar essa corrente em função de V i n e V o u t , precisaremos determinar um ponto intermediário:

Vamos então definir duas expressões para i 1 . Como a corrente que passa pelo capacitor e indutor é a mesma, podemos escrever uma expressão para cada elemento:

i 1 ( t ) = 1 L ∫ V o u t t - V m t d t             ( 1 )

i 1 ( t ) = C d V m t - V i n t d t                     ( 2 )

Precisamos isolar V m em uma das expressões e substituir na outra, entretanto, por se tratar de equações diferenciais, essa manipulação vai ficar mais fácil se aplicarmos Laplace:

i 1 s = 1 L s V o u t s - V m s           ( 3 )

i 1 s = C s V m s - V i n s             ( 4 )

Vamos isolar V m ( s ) em ( 4 ) :

i 1 s = C s V m s - C s V i n ( s )

C s V m s = i 1 s + C s V i n ( s )

V m s = i 1 s C s + V i n ( s )

Substituindo em ( 3 ) :

i 1 s = 1 L s V o u t s - i 1 s C s - V i n s

Isolando i 1 ( s ) :

i 1 s + i 1 s L C s 2 = 1 L s V o u t s - V i n s

1 + 1 L C s 2 i 1 s = 1 L s V o u t s - V i n s

L C s 2 + 1 L C s 2 i 1 s = 1 L s V o u t s - V i n s

i 1 s = C s L C s 2 + 1 V o u t s - V i n s

Ufa, finalmemte conseguimos uma expressão para i 1 ( s ) que relaciona V o u t e V i n

Passo 3

A expressão para i 2 é mais fácil de obter:

i 2 t = V o u t t - 0 R = V o u t t R

Esse zdro aí em cima é devido ao fato do ramo de onde “vem” a i 2 estar aterrado, logo, a tensão é 0 .

Aplicando Laplace:

i 2 s = V o u t s R

Passo 4

Por fim, somando-se as duas corresntes:

i 1 + i 2 = 0

C s L C s 2 + 1 V o u t s - V i n s + V o u t s R = 0

Rearranjando:

C s L C s 2 + 1 V o u t s + V o u t s R = C s L C s 2 + 1 V i n ( s )

C s L C s 2 + 1 + 1 R V o u t s = C s L C s 2 + 1 V i n ( s )

V o u t s V i n s = C s L C s 2 + 1 C s L C s 2 + 1 + 1 R

Simplificando:

V o u t s V i n s = R C s R C s + L C s 2 + 1

Resposta

V o u t s V i n s = R C s R C s + L C s 2 + 1