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Exercícios Resolvidos de Modelos elétricos

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Enunciado

Determine a função de transferência V L ( s ) / V ( s ) para o circuito abaixo:

Passo 1

Vamos resolver esse exercício aplicando a lei das malhas para o circuito, sendo assim, a soma de todas as tensões dentro de uma malha deve ser igual a 0 .

Vamos considerar as duas malhas internas do circuito representadas abaixo pelas correntes i 1 e i 2 .

Passo 2

Devemos escrever então duas equações, uma pra cada malha. Devemos somar todas as tensões presentes em cada malha. Para isso, usaremos as fómulas da tabela:

Para a primeira malha:

v t = 2 i 1 t + ∫ i 1 t d t + 2 i 1 t - 2 i 2 t + ∫ i 1 t d t - ∫ i 2 t d t           ( 1 )

Para a segunda malha:

0 = 2 i 2 t + 2 d i 2 t d t + ∫ i 2 t d t - ∫ i 1 t d t + 2 i 2 t - 2 i 1 t             ( 2 )

Passo 3

Como trabalhar com um sistema de EDO’s é uma coisa muito complicada e nada prática, vamos aplicar Laplace para facilitar nossas manipulações.

Aplicando Laplace em ( 1 ) :

V s = 2 I 1 s + I 1 s s + 2 I 1 s - 2 I 2 s + I 1 s s - I 2 s s

V s = 4 + 2 s I 1 s - 2 + 1 s I 2 s       ( 3 )

Agora em ( 2 ) :

0 = 2 I 2 s + 2 s I 2 s + I 2 s s - I 1 s s + 2 I 2 s - 2 I 1 ( s )

Rearranjando:

2 + 1 s I 1 ( s ) = 4 + 2 s + 1 s I 2 ( s )

I 1 s = s 2 s + 1 4 + 2 s + 1 s I 2 s         ( 4 )

Substituindo ( 4 ) em ( 3 ) :

V s = 4 s + 2 s s 2 s + 1 4 + 2 s + 1 s I 2 s - 2 s + 1 s I 2 ( s )

V s = 2 4 + 2 s + 1 s I 2 s - 2 s + 1 s I 2 ( s )

V s = 8 + 4 s + 2 s - 2 - 1 s I 2 ( s )

V s = 6 + 4 s + 1 s I 2 ( s )

V s = 6 s + 4 s 2 + 1 s I 2 ( s )

Logo:

I 2 s V s = s 6 s + 4 s 2 + 1                   ( 5 )

Passo 4

Entretanto, o exercício pede a relação entre a tenção no indutor e a tensão de entrada do circuito.

A tensão no indutor pode ser calculada como:

v L t = L d i 2 t d t = 2 d i 2 t d t

Aplicando Laplace:

V L s = 2 s I 2 ( s )

Logo:

I 2 s = V L s 2 s

Substituindo em ( 5 ) :

V L s V s = 2 s 2 6 s + 4 s 2 + 1

Resposta

V L s V s = 2 s 2 6 s + 4 s 2 + 1