Exercícios Resolvidos de Operações com Números Complexos

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Enunciado

Calcule as raízes dos números complexos dados:

a) - 1 + i 1 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um número complexo elevado a 1 / 3 , então nós precisamos calcular a raiz cúbica desse número complexo. Mas como a gente calcular a raiz de um número complexo?

Geralmente, para tirar a raiz desses números, nós os escrevemos na forma trigonométrica, porque, (acredite) vai ser mais fácil que na forma algébrica. Lembra que o número complexo é dado na forma z = a + b i ? Na forma trigonométrica ele vai ser dado por:

z = z ( cos ⁡ θ + i ∙ sin ⁡ θ )

E as raízes de índice n de z vão ser dadas pela fórmula de Moivre:

z n = z k = z n cos ⁡ θ n + 2 k π n + i ∙ sin ⁡ θ n + 2 k π n ; k ∈ 0 ,   1,2 , 3 , … , n - 1

Haha, calma! O que nós vamos fazer é escrever o número complexo na forma trigonométrica e depois aplicar a fórmula de Moivre. Vai ser tranquilo, vamos lá!

Passo 2

Pra colocar o número na forma trigonométrica, vamos primeiro calcular seu módulo:

z = a 2 + b 2

O nosso z é - 1 + i , então a = - 1 e b = 1 . Substituindo, temos:

z = ( - 1 ) 2 + ( 1 ) 2 = 2

Para obter o ângulo θ , nós podemos usar:

sin ⁡ θ = b z

cos ⁡ θ = a z

Então,

sin ⁡ θ = b z = 1 2 = 2 2

cos ⁡ θ = a z = - 1 2 = - 2 2

Para qual ângulo o seno e o cosseno nos fornecem esse valor? Para π 4 , certo? Então:

θ = π 4

Passo 3

Agora temos todas as informações, basta aplicar na fórmula para n = 3 (porque a raiz é cúbica):

z k = z n cos ⁡ θ n + 2 k π n + i ∙ sin ⁡ θ n + 2 k π n ; k ∈ 0 ,   1,2 , 3 , … , n - 1

z k = 2 3 cos ⁡ π / 4 3 + 2 k π 3 + i ∙ sin ⁡ π / 4 3 + 2 k π 3 ; k ∈ 0 ,   1,2

Vamos obter, então, as raízes z 0 ,   z 1 e z 2 para k ∈ 0 ,   1,2 .

Para k = 0 :

z 0 = 2 3 cos ⁡ π / 4 3 + 2 ∙ 0 ∙ π 3 + i ∙ sin ⁡ π / 4 3 + 2 ∙ 0 ∙ π 3

z 0 = 2 3 cos ⁡ π 12 + i sin ⁡ π 12

Para k = 1 :

z 1 = 2 3 cos ⁡ π / 4 3 + 2 ∙ 1 ∙ π 3 + i ∙ sin ⁡ π / 4 3 + 2 ∙ 1 ∙ π 3

z 1 = 2 3 cos ⁡ 3 π 4 + i sin ⁡ 3 π 4

Para k = 2 :

z 2 = 2 3 cos ⁡ π / 4 3 + 2 ∙ 2 ∙ π 3 + i ∙ sin ⁡ π / 4 3 + 2 ∙ 2 ∙ π 3

z 2 = 2 3 cos ⁡ 17 π 12 + i sin ⁡ 17 π 12

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

z 0 = 2 3 cos ⁡ π 12 + i sin ⁡ π 12

z 1 = 2 3 cos ⁡ 3 π 4 + i sin ⁡ 3 π 4

z 2 = 2 3 cos ⁡ 17 π 12 + i sin ⁡ 17 π 12