Exercícios Resolvidos de Operações com Números Complexos

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Enunciado

Considere os números complexos z 1 = a + b i , z 2 = - b + a i e z 3 = - b + 3 i com a e b números inteiros. Sabendo que z 1 + z 2 + z 3 = 0 . Qual o valor de   z 2 z 1 3 ?

Passo 1

Temos os seguintes números complexos

z 1 = a + b i , z 2 = - b + a i e z 3 = - b + 3 i

O enunciado também nos dá que

z 1 + z 2 + z 3 = 0

Vamos então substituir os valores dados ...

z 1 + z 2 + z 3 = 0

a + b i + - b + a i + - b + 3 i = 0

Juntando os semelhantes, temos

( a - 2 b ) + ( 3 + a + b ) i = 0

Para que um número complexo seja igual a zero, precisamos que tanto a parte real quanto a parte imaginária sejam iguais a zero.

Ou seja

a - 2 b = 0 3 + a + b = 0

Passo 2

Agora precisamos resolver esse sistema que apareceu pra gente

Da primeira expressão, temos

a = 2 b

Substituindo, teremos

3 + 2 b + b = 0

3 b = - 3

b = - 1

Sendo assim

a = 2   .   - 1 =   - 2

Podemos dizer que

z 1 = a + b i =   - 2 - i

z 2 = - b + a i = 1 - 2 i

Passo 3

O enunciado nos pede para calcularmos

z 2 z 1 3

Vamos primeiro fazer a nossa divisão

z 2 z 1 = 1 - 2 i - 2 - i     . - 2 + i - 2 + i = - 2 + i + 4 i - 2 i 2 - 2 2 + 1 2 = 5 i 5 = i

Teremos então z 2 z 1 3 = i 3

Ou seja

i 3 = i 2   .     i = - 1   .     i = - i  

Resposta

- i