Exercícios Resolvidos de Operações com Números Complexos

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Enunciado

Encontre a forma polar no número complexo z = 18 + 2 3 i 5 - 3 i e represente (um esboço) este número no plano complexo.

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado nos dá um número complexo da forma

z = 18 + 2 3 i 5 - 3 i

e, pede para representarmos esse número em sua forma polar, ou seja, representá-lo usando a relação

z = a + i b   =   ρ ( c o s ( θ ) + i   s e n ( θ ) )

Mas quem são ρ e θ ? São o módulo e o ângulo no plano complexo dado por

Em que

| z | = z ' z

aqui, chamei z ' , o conjugado de z . Mas antes de qualquer coisa, vamos precisar deixar o nosso número complexo no formato usual! Vem comigo!

Passo 2

Temos o seguinte número complexo

z = 18 + 2 3 i 5 - 3 i

Para deixá-lo no formato a + i b , vamos multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado de 5 - 3 i , ou seja

z = 18 + 2 3 i 5 - 3 i × 5 + 3 i 5 + 3 i  

z = 90 + 28 3 i + 2 3 i 2 25 + 3    

Como temos que i 2 = - 1 , podemos simplificar a expressão acima para obter:

z = 90 + 28 3 i - 6 2 8  

Achamos o número complexo na sua forma usual! E o seu conjugado é:

z = 3 + 3 i

Agora podemos obter o módulo com

ρ = z ' z

ρ = ( 3 + 3 i ) ( 3 - 3 i )

Podemos realizar a soma acima para obter:

ρ = 9 +3

ρ = 12

Beleza! Vamos calcular o ângulo agora! Vem comigo!

Passo 3

Nós obtemos que o nosso número tem a forma

z = 3 + 3 i

Portanto, temos que a = 3 , pelo triângulo retângulo no passo 1 , podemos notar que

sin ⁡ θ = 3 12 ≈ 0,25

Ou seja, temos que em coordenadas polares, nosso número complexo é:

z = 12   ( cos ⁡ 0,25 + i sin ⁡ 0,25 ) )

E, seu esboço no plano complexo é simplesmente:

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

z = 12   ( cos ⁡ 0,25 + i sin ⁡ 0,25 ) )