Teoria

A elutriação é um processo de separação sólido-sólido em que um fluido em escoamento arrasta partículas seletivamente, de acordo com a sua densidade e tamanho. Esse fluido pode ser um gás ou um líquido!

Bora entender melhor como esse processo ocorre na prática?!

Como Funciona um Elutriador

O Elutriador é um equipamento de separação de partícula que tem essa carinha aqui:

Elutriador
Elutriador

Como podemos observar na figura acima, as partículas e o fluido, que nesse caso é um gás, entram no elutriador pela lateral. Dentro do elutriador vai ter um cabo de guerra! O fluido vai querer arrastar as partículas pra cima, enquanto a gravidade puxa elas pra baixo!

-E quem ganha esse cabo de guerra?!

Isso vai depender do tamanho e da densidade das partículas. As partículas mais leves vão ser arrastadas pelo fluido, enquanto as partículas mais pesadas saem na base do elutriador! E é assim que ocorre a separação de partículas! 😍

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-Beleza, mas como eu sei que tamanho de partículas vão subir e qual vão decantar? 😖

Pra saber isso e muito mais, confere esse vídeo completaço sobre elutriação que o Responde Aí preparou pra você! 👇

Curva de Eficiência Granulométrica

Se considerarmos o elutriador como um equipamento ideal, temos a seguinte curva de eficiência granulométrica:

Curva de Eficiência Granulométrica do Elutriador Ideal
Curva de Eficiência Granulométrica do Elutriador Ideal

A curva de eficiência granulométrica nos dá a eficiência de separação para cada diâmetro de partícula. Chamamos o diâmetro de corte o diâmetro para o qual a velocidade terminal é igual a velocidade média do fluido.

Se o diâmetro de uma partícula for menor que o diâmetro de corte ela é arrastada, nesse caso temos uma eficiência de separação de 100%. Partículas menores que o diâmetro de corte são sedimentadas e temos uma eficiência de separação de 0%.

Exemplo: Mistura de Dois Materiais com Densidades Diferentes

Vamos supor que a gente precisa separar cloreto de cálcio e cloreto de zinco, de uma certa faixa de diâmetros, usando elutriação. Será que é possível separar os dois componentes completamente? Qual deverá ser vazão de fluido usar pra separação?

Para responder essas perguntas, precisamos fazer algumas análises! Em primeiro lugar, precisamos procurar a densidade dessas duas substâncias:

á

O cloreto de cálcio será a partícula leve, afinal sua densidade é menor, e o cloreto de zinco será a partícula pesada. Podemos então calcular a velocidade terminal de stokes de cada partícula, usando a seguinte fórmula:

A partir disso temos duas situações possíveis. Vamos conferir!

Primeira situação : íá

Nesse caso a velocidade terminal da menor partícula pesada é maior que a velocidade terminal da maior partícula leve. Nesse caso, vamos conseguir separação completa se usarmos:

$$v_{tLmáx}

Olha só como fica analisamos o gráfico de velocidade terminal versus diâmetro, temos:

gráfico de velocidade terminal versus diâmetro para o primeiro caso
gráfico de velocidade terminal versus diâmetro para o primeiro caso

Repara que a curvas das velocidades da partícula pesada é sempre a de cima, porque a densidade dela é maior e, para um mesmo diâmetro, quanto maio a densidade maior a velocidade terminal.

Essa condição de íá está atrelada à faixa de diâmetros que pegamos; para esse mesmo gráfico, pegando outra faixa de diâmetros, pode ser que essa condição não aconteça.

Segunda situação : $v_{tP mín}

Nesse caso a velocidade terminal da menor partícula pesada é menor que a velocidade terminal da maior partícula leve. Isso significa que não é possível separar completamente os dois tipos de partícula.

Podemos observar o comportamento das partículas no gráfico abaixo:

gráfico de velocidade terminal versus diâmetro para o primeiro caso
gráfico de velocidade terminal versus diâmetro para o primeiro caso

Repara que tem um faixa de velocidades associada tanto com partículas leves como com partículas pesadas!

Agora vamos praticar com exercícios?

Curva de Eficiência Granulométrica

Exemplo: Mistura de Dois Materiais com Densidades Diferentes

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Defina o conceito de partículas equitombantes e deduza a partir delas uma razão de sedimentação ( Z ) entre seus diâmetros.

Passo 1

Vamos lá! Essa é uma questão teórica e de dedução, mas que é super importante para verificar se os conceitos de elutriação ficaram claros. Além disso, eu já vi essa razão de sedimentação ser cobrada em prova.

Para chegarmos nesse conceito, temos que partir da definição que quando partículas de leve e pesado, sob as mesmas condições, caem com a mesma velocidade termnal podemos chamá-las de equitombantes. Então:

v t , l = v t , p

Uma das formas de escrever a velocidade terminal utiliza o C D referente as forças de arraste. Essa equação tem a seguinte cara:

v t = 4   d p ρ S - ρ g 3 ρ   C D

Então, igualando para o leve e pesado:

4   d p L ρ s L - ρ g 3 ρ   C D L = 4   d p P ρ s P - ρ g 3 ρ   C D P

Isolando os diâmetros:

d p L d p P = ρ s L - ρ ρ s P - ρ C D L C D P

Beleza, chegamos na definição de Z .

Z =   d p L d p P = ρ s L - ρ ρ s P - ρ C D L C D P

Resposta

Z =   d p L d p P = ρ s L - ρ ρ s P - ρ C D L C D P

Exercício Resolvido #2

Determine a partir de qual diâmetro uma amostra de um sólido com S G s = 5 , que será submetida a elutriação gravitacional por uma corrente de água que escoa a uma velocidade de 0,03   f t / s na Temperatura de 65 ° F , irá ser destinada a corrente de fundo.

Passo 1

Nessa questão, não temos a velocidade das partículas, só do fluido. Então, teremos que determinar a condição limite, ou seja, quando as duas são iguais.

v t > u ¯   d a í   p a r t í c u l a   v a i   p a r a   o   f u n d o v t < u ¯   d a í   p a r t í c u l a   é   a r r a s t a d a

Então vamos ter um diâmetro de corte ( vamos considerar as 10 restrições de stokes) para calcular a partir de qual diâmetro partículas vão para o fundo e abaixo de qual elas sobem, beleza?

v t = 0,03 f t s = 0,0091   m / s

Vamos organizar os dados que a questão forneceu:

Foi dado o S G s , então conseguimos achar o ρ s .

S G s = 5,0 = ρ s ρ = ρ s 1000   k g m 3

ρ s   g a l e n a = 5   x   10 3   k g / m 3

Só mais uma coisinha, foi dado que a temperatura era de 65 ° F , então podemos pegar em tabelas as propriedades da água nessa temperatura:

ρ H 2 O = 1,937   s l u g f t 3 = 10 3 k g / m 3

μ H 2 O = 28,045   x   10 - 6   l b   s f t 3 = 1,055   x 10 - 5 k g / m s

Passo 2

Vamos começar então calculando o diâmetro de stokes. Para isso, vamos isolar o diâmetro da fórmula de velocidade de stokes.

v t , s t k = d s t k 2 ρ s - ρ   g 18 μ

d s t k = 18   μ   v t , s t k   ρ s -   ρ g

Para o nosso sólido:

d s t k = 18   x   1,055   x   10 - 3 x   0,0091   5000 -   1000   x   9,81 = 6,64   x   10 - 5 m = 66,4   μ m

Passo 3

Vemos pela fórmula da velocidade terminal de stokes que quando o diâmetro aumenta, a velocidade também aumenta.

v t , s t k = d s t k 2 ρ s - ρ   g 18 μ

Então

v t > u ¯   d a í   p a r t í c u l a   v a i   p a r a   o   f u n d o ,   q u a n d o   d i â m e t r o > 66,4   μ m   v t < u ¯   d a í   p a r t í c u l a   é   a r r a s t a d a ,       q u a n d o   d i â m e t r o < 66,4   μ m  

Resposta

v t > u ¯   d a í   p a r t í c u l a   v a i   p a r a   o   f u n d o ,   q u a n d o   d i â m e t r o > 66,4   μ m   v t < u ¯   d a í   p a r t í c u l a   é   a r r a s t a d a ,       q u a n d o   d i â m e t r o < 66,4   μ m  

Exercício Resolvido #3

Uma mistura de galena ( S G s = 7,5   ) e sílica ( S G s = 2,65   ) será submetida a elutriação gravitacional por uma corrente de água que escoa a uma velocidade de 0,02   f t / s na Temperatura de 65 ° F . A mistura tem 30% de massa de galena e a seguinte análise granulométrica com peneiras padronizadas:

Se a distribuição de tamanhos anterior se aplica tanto à galena quanto à sílica, pede-se:

  1. Calcule as percentagens ponderais da galena, originalmente presente na alimentação, que irão para o topo e fundo do elutriador.
  2. Calcule a fração ponderal de galena nessas correntes (base seca).

Passo 1

Nessa questão, precisamos encontrar o quanto de galena e sílica foi para o topo e fundo do elutriador, certo?

Mas como fazer isso a partir da distribuição de tamanho (DT) dada?

Nesse tipo de problema, já temos a velocidade e precisamos encontrar o diâmetro para cada amostra que acima dele a partícula vai para o fundo e abaixo dele a partícula vai para o topo! Isso tem que ser feito para cada um dos sólidos 😊 E depois relacionamos com a DT.

Vamos organizar os dados que a questão forneceu:

u ¯   = 0,02 f t s = 0,0061   m / s

Foi dado tanto o S G s da sílica quanto da galena, conseguimos achar o ρ s de cada uma.

S G s   g a l e n a = 7,5 = ρ s ρ = ρ s 1000   k g m 3

ρ s   g a l e n a = 7,5 . 10 3   k g / m 3

S G s   s í l i c a = 2,65 = ρ s ρ = ρ s 1000   k g m 3

ρ s   g a l e n a = 2,65 . 10 3   k g / m 3

Outra coisa, já que não foi dada a esfericidade e não temos como calcular, vamos assumir que a partícula é esférica e atende todas as restrições de stokes, beleza? E isso significa que podemos fazer mais uma simplificação:

d # = d s t k

Só mais uma coisinha, foi dado que a temperatura era de 65 ° F , então podemos pegar em tabelas as propriedades da água nessa temperatura:

ρ H 2 O = 1,937   s l u g f t 3 = 10 3 k g / m 3

μ H 2 O = 28,045 . 10 - 6   l b   s f t 3 = 1,055 . 10 - 3 k g / m s

Passo 2

Vamos começar então calculando o diâmetro de stokes para cada um dos materiais. Para isso, vamos isolar o diâmetro da fórmula de velocidade de stokes.

v t , s t k = d s t k 2 ρ s - ρ   g 18 μ

d s t k = 18   μ   v t , s t k   ρ s -   ρ g

E repara que só temos a velocidade do fluido, que é diferente da velocidade das partículas, mas sabemos que que elas tem a seguinte relação:

v t > u ¯   d a í   p a r t í c u l a   s e d i m e n t a v t < u ¯   d a í   p a r t í c u l a   é   a r r a s t a d a

Então se a gente achar o diâmetro de stokes para a partícula exatamente na velocidade do fluido, vamos saber que a partir daquele diâmetro ela vai descer e abaixo dele vai subir! Então, estamos estudando o caso que:

v t =   u ¯ = 0,02 f t s = 0,0061   m / s

Para a galena:

d s t k ,   g a l e n a = 18.1,055 . 10 - 3 . 0,0061   7500 -   1000 . 9,81 = 4,26 . 10 - 5 m = 42,62   μ m

Para a sílica:

d s t k ,   s í l i c a = 18.1,055 . 10 - 3   . 0,0061   2650 -   1000 .   9,81 = 8,46 . 10 - 5 m = 84,6   μ m  

Passo 3

Agora, vamos avaliar a distribuição de tamanho de partícula e relacionar com esses diâmetros que calculamos.

Lembra que como consideramos esféricas igualamos o diâmetro de stokes e da peneira, então não precisamos converter eles para compará-los! Então, o diâmetro da galena, 42,62   μ m ,fica ali entre 40 e 50   μ m . E o diâmetro da sílica, 84,6   μ m , fica entre 80 e 90   μ m .

Então, podemos fazer uma interpolação para descobrir o y ( % ) relativo a cada diâmetro.

Para a Galena:

40 - 50 67 - 77 =   40 - 42,6 67 - y g a l e n a ( % )

y g a l e n a % = 69,6

Para a Sílica:

80 - 90 91 - 93 =   80 - 84,6 91 - y s í l i c a ( % )

y s í l i c a % = 91,92

LEMBRETE: O valor de y representa a amostra menor que dado diâmetro então esse y está relacionado com as partículas que vão subir!

Passo 4

Agora, vamos assumir uma base mássica de cálculo.

m t o t a l = 1000 g

Como temos 30 % de galena, podemos definir a massa de galena e massa de sílica.

m   g a l e n a = 300   g

m   s í l i c a = 700   g

Então, vamos definir a massa de sílica e galena que é menor /maior que o diâmetro calculado para cada uma?

m   g a l e n a   t o p o = 300   . 69,6 100 = 208,8   g

m   g a l e n a   f u n d o = 300 - 208,8   g = 91,2   g

Fazendo da mesma forma para sílica:

m   s í l i c a   t o p o = 700   . 91,92 100 = 643,44   g

m   s í l i c a   f u n d o = 700 - 643,44   g = 56,56   g

Passo 5

Já calculamos quase tudo, então para resolver a letra a) precisamos definir a percentagem de galena (EM RELAÇÃO À ALIMENTAÇÃO) no topo e fundo.

G a l e n a   n o   t o p o     e m   r e l a ç ã o   a   a l i m e n t a ç ã o = 208,8 300 .   100 = 69,6   %

G a l e n a   n o   f u n d o     e m   r e l a ç a o   a   a l i m e n t a ç ã o = 91,2 300 .   100 = 30,4   %

Repara que a porcentagem no topo é o mesmo valor que calculamos do y , isso ocorre pois a curva y representa valores menores ( e tem a mesma densidade, já que estamos falando só da galena) que um dado diâmetro, então como são menores são mais leves e vão para o topo!!

Passo 6

Na letra b), precisamos calcular a fração ponderal de galena nas correntes de saída! Então, vamos calcular a massa total dessas saídas:

Então, a massa total do topo:

m t o p o = m   s í l i c a   t o p o + m   g a l e n a   t o p o = 643,44 + 208,08 = 851,52   g

E a do fundo:

m f u n d o = m   g a l e n a   f u n d o + m   s í l i c a   f u n d o = 56,56 + 91,92 = 148,48   g

Logo, bora calcular as percentagens de galena no topo e fundo!

G a l e n a   n o   t o p o   e m   r e l a ç ã o   à   c o r r e n t e   d o   t o p o = 208,08 851,52 .   100 = 24,44   %

G a l e n a   n o   f u n d o   e m   r e l a ç ã o   à   c o r r e n t e   d o   f u n d o = 91,92 148,48 .   100 = 61,9 %

Resposta

  1. G a l e n a   n o   t o p o   (   e m   r e l a ç ã o   a   a l i m e n t a ç ã o ) = 69,6   %

    G a l e n a   n o   f u n d o   (   e m   r e l a ç a o   a   a l i m e n t a ç ã o ) = 30,4   %

G a l e n a   n o   t o p o     e m   r e l a ç ã o   a   c o r r e n t e   d o   t o p o = 24,44   %

G a l e n a   n o   f u n d o     e m   r e l a ç ã o   a   c o r r e n t e   d o   f u n d o = 61,9 %

Exercício Resolvido #4

Pretende-se tratar uma corrente industrial com 2   m 3 / s de ar a 8 0 ℃ e 1   a t m contendo partículas de um certo material (densidade: 1,95   g / c m 3 e esfericidade: 0 , 8 ), utilizando-se elutriador.

Sabendo que o elutriador captura todas as partículas maiores que 2 5 0   µ m , calcule:

  1. O diâmetro do elutriador
  2. Sua eficiência total de separação

Dados:

µ a r   8 0 ° C   e   1   a t m =   20,9 * 10 - 3 c P

e

  y = d 446 0,8   c o m   d   e m   µ m  

Passo 1

A gente vai ter que calcular o diâmetro e eficiência total de um elutriador. A informação que temos pra usar é o diâmetro de corte:

d c = 250   μ m

Para ele:

v t = u -

Daí, achando v t , achamos u - . Como:

u - = Q A

Com Q sendo a vazão volumétrica e A a área transversal do elutriador.

Poderemos achar o diâmetro do elutriador, já que temos

Q = 2     m 3 / s .

Já a eficiência global, obtemos achando G e depois usando:

E T = ∫ 0 1 G   d y

O enunciado NÃO deu a densidade do gás, mas deu as condições dele

8 0 ° C e 1 atm

Assumindo gás ideal, vale:

P V = N R T

Podemos escrever o número de moles como N = m M M - , com m sendo massa de gás e M M - sendo a massa molecular média. Rearranjando:

m V = ρ = P * M M - R * T

Trabalhando no CGS e usando T em Kelvin:

ρ = 1 * 29 82 * 3 5 3 = 3,11 * 10 - 4 g c m 3  

Passo 2

  1. O diâmetro do elutriador

Começando pelo começo, achar esse diâmetro. Vamos ter que usar as correlações de Coelho e Massarani, como não sabemos o regime de escoamento; como precisamos achar v t e temos o diâmetro:

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

Usando tudo no CGS:

C D R e p 2 = 4 * 1,95 - 3,11 * 10 - 4 * 3,11 * 10 - 4 * 981 * 2 5 0 * 10 - 4 3 3 * ( 20,9 * 10 - 3 * 10 - 2 ) 2

C D R e p 2 = 283,7

Agora, para achar R e p , usamos:

R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

Mas, primeiro, temos que calcular k 1 e k 2 , que ainda não temos. O enunciado deu que a esfericidade vale 0,8 .

k 1 = 0,843 * log ⁡ Φ 0,065 = 0,843 * log ⁡ 0,8 0,065 = 0,919

k 2 = 5,31 - 4,88 * Φ = 1,406

Voltando:

R e p = 24 0,919 * 438,4 1,2 + 1,406 438,4 0,6 - 0,83 = 6,844