Elutriador

Teoria Completa

Vocês já pararam para pensar em algum equipamento para separar partículas de diâmetros diferentes ou partículas de diferentes densidades? Na mineração, por exemplo, como eles separam o material de interesse do resto dos materiais?

O elutriador é um equipamento que pode ser aplicado para isso, por exemplo, separando a parte nobre e não nobre de minérios. Então, elutriação é o processo de separação sólido-sólido em que um fluido em escoamento arrasta partículas seletivamente. Essa seletividade define quais partículas sobem e quais descem.

O elutriador tem uma carinha parecida com essa:

Repara que disse que ele arrasta partículas seletivamente. Mas o que define essa seletividade? A seletividade é definida pela velocidade relativa entre o fluido e o sólido. Isso porque vamos ter alimentação de partículas por cima e alimentação de fluido por baixo, de forma que as partículas tentam cair enquanto o fluido sobe.

É tipo um cabo de guerra: se a velocidade terminal da partícula (aponta para baixo) for maior do que a velocidade média do fluido, u ¯ (aponta para cima), a partícula sedimenta. Caso contrário, ela é arrastada pelo fluido, para cima.

v t > u ¯   d a í   p a r t í c u l a   s e d i m e n t a v t < u ¯   d a í   p a r t í c u l a   é   a r r a s t a d a

E vamos considerar que elutriador é equipamento ideal, ou seja, que isso aí em cima é verdade absoluta. Daí a curva da eficiência granulométrica pelo diâmetro (em vermelho) fica:

E vamos chamar de diâmetro de corte ( d C ) o diâmetro para o qual v t = u ¯ . Daí ele vai ter velocidade relativa zero e é um divisor de águas no nosso equipamento:

d > d C   s e d i m e n t a d < d C   é   a r r a s t a d a

Matematicamente:

G = 0   s e   d < d c G = 1   s e   d > d c

Ah! Provavelmente o enunciado das questões não vai te dar a velocidade média do fluido direto e sim te informar a vazão volumétrica de fluido, mas, aí, é só lembrar que vazão volumétrica é velocidade média vezes área transversal do equipamento, daí:

u ¯ = Q A

Mistura de dois materiais com densidades diferentes em um elutriador

Imagina, por exemplo, que eu te dou uma cloreto de cálcio e cloreto de zinco, de uma certa faixa de diâmetros, e falo pra separar usando elutriação. Será que eu consigo os dois componentes puros sempre? Qual vazão de fluido usar pra separação?

Em primeiro lugar, precisamos procurar a densidade dessas duas substâncias.

ρ   c l o r e t o   d e   c á l c i o = 2,152   g / c m 3

ρ   c l o r e t o   d e   z i n c o = 2 , 91   g / c m 3

Então, conseguimos definir quem é a partícula leve e quem é a partícula pesada, pois:

" L e v e "   : p a r t í c u l a s   c o m   m e n o r   d e n s i d a d e   ( ρ L ) " P e s a d o "   : p a r t í c u l a s   c o m   m a i o r   d e n s i d a d e   ( ρ P )

Logo:

ρ L =   ρ   c l o r e t o   d e   c á l c i o = 2,152   g / c m 3

ρ P =   ρ   c l o r e t o   d e   z i n c o = 2,91   g / c m 3

E aí para definirmos como fazer essa separação, precisamos calcular a velocidade de cada partícula (de cada material) utilizando o diâmetro, beleza? E como fazemos essa conta?

Vamos usar a nossa antiga conhecida velocidade terminal de stokes! E ρ s vai ser a densidade da partícula ( seja da pesada ou da leve) e ρ será a densidade do fluido.

v t , s t k = d s t k 2 ρ s - ρ   g 18 μ

Temos duas situações pra analisar:

  1. Primeira situação :     v t P   m í n ≥ v t L   m á x
  2. Primeiro, preciso definir quem são esses dois caras aí:

    v t P   m í n   é   a   v e l o c i d a d e   t e r m i n a l   d a   m e n o r   p a r t í c u l a   " p e s a d a " v t L   m á x   é   a   v e l o c i d a d e   t e r m i n a l   d a   m a i o r   p a r t í c u l a   " l e v e "

    Isso de falar mínimo e máximo é por aquele lance de quanto maior o tamanho da partícula, maior a v t dela.

    Nesse caso, vamos conseguir separação completa se usarmos:

    v t L m á x < u < v t P m í n

    Olha só como fica quando jogamos, num gráfico, v t   v e r s u s   d :

    Repara que a curvas das velocidades da partícula pesada é sempre a de cima, porque a densidade dela é maior e, para um mesmo diâmetro, quanto maio a densidade maior a velocidade terminal.

    Essa condição de v t P   m í n ≥ v t L   m á x está atrelada à faixa de diâmetros que pegamos; para esse mesmo gráfico, pegando outra faixa de diâmetros, pode ser que essa condição não aconteça. No próximo caso, acho que isso vai ficar mais claro.

  3. Segunda situação : v t P   m í n < v t L   m á x

Nesse caso, NÃO dá pra separar completamente pesadas de leves por elutriação; saca só:

Repara que tem um faixa de velocidades (indicadas pelos tracejados deitados e pelo treco na direita que mais parece um 1 em número romano haha) associada tanto com partículas leves como com partículas pesadas, ou seja, associada com partículas de diferentes densidades. Caso venha a aparecer com esse nome pra você, deixa eu definir logo:

P a r t í c u l a s   e q u i t o m b a n t e s : t ê m   d i f e r e n t e s   d e n s i d a d e s ,   m a s   c a e m   c o m   m e s m a   v t

Dois exercícios clássicos sobre o caso v t P   m í n < v t L   m á x são:

  • Qual a u usar para obter o máximo de partícula pesada pura? Resposta: v t L m á x , porque aí toda a leve vai ser arrastada (e sim, junto vai um pouco da pesada, pelo lance das equitombantes).
  • Qual u usar para obter o máximo de leve pura? Resposta: v t P m í n (de novo, vai ter um pouco de perda da leve, que vai junto com a pesada)

E presta atenção que o que tiver v t > u ¯ sedimenta, cai. E o que tiver v t < u ¯ é arrastado. Cuidado pra não confundir, ok?

Ah, uma dica: faz sempre um esboço desse gráfico, tá? Rabisca uma curva para a P em cima e uma pra L mais embaixo; uma vez que você saiba as “velocidades de fronteira” (eu meio que tô inventando esse termo pra ajudar a entender), põe no gráfico e olha pra ele. Acho mais fácil que decorar só.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Defina o conceito de partículas equitombantes e deduza a partir delas uma razão de sedimentação ( Z ) entre seus diâmetros.

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Passo 1

Vamos lá! Essa é uma questão teórica e de dedução, mas que é super importante para verificar se os conceitos de elutriação ficaram claros. Além disso, eu já vi essa razão de sedimentação ser cobrada em prova.

Para chegarmos nesse conceito, temos que partir da definição que quando partículas de leve e pesado, sob as mesmas condições, caem com a mesma velocidade termnal podemos chamá-las de equitombantes. Então:

v t , l = v t , p

Uma das formas de escrever a velocidade terminal utiliza o C D referente as forças de arraste. Essa equação tem a seguinte cara:

v t = 4   d p ρ S - ρ g 3 ρ   C D

Então, igualando para o leve e pesado:

4   d p L ρ s L - ρ g 3 ρ   C D L = 4   d p P ρ s P - ρ g 3 ρ   C D P

Isolando os diâmetros:

d p L d p P = ρ s L - ρ ρ s P - ρ C D L C D P

Beleza, chegamos na definição de Z .

Z =   d p L d p P = ρ s L - ρ ρ s P - ρ C D L C D P

Resposta

Z =   d p L d p P = ρ s L - ρ ρ s P - ρ C D L C D P

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine a partir de qual diâmetro uma amostra de um sólido com S G s = 5 , que será submetida a elutriação gravitacional por uma corrente de água que escoa a uma velocidade de 0,03   f t / s na Temperatura de 65 ° F , irá ser destinada a corrente de fundo.

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Passo 1

Nessa questão, não temos a velocidade das partículas, só do fluido. Então, teremos que determinar a condição limite, ou seja, quando as duas são iguais.

v t > u ¯   d a í   p a r t í c u l a   v a i   p a r a   o   f u n d o v t < u ¯   d a í   p a r t í c u l a   é   a r r a s t a d a

Então vamos ter um diâmetro de corte ( vamos considerar as 10 restrições de stokes) para calcular a partir de qual diâmetro partículas vão para o fundo e abaixo de qual elas sobem, beleza?

v t = 0,03 f t s = 0,0091   m / s

Vamos organizar os dados que a questão forneceu:

Foi dado o S G s , então conseguimos achar o ρ s .

S G s = 5,0 = ρ s ρ = ρ s 1000   k g m 3

ρ s   g a l e n a = 5   x   10 3   k g / m 3

Só mais uma coisinha, foi dado que a temperatura era de 65 ° F , então podemos pegar em tabelas as propriedades da água nessa temperatura:

ρ H 2 O = 1,937   s l u g f t 3 = 10 3 k g / m 3

μ H 2 O = 28,045   x   10 - 6   l b   s f t 3 = 1,055   x 10 - 5 k g / m s

Passo 2

Vamos começar então calculando o diâmetro de stokes. Para isso, vamos isolar o diâmetro da fórmula de velocidade de stokes.

v t , s t k = d s t k 2 ρ s - ρ   g 18 μ

d s t k = 18   μ   v t , s t k   ρ s -   ρ g

Para o nosso sólido:

d s t k = 18   x   1,055   x   10 - 3 x   0,0091   5000 -   1000   x   9,81 = 6,64   x   10 - 5 m = 66,4   μ m

Passo 3

Vemos pela fórmula da velocidade terminal de stokes que quando o diâmetro aumenta, a velocidade também aumenta.

v t , s t k = d s t k 2 ρ s - ρ   g 18 μ

Então

v t > u ¯   d a í   p a r t í c u l a   v a i   p a r a   o   f u n d o ,   q u a n d o   d i â m e t r o > 66,4   μ m   v t < u ¯   d a í   p a r t í c u l a   é   a r r a s t a d a ,       q u a n d o   d i â m e t r o < 66,4   μ m  

Resposta

v t > u ¯   d a í   p a r t í c u l a   v a i   p a r a   o   f u n d o ,   q u a n d o   d i â m e t r o > 66,4   μ m   v t < u ¯   d a í   p a r t í c u l a   é   a r r a s t a d a ,       q u a n d o   d i â m e t r o < 66,4   μ m  

Exercício Resolvido #3

Livro Sistemas Particulados – Operações Unitárias Envolvendo Partículas e Fluidos – Professor Ricardo Pires Peçanha.

Uma mistura de galena ( S G s = 7,5   ) e sílica ( S G s = 2,65   ) será submetida a elutriação gravitacional por uma corrente de água que escoa a uma velocidade de 0,02   f t / s na Temperatura de 65 ° F . A mistura tem 30% de massa de galena e a seguinte análise granulométrica com peneiras padronizadas:

Se a distribuição de tamanhos anterior se aplica tanto à galena quanto à sílica, pede-se:

  1. Calcule as percentagens ponderais da galena, originalmente presente na alimentação, que irão para o topo e fundo do elutriador.
  2. Calcule a fração ponderal de galena nessas correntes (base seca).
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Passo 1

Nessa questão, precisamos encontrar o quanto de galena e sílica foi para o topo e fundo do elutriador, certo?

Mas como fazer isso a partir da distribuição de tamanho (DT) dada?

Nesse tipo de problema, já temos a velocidade e precisamos encontrar o diâmetro para cada amostra que acima dele a partícula vai para o fundo e abaixo dele a partícula vai para o topo! Isso tem que ser feito para cada um dos sólidos 😊 E depois relacionamos com a DT.

Vamos organizar os dados que a questão forneceu:

u ¯   = 0,02 f t s = 0,0061   m / s

Foi dado tanto o S G s da sílica quanto da galena, conseguimos achar o ρ s de cada uma.

S G s   g a l e n a = 7,5 = ρ s ρ = ρ s 1000   k g m 3

ρ s   g a l e n a = 7,5 . 10 3   k g / m 3

S G s   s í l i c a = 2,65 = ρ s ρ = ρ s 1000   k g m 3

ρ s   g a l e n a = 2,65 . 10 3   k g / m 3

Outra coisa, já que não foi dada a esfericidade e não temos como calcular, vamos assumir que a partícula é esférica e atende todas as restrições de stokes, beleza? E isso significa que podemos fazer mais uma simplificação:

d # = d s t k

Só mais uma coisinha, foi dado que a temperatura era de 65 ° F , então podemos pegar em tabelas as propriedades da água nessa temperatura:

ρ H 2 O = 1,937   s l u g f t 3 = 10 3 k g / m 3

μ H 2 O = 28,045 . 10 - 6   l b   s f t 3 = 1,055 . 10 - 3 k g / m s

Passo 2

Vamos começar então calculando o diâmetro de stokes para cada um dos materiais. Para isso, vamos isolar o diâmetro da fórmula de velocidade de stokes.

v t , s t k = d s t k 2 ρ s - ρ   g 18 μ

d s t k = 18   μ   v t , s t k   ρ s -   ρ g

E repara que só temos a velocidade do fluido, que é diferente da velocidade das partículas, mas sabemos que que elas tem a seguinte relação:

v t > u ¯   d a í   p a r t í c u l a   s e d i m e n t a v t < u ¯   d a í   p a r t í c u l a   é   a r r a s t a d a

Então se a gente achar o diâmetro de stokes para a partícula exatamente na velocidade do fluido, vamos saber que a partir daquele diâmetro ela vai descer e abaixo dele vai subir! Então, estamos estudando o caso que:

v t =   u ¯ = 0,02 f t s = 0,0061   m / s

Para a galena:

d s t k ,   g a l e n a = 18.1,055 . 10 - 3 . 0,0061   7500 -   1000 . 9,81 = 4,26 . 10 - 5 m = 42,62   μ m

Para a sílica:

d s t k ,   s í l i c a = 18.1,055 . 10 - 3   . 0,0061   2650 -   1000 .   9,81 = 8,46 . 10 - 5 m = 84,6   μ m  

Passo 3

Agora, vamos avaliar a distribuição de tamanho de partícula e relacionar com esses diâmetros que calculamos.

Lembra que como consideramos esféricas igualamos o diâmetro de stokes e da peneira, então não precisamos converter eles para compará-los! Então, o diâmetro da galena, 42,62   μ m ,fica ali entre 40 e 50   μ m . E o diâmetro da sílica, 84,6   μ m , fica entre 80 e 90   μ m .

Então, podemos fazer uma interpolação para descobrir o y ( % ) relativo a cada diâmetro.

Para a Galena:

40 - 50 67 - 77 =   40 - 42,6 67 - y g a l e n a ( % )

y g a l e n a % = 69,6

Para a Sílica:

80 - 90 91 - 93 =   80 - 84,6 91 - y s í l i c a ( % )

y s í l i c a % = 91,92

LEMBRETE: O valor de y representa a amostra menor que dado diâmetro então esse y está relacionado com as partículas que vão subir!

Passo 4

Agora, vamos assumir uma base mássica de cálculo.

m t o t a l = 1000 g

Como temos 30 % de galena, podemos definir a massa de galena e massa de sílica.

m   g a l e n a = 300   g

m   s í l i c a = 700   g

Então, vamos definir a massa de sílica e galena que é menor /maior que o diâmetro calculado para cada uma?

m   g a l e n a   t o p o = 300   . 69,6 100 = 208,8   g

m   g a l e n a   f u n d o = 300 - 208,8   g = 91,2   g

Fazendo da mesma forma para sílica:

m   s í l i c a   t o p o = 700   . 91,92 100 = 643,44   g

m   s í l i c a   f u n d o = 700 - 643,44   g = 56,56   g

Passo 5

Já calculamos quase tudo, então para resolver a letra a) precisamos definir a percentagem de galena (EM RELAÇÃO À ALIMENTAÇÃO) no topo e fundo.

G a l e n a   n o   t o p o     e m   r e l a ç ã o   a   a l i m e n t a ç ã o = 208,8 300 .   100 = 69,6   %

G a l e n a   n o   f u n d o     e m   r e l a ç a o   a   a l i m e n t a ç ã o = 91,2 300 .   100 = 30,4   %

Repara que a porcentagem no topo é o mesmo valor que calculamos do y , isso ocorre pois a curva y representa valores menores ( e tem a mesma densidade, já que estamos falando só da galena) que um dado diâmetro, então como são menores são mais leves e vão para o topo!!

Passo 6

Na letra b), precisamos calcular a fração ponderal de galena nas correntes de saída! Então, vamos calcular a massa total dessas saídas:

Então, a massa total do topo:

m t o p o = m   s í l i c a   t o p o + m   g a l e n a   t o p o = 643,44 + 208,08 = 851,52   g

E a do fundo:

m f u n d o = m   g a l e n a   f u n d o + m   s í l i c a   f u n d o = 56,56 + 91,92 = 148,48   g

Logo, bora calcular as percentagens de galena no topo e fundo!

G a l e n a   n o   t o p o   e m   r e l a ç ã o   à   c o r r e n t e   d o   t o p o = 208,08 851,52 .   100 = 24,44   %

G a l e n a   n o   f u n d o   e m   r e l a ç ã o   à   c o r r e n t e   d o   f u n d o = 91,92 148,48 .   100 = 61,9 %

Resposta

  1. G a l e n a   n o   t o p o   (   e m   r e l a ç ã o   a   a l i m e n t a ç ã o ) = 69,6   %