Exercícios Resolvidos de Oscilador Harmônico Quântico

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Enunciado

Para um átomo de sódio que oscila com frequência angular ω 0 = 1,79 × 10 13   r a d / s , calcule:

  1. A energia do estado fundamental;
  2. O comprimento de onda de um fóton emitido quando ocorre a transição de n = 4 para n = 3 ;
  3. A diferença de energia para qualquer transição em que Δ n = 1 ;

Passo 1

Letra (a): A energia do estado fundamental;

A energia do estado fundamental é dada por:

E 0 = 1 2 ℏ ω 0

Onde:

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s = 6,582 × 10 - 16   e V ;

ω 0 = 1,79 × 10 13   r a d / s ;

Logo:

E 0 = 6,582 × 10 - 16 × 1,79 × 10 13 2

E 0 = 5,9 × 10 - 3   e V

Passo 2

Letra (b): O comprimento de onda de um fóton emitido quando ocorre a transição de n = 4 para n = 3 ;

A energia no n-ésimo estado excitado é dada por:

E n = n + 1 2 ℏ ω 0

Assim, quando há a transição de n = 4 para n = 3 , a energia liberada é dada por:

Δ E = E 4 - E 3 = 4 + 1 2 - 3 - 1 2 ℏ ω 0 = ℏ ω 0

Essa energia deve ser igual à energia do fóton emitido, logo:

Δ E = ℏ ω 0 = h f = h c λ

ℏ ω 0 = h ω 0 2 π = h c λ

λ = 2 π c ω 0

Onde:

c = 3 × 10 8   m / s ;

ω 0 = 1,79 × 10 13   r a d / s ;

Logo:

λ = 2 π × 3 × 10 8 1,79 × 10 13 = 106 μ m

Passo 3

Letra (c): A diferença de energia para qualquer transição em que Δ n = 1 ;

A energia no n-ésimo estado excitado é dada por:

E n = n + 1 2 ℏ ω 0

Assim, a diferença de energia é dada por:

Δ E = E n + 1 - E n = n + 1 + 1 2 ℏ ω 0 - n + 1 2 ℏ ω 0

Δ E = ℏ ω 0

Onde:

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s = 6,582 × 10 - 16   e V ;

ω 0 = 1,79 × 10 13   r a d / s ;

Logo:

Δ E = 6,582 × 10 - 16 × 1,79 × 10 13

Δ E = 0,0118   e V

Resposta

Letra (a):

5,9 × 10 - 3   e V

Letra (b):

106   μ m

Letra (c):

0,0118   e V = 1,18 × 10 - 2   e V

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