Teoria Completa
Imagina um sistema massa-mola: Eu coloco uma massinha na ponta de uma mola, e deixa ela oscilando.
Vamos aplicar os métodos da mecânica quântica a essa partícula confinada em um oscilador harmônico.
Esse problema é relativamente importante em química pois se ao invés de eu colocar uma parede, eu colocasse outra bolinha, eu teria uma molécula diatômica.
Lembrando que a Equação de Schrödinger é dada por:
Oscilador Harmônico
A energia potencial de uma partícula de massa , presa a uma mola de constante elástica , é dada por:
Onde:
Graficamente:
Substituindo a função de energia potencial na Equação de Shrödinger temos:
Essa equação não é fácil resolver por causa do . Seus estados vão ser quantizados, sendo o estado fundamental dado por:
E os outros estados vão ser multiplicados por um termo muito doido com polinômios (chamados Polinômios de Hermite).
A energia do estado fundamental vai ser:
Essa energia é chamada de energia de ponto zero do oscilador harmônico. Eu nunca tenho a partícula com energia zero: Sua menor energia vai ser .
A energia de um estado qualquer vai ser:
Exercício Resolvido #1
Um bloco de madeira com massa igual a oscila na extremidade de uma mola cuja constante é igual a .
Calcule a energia do nível fundamental e a diferença de energia entre dois níveis adjacentes. Expresse sua resposta em joules e em elétrons-volt.
Os efeitos quânticos são importantes?
Passo 1
A energia no estado fundamental é dada por:
Onde:
;
;
;
Logo:
Lembrando que .
Passo 2
A energia em qualquer nível é dada por:
Assim, a energia entre dois níveis adjacentes será:
Passo 3
Onde:
;
;
;
Logo:
Passo 4
Os efeitos quânticos são importantes?
Não, pois as energias são muito pequenas para massas relativamente grandes.
Resposta
Não, pois as energias são muito pequenas para massas relativamente grandes.
Exercício Resolvido #2
Os químicos usam espectros de absorção infravermelho para identificar os elementos químicos em uma amostra.
Em certa amostra, um químico verifica que uma luz de comprimento de onda é absorvida.
- Calcule e a energia dessa transição.
- Se a massa da molécula é , calcule a constante da mola.
(Obs: Considere que é uma transição entre dois níveis de energia adjacentes)
Passo 1
Letra (a): Calcule e a energia dessa transição.
Podemos relacionar a energia da transição com o comprimento de onda através da relação:
Onde:
;
;
;
Logo:
Lembrando que .
Passo 2
Letra (b): Se a massa da molécula é , calcule a constante da mola.
A energia em qualquer nível é dada por:
Se houve uma transição de um nível para outro adjacente, essa variação de energia é dada por:
Passo 3
Onde:
;
;
;
Logo:
Resposta
Letra (a):
Letra (b):
Exercício Resolvido #3
Para um átomo de sódio que oscila com frequência angular , calcule:
- A energia do estado fundamental;
- O comprimento de onda de um fóton emitido quando ocorre a transição de para ;
- A diferença de energia para qualquer transição em que ;
Passo 1
Letra (a): A energia do estado fundamental;
A energia do estado fundamental é dada por:
Onde:
;
;
Logo:
Passo 2
Letra (b): O comprimento de onda de um fóton emitido quando ocorre a transição de para ;
A energia no n-ésimo estado excitado é dada por:
Assim, quando há a transição de para , a energia liberada é dada por:
Essa energia deve ser igual à energia do fóton emitido, logo:
Onde:
;
;
Logo:
Passo 3
Letra (c): A diferença de energia para qualquer transição em que ;
A energia no n-ésimo estado excitado é dada por:
Assim, a diferença de energia é dada por:
Onde:
;
;
Logo:
Resposta
Letra (a):
Letra (b):
Letra (c):