Oscilador Harmônico Quântico

Teoria Completa

Imagina um sistema massa-mola: Eu coloco uma massinha na ponta de uma mola, e deixa ela oscilando.

Vamos aplicar os métodos da mecânica quântica a essa partícula confinada em um oscilador harmônico.

Esse problema é relativamente importante em química pois se ao invés de eu colocar uma parede, eu colocasse outra bolinha, eu teria uma molécula diatômica.

Lembrando que a Equação de Schrödinger é dada por:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + U x ψ x = E ψ ( x )

Oscilador Harmônico

A energia potencial de uma partícula de massa m , presa a uma mola de constante elástica k , é dada por:

U x = 1 2   k x 2 = 1 2   ω 0 2 m x 2

Onde:

ω 0 = k / m

Graficamente:

Substituindo a função de energia potencial na Equação de Shrödinger temos:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ x d x 2 + 1 2   ω 0 2 m x 2 ψ x = E ψ ( x )

Essa equação não é fácil resolver por causa do x 2 . Seus estados vão ser quantizados, sendo o estado fundamental dado por:

ψ 0 x = C e m k ∙ x 2 / 2 ℏ

E os outros estados vão ser ψ 0 multiplicados por um termo muito doido com polinômios (chamados Polinômios de Hermite).

A energia do estado fundamental vai ser:

E 0 = 1 2 ℏ ω 0

ω 0 = k m

Essa energia é chamada de energia de ponto zero do oscilador harmônico. Eu nunca tenho a partícula com energia zero: Sua menor energia vai ser E 0 .

A energia de um estado qualquer vai ser:

E n = n + 1 2 ℏ ω 0

n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

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Exercício Resolvido #1

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 261-40.27

Um bloco de madeira com massa igual a 0,250   k g oscila na extremidade de uma mola cuja constante é igual a 110   N / m .

Calcule a energia do nível fundamental e a diferença de energia entre dois níveis adjacentes. Expresse sua resposta em joules e em elétrons-volt.

Os efeitos quânticos são importantes?

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Passo 1

A energia no estado fundamental é dada por:

E 0 = 1 2 ℏ ω 0

E 0 = ℏ 2 k m

Onde:

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s ;

k = 110   N / m ;

m = 0,250   k g ;

Logo:

E 0 = 1,05 × 10 - 34 2 × 110 0,25

E 0 = 1,11 × 10 - 33   J = 6,90 × 10 - 15   e V

Lembrando que 1   e V = 1,6 × 10 - 19   J .

Passo 2

A energia em qualquer nível é dada por:

E n = n + 1 2 ℏ ω 0

Assim, a energia entre dois níveis adjacentes será:

E n + 1 - E n = n + 1 + 1 2 ℏ ω 0 - n + 1 2 ℏ ω 0

E n + 1 - E n = ℏ ω 0 = ℏ k m

Passo 3

E n + 1 - E n = ℏ k m

Onde:

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s ;

k = 110   N / m ;

m = 0,250   k g ;

Logo:

E n + 1 - E n = 1,05 × 10 - 34 × 110 0,25 = 2,20 × 10 - 33   J = 1,38 × 10 - 14   e V

E n + 1 - E n = 2,20 × 10 - 33   J = 1,38 × 10 - 14   e V

Passo 4

Os efeitos quânticos são importantes?

Não, pois as energias são muito pequenas para massas relativamente grandes.

Resposta

1,11 × 10 - 33   J = 6,90 × 10 - 15   e V

2,21 × 10 - 33   J = 1,38 × 10 - 14   e V

Não, pois as energias são muito pequenas para massas relativamente grandes.

Exercício Resolvido #2

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 261-40.29, modificado

Os químicos usam espectros de absorção infravermelho para identificar os elementos químicos em uma amostra.

Em certa amostra, um químico verifica que uma luz de comprimento de onda 5,8   μ m é absorvida.

  1. Calcule e a energia dessa transição.
  2. (Obs: Considere que é uma transição entre dois níveis de energia adjacentes)

  3. Se a massa da molécula é 5,60 × 10 - 26   k g , calcule a constante da mola.
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Passo 1

Letra (a): Calcule e a energia dessa transição.

Podemos relacionar a energia da transição com o comprimento de onda através da relação:

E = h f = h c λ

Onde:

h = 6,626 × 10 - 34   J s ;

c = 3 × 10 8   m / s ;

λ = 5,8   μ m = 5,8 × 10 - 6   m ;

Logo:

E = 6,626 × 10 - 34 × 3 × 10 8 5,8 × 10 - 6

E = 3,43 × 10 - 20   J = 0,21   e V

Lembrando que 1   e V = 1,6 × 10 - 19   J .

Passo 2

Letra (b): Se a massa da molécula é 5,60 × 10 - 26   k g , calcule a constante da mola.

A energia em qualquer nível é dada por:

E n = n + 1 2 ℏ ω 0

Se houve uma transição de um nível para outro adjacente, essa variação de energia é dada por:

E = E n + 1 - E n = ℏ ω 0 = ℏ k m

Passo 3

E = ℏ k m

k = E 2 m ℏ 2

Onde:

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s ;

E = 3,43 × 10 - 20   J ;

m = 5,60 × 10 - 26   k g ;

Logo:

k = 5975   N / m

Resposta

Letra (a):

0,21   e V

Letra (b):

5975   N / m

Exercício Resolvido #3

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 261-40.33, modificado

Para um átomo de sódio que oscila com frequência angular ω 0 = 1,79 × 10 13   r a d / s , calcule:

  1. A energia do estado fundamental;
  2. O comprimento de onda de um fóton emitido quando ocorre a transição de n = 4 para n = 3 ;
  3. A diferença de energia para qualquer transição em que Δ n = 1 ;
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Passo 1

Letra (a): A energia do estado fundamental;

A energia do estado fundamental é dada por:

E 0 = 1 2 ℏ ω 0

Onde:

ℏ = 1,05 × 10 - 34   J s = 6,582 × 10 - 16   e V ;

ω 0 = 1,79 × 10 13   r a d / s ;

Logo:

E 0 = 6,582 × 10 - 16 × 1,79 × 10 13 2

E 0 = 5,9 × 10 - 3   e V

Passo 2

Letra (b): O comprimento de onda de um fóton emitido quando ocorre a transição de n = 4 para n = 3 ;

A energia no n-ésimo estado excitado é dada por:

E n = n + 1 2 ℏ ω 0

Assim, quando há a transição de n = 4 para n = 3 , a energia liberada é dada por:

Δ E = E 4 - E 3 = 4 + 1 2 - 3 - 1 2 ℏ ω 0 = ℏ ω 0

Essa energia deve ser igual à energia do fóton emitido, logo:

Δ E = ℏ ω 0 = h f = h c λ

ℏ ω 0 = h ω 0 2 π = h c λ

λ = 2 π c ω 0

Onde:

c = 3 × 10 8   m / s