Exercícios Resolvidos de Oscilador Harmônico Quântico

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Enunciado

Uma partícula quântica de massa m executa oscilações harmônicas, em uma dimensão,

num potencial V x = k x 2 2 , onde k é a constante da “mola”. Sua função de onda num

estado estacionário é φ x = A . e - b x 2 , onde A e b são constantes.

(a) Determine o valor de b (como função de m, k e ћ).

(b) Determine o valor da energia desta partícula neste estado.

(c) Determine o valor médio esperado de x 2 neste estado. Deixe sua resposta em função da constante b.

Passo 1

A fórmula geral de Schrödinger é dada por

- ћ 2 2 m d 2 φ x d x 2 + U x . φ x = E φ x

Mas nesse caso quando temos essa espécie de “mola” passamos a ter o que chamamos de oscilador harmônico simples.

O funcionamento dele se diferencia dos outros no sentido que o seu potencial é dado por uma equação, nesse caso a equação foi dada no enunciado e é dada por

V x = k x 2 2 = U x

Dito isso agora precisamos cumprir o primeiro objetivo da questão que se refere exatamente a descobri o valor de b.

Para isso precisamos isolar a nossa derivada segunda na equação de Schrödinger. Com isso teremos que

d 2 φ x d x 2 = 2 m ћ 2 ( U x - E ) φ x

Sabendo que a equação de onda é dada por φ x = A . e - b x 2 as suas derivadas segundas serão dada por

d ' φ x d x ' = - A . 2 . b . x . e - b x 2

d 2 φ x d x 2 = - A . 2 . b . e - b x 2 + 4 A b 2 x 2 . e - b x 2

Substituindo na equação principal teremos

- A . 2 . b . e - b x 2 + 4 A b 2 x 2 . e - b x 2 = 2 m ћ 2 ( U x - E ) φ x

Substituindo os termos

U x = k x 2 2

φ x = A . e - b x 2

Teremos que

( - 2 b + 4 b 2 x 2 ) A e - b x 2 = 2 m ћ 2 ( k x 2 2 - E ) A . e - b x 2

( - 2 b + 4 b 2 x 2 ) = 2 m ћ 2 ( k x 2 2 - E )

Isolando x 2 teremos que

4 b 2 x 2 - 2 m ћ 2 k x 2 2 = - 2 m ћ 2 E + 2 b

4 b 2 - 2 m k 2 ћ 2 x 2 = - 2 m ћ 2 E + 2 b

4 b 2 - 2 m k 2 ћ 2 x 2 - - 2 m ћ 2 E + 2 b = 0

Para um polinômio se anular é necessário que os coeficientes das várias potências sejam nulos. O termo proporcional a x 2 fornece b.

4 b 2 - m k ћ 2 = 0

b 2 = m k 4 ћ 2

b = m k 2 ћ

Passo 2

Para o item B é fácil calcular o valor da energia, basta apenas pegarmos o valor constante da equação que calculamos no item A e igualar ele a zero também.

4 b 2 - 2 m k 2 ћ 2 x 2 - - 2 m ћ 2 E + 2 b = 0

- 2 m ћ 2 E + 2 b = 0

- 2 m ћ 2 E + 2 m k 2 ћ = 0

- 2 m ћ 2 E + 2 m k 2 ћ = 0

2 m ћ 2 E = m k ћ

E = ћ 2 k m

Passo 3

Agora para o item C, precisamos tomar alguns cuidados. Primeiro temos que saber que a fórmula que da o valor médio esperado é

x 2 = ∫ - ∞ ∞ x 2 e - a x 2 d x ∫ - ∞ ∞ e - a x 2 d x

Em que pelo formulário podemos tirar que

∫ - ∞ ∞ x 2 e - a x 2 d x = π 2 . a 3 2

E

∫ - ∞ ∞ e - a x 2 d x = π a

Usando agora os dados do nosso exercício teremos a seguinte solução

x 2 = ∫ - ∞ ∞ x 2 e - 2 b d x ∫ - ∞ ∞ e - 2 b x 2 d x

Substituindo os nossos dados nas repostas teremos

x 2 = π 2 . ( 2 b ) 3 2 π 2 b = ( 2 b ) 1 2 . π π . 2 . ( 2 b ) 3 2 = ( 2 b ) 1 2 2 . ( 2 b ) 3 2 = 1 4 b

Resposta

a) b = m k 2 ћ

b) E = ћ 2 k m

c) x 2 = 1 4 b

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