Exercícios Resolvidos de Parâmetro de Velocidade e Fator de Lorentz

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Enunciado

Em um universo onde a velocidade da luz vale c = 20 3   m / s , um corredor percorre certa distância em um intervalo de tempo Δ t = 10   s , quando observado de um referencial S . Ao terminar a corrida, o rolégio do corredor atribuirá ao percurso um intervalo de tempo Δ t ' = 5   s . Sabe-se que o corredor manteve sua velocidade constante durante todo o percurso.

a) Calcule a velocidade v do corredor em relação ao referencial S .

b) Calcule a distância L percorrida pelo corredor no referencial S .

c) Qual o comprimento que o corredor, situado em S ' , atribui ao trecho da pista percorrido por ele?

Passo 1

Fala galera, bora resolver mais uma questão de relatividade da POLI?

Olha que interessante, nesse problema a velocidade da luz tem um valor diferente

c = 20 3   m / s

O problema consiste em um corredor percorrendo uma distância. Um observador num referencial S mede o tempo gasto pelo corredor e acha Δ t = 10   s . Já o corredor, em S ' , mede Δ t ' = 5   s . A primeira pergunta que você deve responder é: qual desses tempos é o tempo próprio?

Sua resposta deve ser: o tempo medido pelo corredor. O tempo próprio é o tempo medido por um relógio “estático” no referencial, e isso ocorre, no problema, com o tempo medido pelo corredor, já que ele se move com o referencial, isto é, está “preso” nele. Em outras palavras, o referencial S ' é o próprio corredor, então o tempo medido por ele é o tempo próprio.

Já o observador em S está vendo o corredor se mover, de modo que o tempo medido por ele é o tempo dilatado! Eu sei que isso é confuso, mas é muito importante saber identificar cada um!

Assim, a equação da dilatação do tempo fica

Δ t = γ Δ t '

O tempo próprio é Δ t ' = 5   s e o tempo dilatado é Δ t = 10   s , medido em S .Portanto,

γ = 10 5 = 2

Passo 2

Agora que já temos γ = 2 , podemos ir atrás da velocidade. Sabemos que

γ = 1 1 - β 2 ⇒ 1 1 - β 2 = γ 2 ⇒ 1 - β 2 = 1 γ 2 ⇒ β 2 = 1 - 1 γ 2

Assim,

β 2 = 1 - 1 2 2 = 1 - 1 4 = 3 4 ⇒ β = 3 2

Como β = v / c :

v c = 3 2 ⇒ v = c 3 2

Usando c = 20 3   m / s :

v = 20 3 ⋅ 3 2 m s ⇒ v = 10   m / s

Assim, a velocidade do corredor (e portanto S ' ) com relação a S é 10   m / s .

Passo 3

No referencial S , a velocidade do corredor é v = 10   m / s e o tempo medido foi Δ t = 10   s . Assim, a distância L percorrida pelo corredor, vista por um observador em S é

L = v ⋅ Δ t = 10 m s ⋅ 10   s ⇒ L = 100   m

Esse foi o item (b), bem simples né? Note que, conhecendo as grandezas medidas num referencial, é muito fácil obter outras grandezas nesse mesmo referencial, essa é a beleza da brincadeira!

Passo 4

Para terminar, temos que achar qual a distância percorrida pelo corredor medida por ele mesmo. Assim, queremos saber qual é o tamanho da pista no referencial S ' .

Novamente, a pergunta que temos que responder é: qual é o comprimento próprio? O medido em S ou em S ' ? Nesse caso, a resposta é: o medido em S !

No referencial S a pista está em parada, enquanto o corredor está em movimento. No referencial S ' , o corredor está parado mas a pista está em movimento. Em qual referencial a pista está “estática”? Em S né?

Sabemos que

L c o n t r a i d o = L p r o p r i o γ

Nesse caso, L p r o p r i o = L = 100   m , de modo que

L ' = L γ = 100   m 2 ⇒ L ' = 50   m

Para achar o tempo próprio, procure o referencial em que o “corpo em movimento” está parado. Para achar o comprimento próprio, procure o referencial em que a “trajetória” está parada. Fazendo isso direitinho, você nunca vai errar!

Resposta

a) v = 10   m / s

b) L = 100   m

c) 50   m

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