Teoria Completa
Introdução
O fator de Lorentz já é um termo um pouco familiar se você já viu essas duas equações abaixo:
Nas teorias anteriores, a gente trocou uma ideia sobre esses dois fenômenos mostrados nas equações e também falamos um pouco sobre o fator de Lorentz que é dado por:
Assim, vamos reescrever as equações da relatividade da seguinte forma:
Mas o que é o parâmetro de velocidade? E como a gente vai relacionar esse fator de Lorentz que a gente já conhece, com esse cara novo ?
Parâmetro de Velocidade
Vamos entender o parâmetro de velocidade fazendo um exemplo, saca só nesse caminhão de uma empresa de entregas que nunca atrasa uma entrega sequer.
O supercaminhão se move com velocidade igual a metade da velocidade da luz, qual seria o parâmetro de velocidade desse caminhão??
O Parâmetro de Velocidade é definido por:
Onde é a velocidade relativa entre dois referenciais e é a velocidade da luz, que vale aproximadamente .
Então substituindo no parâmetro de velocidade, temos:
Segundo o próprio Einstein nenhuma velocidade pode ser superior a da luz portanto , SEMPRE TEREMOS :
OBS: É muito comum aparecer a velocidade do corpo em função de , especialmente nas provas por isso a gente fez assim aqui.
Fator de Lorentz
Tá beleza mas qual a relação do parâmetro de velocidade com o fator de Lorentz?
O Fator de Lorentz é definido por:
E pra colocar em função do parâmetro da velocidade basta substituirmos ele na equação:
E como nunca é menor que 0, a gente pode dizer que , Sempre.
E se a gente quiser descobrir o valor do fator de Lorentz pro nosso supercaminhão basta substituir o parâmetro de velocidade aqui:
E com isso se a gente analisar as equações mostradas podemos tirar as seguintes conclusões:
No caso do caminhão o tempo observado em será:
Como o tempo nunca vai se contrair, sempre vai se dilatar pro observador no referencial fixo que vê alguém se movimentando em .
E no caso do caminhão a gente terá:
Como , o comprimento nunca se dilata, sempre vai se contrair pro observador no referencial S fixo que observa um movimento em S’.
Bom, agora é só a gente praticar fazendo uns exercícios, beleza?
Exercício Resolvido #1
Um relógio está se movendo ao longo do eixo com uma velocidade de e indica o instante ao passar pela origem.
Calcule o fator de Lorentz do relógio.
Qual é a leitura do relógio ao passar pelo ponto ?
Passo 1
Calcule o fator de Lorentz do relógio.
O fator de Lorentz é dado por:
Onde , logo:
Passo 2
Qual é a leitura do relógio ao passar pelo ponto ?
O tempo medido do referencial em repouso é dado por:
Utilizando a equação de dilatação do tempo, teremos:
Portanto:
Resposta
Exercício Resolvido #2
O comprimento de uma espaçonave em um certo referencial é a metade do comprimento de repouso. Com três algarismos significativos, qual é o parâmetro de velocidade da espaçonave no referencial do observador? Qual é a relação entre a rapidez da passagem do tempo no referencial da nave e no referencial do observador?
Passo 1
Com três algarismos significativos, qual é o parâmetro de velocidade da espaçonave no referencial do observador?
Através da equação de contração do comprimento, temos que:
De acordo com o enunciado, , logo:
Onde:
Logo:
Passo 2
Qual é a relação entre a rapidez da passagem do tempo no referencial da nave e no referencial do observador?
A passagem do tempo no referencial da nave e a passagem do tempo no referencial do observador estão relacionadas por:
Assim, as duas estão relacionadas pelo fator de Lorentz, dado por:
Resposta
As duas estão relacionadas pelo fator de Lorentz, onde .
Exercício Resolvido #3
Uma barra se move com velocidade constante ao longo do eixo do referencial , com a maior dimensão da barra paralela ao eixo . Um observador estacionário no referencial mede o comprimento da barra.
A figura abaixo mostra o valor de em função do parâmetro de velocidade para . A escala do eixo vertical é definida por . Qual é o valor de para ?
Passo 1
A partir da escala dada pelo problema, quando , ou seja, (referencial em repouso), o comprimento da barra vale .
Logo:
Agora podemos usar a equação de contração do comprimento pra simplificar a nossa vida:
Substituindo os valores, teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #4
O referencial passa pelo referencial a uma velocidade ao longo da direção comum dos eixos e , como na figura abaixo.
Um observador estacionário no referencial mede um certo intervalo de tempo com seu relógio de pulso. Um observador estacionário no referencial mede o intervalo correspondente .
A figura abaixo mostra a variação de com o parâmetro de velocidade no intervalo . A escala do eixo vertical é definida por . Qual é o valor de para ?
Passo 1
A partir da escala dada pelo problema, quando , ou seja, (referencial em repouso), o intervalo de tempo vale .
Logo:
Agora podemos usar a equação de dilatação do tempo para resolver o problema:
Substituindo os valores, teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #5
De volta para o futuro. Suponha que um astronauta é 20 anos mais velho que a filha. Depois de passar 4000 anos (no seu referencial) viajando pelo universo com velocidade constante, em uma viagem de ida e volta, descobre, ao chegar à Terra, que está 20 anos mais moço que a filha.
Determine o parâmetro de velocidade da nave do astronauta em relação à Terra.
Passo 1
O astronauta sai da Terra 20 anos mais velho que a filha e volta 20 anos mais moço. Sendo assim, se para o astronauta se passaram 4000 anos, para a sua filha se passaram 4040 anos, certo?
Assim, como o tempo próprio é o tempo medido pelo astronauta, temos que:
Usando a equação de dilatação do tempo, temos que:
Substituindo os valores, teremos:
Passo 2
O fator de Lorentz está relacionado com o parâmetro de velocidade da seguinte forma:
Isolando o , teremos:
Agora é substituir os valores e partir pro abraço.
Resposta
Exercício Resolvido #6
Uma espaçonave viaja com velocidade e o objetivo é concluir um percurso de .
Calcule o parâmetro de velocidade e o fator de Lorentz da nave.
Qual é o tempo medido para um observador na nave ao completar o percurso?
Qual é o tempo medido para um observador fixo fora da nave?
Passo 1
Para o item a, vamos começar calculando o Parâmetro de velocidade.
Com temos:
Agora podemos calcular o fator de Lorentz que é dado por:
E com o calculado e substituido na equação temos.
Passo 2
O item b, pede o tempo medido pelo observador na nave. Para ele o tempo observado não sofre distorção pois é o tempo próprio .
O tempo medido do referencial em repouso é dado por:
Passo 3
Para o item c, o enunciado pede o tempo medido por um observador fixo e para ele ocorre a dilatação do tempo.
Utilizando a equação de dilatação do tempo, teremos:
Portanto:
Resposta