Parâmetro de Velocidade e Fator de Lorentz

Teoria Completa

As principais equações de relatividade que vimos até agora são as seguintes:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

D i l a t a ç ã o   d o   t e m p o

l = l 0 1 - u 2 c 2

C o n t r a ç ã o   d o s   c o m p r i m e n t o s

As duas equações possuem termos em comum, e é neles que nós vamos focar agora.

Parâmetro de Velocidade

O Parâmetro de Velocidade β é definido por:

β = u c

Onde u é a velocidade relativa entre dois referenciais e c é a velocidade da luz, que vale aproximadamente 3 × 10 8   m / s .

Como a velocidade da luz é o máximo que se pode atingir, temos que: β ≤   1

Fator de Lorentz

O Fator de Lorentz γ é definido por:

γ = 1 1 - u 2 c 2

Onde γ ≥ 1 , sempre.

Assim, podemos reescrever as equações de relatividade da seguinte forma:

Δ t = γ Δ t 0

D i l a t a ç ã o   d o   t e m p o

l = l 0 γ

C o n t r a ç ã o   d o s   c o m p r i m e n t o s

O fator de Lorentz γ está relacionado com o parâmetro de velocidade β da seguinte forma:

γ = 1 1 - β 2

Alguns exercícios pedem para calcularmos exclusivamente esses parâmetros, vamos dar uma olhada.

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 178-21.

Um relógio está se movendo ao longo do eixo x com uma velocidade de 0,6 c e indica o instante t = 0 ao passar pela origem.

a Calcule o fator de Lorentz do relógio.

b Qual é a leitura do relógio ao passar pelo ponto x = 180 m ?

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Passo 1

a Calcule o fator de Lorentz do relógio.

O fator de Lorentz é dado por:

γ = 1 1 - u 2 c 2

Onde u = 0,6 c , logo:

γ = 1 1 - 0,6 c c 2

γ = 1,25

Passo 2

b Qual é a leitura do relógio ao passar pelo ponto x = 180 m ?

O tempo medido do referencial em repouso é dado por:

Δ t = x u = 180 0,6 × 3 × 10 8

Δ t = 1 × 10 - 6 s

Utilizando a equação de dilatação do tempo, teremos:

Δ t = γ Δ t 0 → Δ t 0 = Δ t γ

Portanto:

Δ t 0 = 1 × 10 - 6 1,25

Δ t 0 = 8,0 × 10 - 7 s

Resposta

a

γ = 1,25

b

Δ t 0 = 8,0 × 10 - 7 s

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 177-8.

O comprimento de uma espaçonave em um certo referencial é a metade do comprimento de repouso. a Com três algarismos significativos, qual é o parâmetro de velocidade β da espaçonave no referencial do observador? b Qual é a relação entre a rapidez da passagem do tempo no referencial da nave e no referencial do observador?

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Passo 1

a Com três algarismos significativos, qual é o parâmetro de velocidade β da espaçonave no referencial do observador?

Através da equação de contração do comprimento, temos que:

l = l 0 γ

De acordo com o enunciado, l = l 0 / 2 , logo:

l 0 2 = l 0 γ

γ = 2

Onde:

γ = 1 1 - β 2

Logo:

1 1 - β 2 = 2

1 1 - β 2 = 4

β = 1 - 1 4

β = 0,866

Passo 2

b Qual é a relação entre a rapidez da passagem do tempo no referencial da nave e no referencial do observador?

A passagem do tempo Δ t 0 no referencial da nave e a passagem do tempo Δ t no referencial do observador estão relacionadas por:

Δ t = γ Δ t 0

Assim, as duas estão relacionadas pelo fator de Lorentz, dado por:

γ = 2

Resposta

a

β = 0,866

b

As duas estão relacionadas pelo fator de Lorentz, onde γ = 2 .

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 177-12.

Uma barra se move com velocidade constante v ao longo do eixo x do referencial S , com a maior dimensão da barra paralela ao eixo x . Um observador estacionário no referencial S mede o comprimento L da barra.

A figura abaixo mostra o valor de L em função do parâmetro de velocidade β para 0 ≤ β ≤ 0,8 . A escala do eixo vertical é definida por L a = 1,0 m . Qual é o valor de L para u = 0,95 c ?

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Passo 1

A partir da escala dada pelo problema, quando β = 0 , ou seja, u = 0 (referencial em repouso), o comprimento da barra vale 0,8 m .

Logo:

L 0 = 0,8 m

Agora podemos usar a equação de contração do comprimento pra simplificar a nossa vida:

L = L 0 1 - u 2 c 2

Substituindo os valores, teremos:

L = 0,8 1 - 0,95 c c 2

L = 0,25 m

Resposta

L = 0,25 m

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 177-4.

O referencial S ' passa pelo referencial S a uma velocidade v ao longo da direção comum dos eixos x ' e x , como na figura abaixo.

Um observador estacionário no referencial S ' mede um certo intervalo de tempo com seu relógio de pulso. Um observador estacionário no referencial S mede o intervalo correspondente Δ t .

A figura abaixo mostra a variação de Δ t com o parâmetro de velocidade β no intervalo 0 ≤ β ≤ 0,8 . A escala do eixo vertical é definida por Δ t a = 14,0 s . Qual é o valor de Δ t para u = 0,98 c ?

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Passo 1

A partir da escala dada pelo problema, quando β = 0 , ou seja, u = 0 (referencial em repouso), o intervalo de tempo vale 8,0 s .

Logo:

Δ t 0 = 8,0 s

Agora podemos usar a equação de dilatação do tempo para resolver o problema:

Δ t = Δ t 0 1 - u 2 c 2

Substituindo os valores, teremos:

Δ t = 8 1 - 0,98 c c 2

Δ t = 40 s

Resposta

Δ t = 40 s

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 177-6.

De volta para o futuro. Suponha que um astronauta é 20 anos mais velho que a filha. Depois de passar 4000 anos (no seu referencial) viajando pelo universo com velocidade constante, em uma viagem de ida e volta, descobre, ao chegar à Terra, que está 20 anos mais moço que a filha.

Determine o parâmetro de velocidade β da nave do astronauta em relação à Terra.

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Passo 1

O astronauta sai da Terra 20 anos mais velho que a filha e volta 20 anos mais moço. Sendo assim, se para o astronauta se passaram 4000 anos, para a sua filha se passaram 4040 anos, certo?

Assim, como o tempo próprio é o tempo medido pelo astronauta, temos que:

Δ t 0 = 4000   a n o s

Δ t = 4040   a n o s

Usando a equação de dilatação do tempo, temos que:

Δ t = γ Δ t 0

γ = Δ t Δ t 0

Substituindo os valores, teremos:

γ = 4040 4000

γ = 1,01

Passo 2

O fator de Lorentz γ está relacionado com o parâmetro de velocidade β da seguinte forma:

γ = 1 1 - β 2

Isolando o β , teremos:

β = 1 - 1 γ 2

Agora é substituir os valores e partir pro abraço.

β = 1 - 1 1,01 2

β = 0,14

Resposta

β = 0,14

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Uma espaçonave viaja com velocidade 0,8 c e o objetivo é concluir um percurso de 10000 k m .

a Calcule o parâmetro de velocidade e o fator de Lorentz da nave.

b Qual é o tempo medido para um observador na nave ao completar o percurso?

c Qual é o tempo medido para um observador fixo fora da nave?

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Passo 1

Para o item a, vamos começar calculando o Parâmetro de velocidade.

Com u = 0,8 c temos:

β = u c = 0,8

Agora podemos calcular o fator de Lorentz que é dado por:

γ = 1 1 - β 2

E com o β calculado e substituido na equação temos.

γ = 1 1 - 0,64

γ = 5 3

Passo 2

O item b, pede o tempo medido pelo observador na nave. Para ele o tempo observado não sofre distorção pois é o tempo próprio ∆ t 0 .

O tempo medido do referencial em repouso é dado por:

∆ t 0 . = ∆ x u = 10000 × 10 3 0,6 × 3 × 10 8

Δ t 0 = 0,04167 s = 41,67 m s

Passo 3

Para o item c, o enunciado pede o tempo medido por um observador fixo e para ele ocorre a dilatação do tempo.

Utilizando a equação de dilatação do tempo, teremos:

Δ t = γ Δ t 0 →