Exercícios Resolvidos de Pressão

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Enunciado

Suponha que a densidade da atmosfera vai diminuindo com a altura em uma relação ρ ( h ) = ρ 0 e -   h h 0 , onde ρ 0 é a densidade ao nível do mar ( h = 0 ).

Como que a pressão varia com a altura?

Dica: ache a relação diferencial entre a pressão e a densidade, para uma área constante.

Passo 1

Precisamos achar a relação entre pressão e densidade, na forma diferencial.

Temos que a densidade é

ρ = d m d V

Mas V = A h , como A é constante, podemos escrever d V = A   d h

ρ = 1 A d m d h

Onde

d m = A ρ   d h

Já a pressão é

p = F A

Onde a força que causa a diferença de pressão é a gravitacional

p = m g A

Como g e A são constantes, então se quisermos escrever na forma diferencial

d p = g A d m

Substituindo d m = A ρ   d h :

d p = g A A ρ   d h = ρ g   d h

PRONTO! Agora é só integrar dos dois lados!! =)

p = ∫ d p = ∫ ρ g   d h

Passo 2

Vamos jogar a equação para ρ ( h ) :

p = ∫ ρ 0 e -   h h 0 g   d h

Integrando:

p = - ρ 0 h 0 g   e - h h 0 + p 0

Onde p 0 é uma constante (fisicamente ela é a pressão no nível do mar).

Resposta

p = p 0 - ρ 0 h 0 g   e - h h 0

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