Pressão

Teoria Completa

Agora vamos ver outro conceito importante no estudo dos fluidos: a pressão.

Dá uma olhada nesse tirinha:

Por que um afunda e o outro não?

Por mais que os dois homens tenham o mesmo peso, o peso do segundo está distribuído em uma área maior que a do primeiro. Então ele exerce menos pressão e não afunda!

O que é pressão, afinal? É a razão força sobre área:

p = F A

Sacou? Basta perceber que a área e a pressão são inversamente proporcionais para uma mesma força.

Unidade

Mas qual a unidade de pressão no Sistema Internacional?

Força é medido em Newton, área em m 2 , então

p   → [ N / m 2 ]

Essa unidade leva o nome de Pascal:

[ N / m 2 ] = [ P a ]

Existem outras unidades de pressão que podem aparecer nos exercícios, mas em geral a conversão para Pascal será dada.

Por exemplo, o peso que a atmosfera da Terra exerce sobre sua superfície gera uma pressão chamada de pressão atmosférica, que seu valor é conhecido como 1 atm, onde:

1   a t m = 1,01 × 10 5   P a  

Diferença de Pressão e Força

Por que o refri sobe quando você suga o canudinho?

Repare que a refri está sujeito a pressão atmosférica, assim como tudo que está na superfície da Terra.

Quando você suga, você está criando uma região de baixa pressão dentro da sua boca ( P b o c a < P a t m ).

Tanto a pressão atmosférica quanto a pressão baixa da boca vão gerar forças no líquido. A diferença de pressão vai gerar uma força resultante:

F r e s u l t a n t e = Δ P ∙ A

Onde Δ P = P a t m - P b o c a ; e

A é a área da seção reta do canudo.

Se a força resultante for maior que o peso do refri, ele vai pra cima.

De forma geral, diferenças de pressão geram forças!

Forças Tangenciais e Normais

As forças que agem em um material podem ser divididas em dois componentes:

  • Forças tangenciais: São as forças que agem paralelamente a superfície. São chamadas de forças de cisalhamento.
  • Forças Normais: São as forças que são aplicadas na direção perpendicular à superfície. Elas comprimem o material e são elas as que geram pressão.

A pressão nesse bloquinho é:

p = F N o r m a l A = F   s e n θ A

Ah, mas e se a força não for constante ao longo de toda a área de contato?

Vamos ter que apelar para o cálculo e usar a forma diferencial:

p = d F N o r m a l d S

Onde d S é um pedacinho infinitesimal de área do objeto e d F N o r m a l a força normal que age nele.

Mas fica tranquilo que isso é bem raro de aparecer. Na maioria das vezes, usamos apenas a expressão:

p = F N o r m a l A

Legal! Isso é tudo o que você precisa saber antes de começar a estudar estática dos fluidos!

Partiu fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 3, página 80.

Determine o aumento de pressão do fluido em uma seringa quando uma enfermeira aplica uma força de 42   N ao êmbolo circular da seringa, que tem um raio de 1,1   c m ?

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Passo 1

Cara, o aumento da pressão é igual à força aplicada dividida pela área:

∆ p   = F A = F π r 2

Onde r é o raio do êmbulo circular da seringa.

Substituindo os valores dados pelo enunciado, lembrando que 1,1   c m = 0,011 m :

∆ p = 42 π 0,011 2

∆ p =   1,1 ∙ 10 5   P a

E isso seria equivalente a 1.1   a t m .

Resposta

O aumento de pressão vale 1.1   a t m ou 1,1 ∙ 10 5   P a .

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Qual o módulo da força que a atmosfera exerce, de cima para baixo, sobre uma pessoa de área na ordem de 0,025   m 2 , no nível do mar?

Dado: 1   a t m = 1,01 ∙ 10 5   P a

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Passo 1

O primeiro passo aqui é identificar que no nível do mar temos que a pressão atmosférica será de 1   a t m . Como queremos a força que a atmosfera exerce sobre a pessoa, podemos usar a fórmula da pressão:

P = F A

F = P ∙ A

O enunciado nos deu a área da pessoa ( 0,025   m 2 ) . Além disso, devemos converter nossa pressão de atmosfera para pascal, já que nossa área está em metros quadrados. Portanto:

F = 1,01 ∙ 10 5 ∙ 0,025

F = 2525   N

Resposta

A atmosfera exerce uma força equivalente a 2525   N .

Exercício Resolvido #3

Lista de exercícios – Fenômenos de transporte

Um recipiente em forma de cilindro está completamente cheio de um líquido. O diâmetro do cilindro é 2   cm e a altura é 10   cm .

Esse recipiente está em um plano horizontal.

A densidade do líquido é 2,0 × 10 3   kg/ m 3 .

  1. Qual é a massa do líquido?
  2. Qual é a pressão do líquido exercida no fundo do recipiente?

Considere a aceleração da gravidade g = 9,8   m/ s 2

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Passo 1

Antes de começarmos, vamos dar uma olhada no que temos... Aqui temos um cilindro, em pé em um plano horizontal, esse cilindro está preenchido com um líquido, e queremos saber a massa desse líquido e a pressão que o líquido faz no fundo do recipiente.

Nosso cilindro é parecido com esse aqui ó:

Passo 2

a)

A densidade é massa sobre volume:

ρ = m V

⇒ m = ρ × V

Sabemos a densidade:

ρ = 2 × 10 3   kg/ m 3

Agora precisamos calcular o volume pra então sabermos a massa.

Passo 3

O volume do cilindro de raio r e altura h é dado por:

V = π r 2 h

O problema nos diz o diâmetro é 2   cm . Sendo o diâmetro o dobro do raio, temos:

2 r = 2

⇒ r = 1   cm

O enunciado também diz que a altura do cilindro é h = 10   cm .

Substituindo no volume:

V = π 1   cm 2 10   cm

⇒ V = 10 π   c m 3

Passo 4

Substituindo:

m = ρ × V

⇒ m = ( 2 × 10 3   kg/ m 3 ) × 10 π   c m 3

Note que temos que igualar as unidades para eliminar o m 3 ou c m 3 .

Podemos dizer que

1   cm = 10 - 2   m

⇒ 1   cm 3 = 10 - 2   m 3

⇒ 1   c m 3 = 10 - 6   m 3

Logo:

m = ( 2 × 10 3   kg/ m 3 ) × 10 π × 10 - 6   m 3

⇒ m = 2 π × 10 - 2   kg

Aproximadamente:

m = 6,28 × 10 - 2   kg

ou

m = 62,8   g

uma vez que 1   kg = 10 3   g .

Passo 5

b)

A pressão é força sobre área:

p = F A

Então precisamos calcular essa força e essa área.

Passo 6

Calculando a força:

A força que esse líquido está exercendo no fundo do recipiente é igual à força normal entre o recipiente e o líquido, não é isso?

Como o líquido está em repouso, então a força normal é igual ao peso:

F = m g

No item anterior, calculamos a massa:

m = 2 π × 10 - 2   kg

Substituindo:

⇒ F = 2 π × 10 - 2   kg   × ( 9,8   m/ s 2 )  

⇒ F = 19,6 π × 10 - 2   N

Passo 7

Calculando a área:

A área de contato entre o líquido e o fundo do recipiente cilíndrico é a área do círculo.

Sabemos que área de um círculo de raio r é dada por:

A = π r 2

Vimos que r = 1   c m .

Convertendo para metros:

r = 1 × 10 - 2   m

Logo:

A = π × 10 - 2   m 2

⇒ A = π × 10 - 4   m 2

Passo 8

Substituindo:

p = F A

⇒ p = 19,6 π × 10 - 2   N π × 10 - 4   m 2

⇒ p = 19,6 × 10 2 N/ m 2

Como Pa =N/ m 2 :

⇒ p = 1,96 × 10 3   Pa

Resposta

  1. m = 6,28 × 10 - 2   kg
  2. p = 1,96 × 10 3   Pa

Exercício Resolvido #4

UERJ-LISTA-MF-1

Uma caixa hermética, cuja tampa tem uma área de 77,4   c m 2 , é parcialmente esvaziada. A força necessária para abrir a caixa vale 480,4   N e a pressão atmosférica é igual a 1,02   atm . Calcule a pressão no interior da caixa.

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Passo 1

No problema, uma caixa é parcialmente evacuada, ou seja, a sua pressão interna diminui. Além disso, alguém está tentando abri-la. Tudo isso gera uma composição de forças, como veremos. Nossa missão é encontrar a pressão interna da caixa.

Passo 2

Sendo:

F 1 : a força necessária para abrir a caixa, feita por uma pessoa, e que vale 480,4   N .

F 2 : a força gerada pela pressão atmosférica, que ainda vamos calcular.

F 3 : a força gerada por aquela tal pressão interna que queremos descobrir.

P a t m : pressão atmosférica, de 1,02   atm = 1,02 ⋅ 10 5   Pa (utilizando 1   atm = 10 5   Pa ) .

P i n t   : pressão interna.

A distribuição espacial das forças fica conforme a figura:

Primeiramente, devemos calcular as forças. Pelo enunciado, apenas a força exercida pela pessoa foi dada. Usaremos a relação a seguir para calcular as outras:

P = F A

Logo,   F 2 e F 3   valem:

F 2 = P a t m ⋅ A = 1,02 ⏟ atm ⋅ 77,4 ⏟ c m 2   = 1,02 ⋅ 10 5 ⏟ Pa ⋅ 77,4 ⋅ 10 - 4 ⏟ m 2 = 789,5   N

F 3 = P i n t ⋅ A = P i n t ⋅ 77,4 ⋅ 10 - 4

E o valor de F 1 já é conhecido (:

Agora, estamos preparados para equacionar e descobrir P i n t .

Passo 3

Bom, a figura da distribuição espacial das forças nos mostra que F 3 e F 1 apontam para cima, enquanto F 2 aponta para baixo. A lógica nisto é que a força gerada pela atmosfera precisa ser “vencida” para que a caixa abra. Portanto, devemos igualar a soma das forças que apontam para cima a F 2 para que, após isso, isolemos P i n t :

F 2 = F 3 + F 1

F 3 = F 2 - F 1

P i n t ⋅ A = F 2 - F 1

P i n t = F 2 - F 1 A

Sendo F 2 = 789,5   N , F 1 = 480,4   N e A = 77,4 ⋅ 10 - 4   m 2 , basta aplicar na equação e obteremos:

P i n t = 3,9 ⋅ 10 4   Pa ≈ 4,0 ⋅ 10 4  Pa

Resposta

P i n t   = 4,0 ⋅ 10 4   Pa

Exercício Resolvido #5

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 96 – Modificado.

Em uma demonstração, uma professora separa facilmente dois hemisférios ocos de aço (Diâmetro D ) por meio de uma alça presa a cada um deles. A seguir, ela os encaixa novamente, bombeia ar para fora da esfera até atingir uma pressão absoluta P e entrega-os ao aluno musculoso da última fileira para que ele tente separá-los.

  1. Designando por P 0 a pressão atmosférica, qual é a força que o aluno musculoso deve exercer sobre cada hemisfério?
  2. Avalie a sua resposta para o caso P = 0,025   a t m e D = 10,0 c m .

Dado:

1 a t m ≅ 1,0.10 5   P a

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Passo 1

a)

Bom, vamos considerar que a pressão é uniforme em toda a superfície da esfera.

Agora vamos analisar cada metade da esfera separadamente.

A força que estamos querendo achar será dada por:

F = ∆ P . A

Onde a área vai ser a metade da área da esfera. Como a área de uma esfera é dada por:

A e = 4 π r 2

Fazendo:

r = D 2

Assim:

A e = 4 π . D 2 2 = π D 2

Então a metade dessa área será:

A = π D 2 2

Passo 2

Bom, já temos quase tudo que precisamos. Só é preciso calcular a diferença de pressão.

A pressão gerada dentro da esfera será menor que a pressão atmosférica. Assim, o diferencial de pressão será dado por:

∆ P = P 0 - P

E a força que o aluno terá que exercer em cada hemisfério será dada por:

F = ∆ P . A

F = P 0 - P . π D 2 2

Pronto (:

Passo 3

b)

Aqui vamos apenas aplicar os valores na equação:

F = 1,0 × 10 5 - 0,025.10 5 . π . 10,0.10 - 2 2 2 = 1531,5 N  

Resposta

a)

F = P 0 - P . π D 2 2

b)

F = 1531,5 N

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

O bloquinho cúbico de aresta 20 cm e 2 kg abaixo encontra-se em equilíbrio estático, onde θ = 30 o .

Determine a pressão que ele está exercendo sobre a superfície do plano inclinado.

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Passo 1

Só lembrar que apenas as forças normais exercem pressão!

Decompondo as forças:

p = F n o r m a l A = m g   c o s θ A

Passo 2

A área vai ser a área da base do cubo de aresta a, que é

A = a 2

Então, substituindo

p = m g   c o s θ a 2

p = ( 2   k g ) ( 9,8   m / s 2 )   c o s ⁡ ( 30 o ) 0,2   m 2

p ≃ 424,35 P a

Resposta

p ≃ 424,35   P a

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Um bloco de 1   t e com base quadrada de lado 5   m está parado sobre uma superfície com coeficiente de atrito estático μ e = 0,8 . A fim de colocar esse bloco em movimento, uma pessoa exerce uma força F que faz um ângulo θ com a horizontal e deixa o bloco na iminência de movimento. Qual a pressão exercida pela pessoa?

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Passo 1

Primeiro, vamos ao desenho da situação:

Como o problema pede a pressão exercida pela força que a pessoa faz no bloco ( F ), precisamos calcular a componente normal ao bloco dessa força. Então, queremos

F n o r m a l = F sen ⁡ θ

E, com ele, calcular a pressão:

P r = F n o r m a l A

Onda a área A é justamente a área da base do bloco de lado 5   m : A = 25   m 2 .

Passo 2

Beleza! Então, agora, falta a gente achar o valor dessa força F n o r m a l = F sen ⁡ θ . Vamos apelar pro Newton.

A força resultante na vertical pode ser calculada por:

F R Y = F sen ⁡ θ + P - N

Na horizontal:

F R X = F cos ⁡ θ - F a t

Lembrando que estamos na iminência de movimento, então temos equilíbrio nos dois casos! Com isso, vamos ficar com:

F sen ⁡ θ + P = N

E

F cos ⁡ θ = F a t

Além disso, mais um pequeno detalhe: na iminência de movimento, temos que a força de atrito estático é máxima e pode ser calculada por:

F a t = μ e ∙ N

Passo 3

Beleza, agora vamos brincar um pouquinho com essas equações para achar quanto vale F sen ⁡ θ :

F cos ⁡ θ = F a t = μ e ∙ N

N = F cos ⁡ θ μ e

Substituindo o valor da força normal ( N ) na primeira equação que encontramos:

F sen ⁡ θ + P = F cos ⁡ θ μ e

F sen ⁡ θ = F cos ⁡ θ μ e - P

Substituindo os valores que o enunciado deu e sabendo que P = m g = 1000 ∙ 9,8 = 9800   N :

F sen ⁡ θ = F cos ⁡ θ 0,8 - 9800

Passo 4

Show!! Agora que achamos a componente de F normal ao bloco, podemos calcular a pressão exercida por essa força:

P r = F sen ⁡ θ A = F cos ⁡ θ 0,8 - 9800 25

P r = F cos ⁡ θ - 7840 20   P a

Ou

P r = F cos ⁡ θ 20 - 392   P a

Resposta

A pressão exercida pela pessoa vale F cos ⁡ θ 20 - 392   P a .

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Suponha que a densidade da atmosfera vai diminuindo com a altura em uma relação ρ ( h ) = ρ 0 e -   h h 0 , onde ρ 0 é a densidade ao nível do mar ( h = 0 ).

Como que a pressão varia com a altura?

Dica: ache a relação diferencial entre a pressão e a densidade, para uma área constante.

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Passo 1

Precisamos achar a relação entre pressão e densidade, na forma diferencial.

Temos que a densidade é

ρ = d m d V

Mas V = A h , como A é constante, podemos escrever d V = A   d h

ρ = 1 A d m d h

Onde

d m = A ρ   d h

Já a pressão é

p = F A

Onde a força que causa a diferença de pressão é a gravitacional

p = m g A

Como g e A são constantes, então se quisermos escrever na forma diferencial

d p = g A d m

Substituindo d m = A ρ   d h :

d p = g A A ρ   d h = ρ g   d h

PRONTO! Agora é só integrar dos dois lados!! =)

p = ∫ d p = ∫ ρ g   d h

Passo 2

Vamos jogar a equação para ρ ( h ) :

p = ∫ ρ 0 e -   h h 0 g   d h

Integrando:

p = - ρ 0 h 0 g   e - h h 0 + p 0

Onde p 0 é uma constante (fisicamente ela é a pressão no nível do mar).

Resposta

p = p 0 - ρ 0 h 0 g   e - h h 0

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