Exercícios Resolvidos de Primeira Lei para Ciclos

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Enunciado

A figura abaixo mostra um ciclo de potência efetuado por um gás em um conjunto ciclindro-pistão. Para o processo 1-2, U 2 - U 1 = 15   k J . Para o processo 3-1, Q 31 = 10   k J . Não há variações de energia cinética ou potencial. Determine o trabalho para cada processo, em k J , e a transferência de calor para os processos 1-2 e 2-3, ambos em k J .

Passo 1

O exercício fala sobre três processos realizados por um gás que completam um ciclo: o gás começa no estado 1, passa pelo processo 1-2 até alcançar o estado 2, percorre o processo 2-3 e, por último, volta para o estado 1 pelo processo 3-1.

Todos os estados são mostrados no gráfico por meio de números ao lados de pontos.

O exercício nos dá informações sobre o calor trocado Q 31 em alguns processos e sobre a variação de energia interna U 2 - U 1 . Por outro lado, ele pede pra gente calcular o trabalho realizado em todos os processos ( W 13 , W 23 e W 31 ) e as trocas de calor restantes ( Q 13 e Q 23 ).

Ou seja, a gente precisa de alguma forma ligar as informações dadas com o que a questão pede. A única fórmula que liga trabalho, calor e variação de energia é a primeira lei. Por isso, aplicaremos a primeira lei em todos os três processos.

Para o processo 1-2, a primeira lei tem a seguinte forma:

Q 12 - W 12 = E C 2 - E C 1 + E P G 2 - E P G 1 + U 2 - U 1

Para o processo 2-3, ela vira:

Q 23 - W 23 = E C 3 - E C 2 + E P G 3 - E P G 2 + U 3 - U 2

Por último, o processo 3-1, a primeira lei é:

Q 31 - W 31 = E C 1 - E C 3 + E P G 1 - E P G 3 + U 1 - U 3

onde:

  • E C é a energia cinética do gás;
  • E P G é a energia potencial gravitacional do gás.

Para cada processo, nós temos que descobrir a variação de energia cinética causada por ele, a variação de energia potencial gravitacional, a variação de energia interna, o trabalho e o calor trocado.

É muita coisa, não é mesmo? Mas o exercício facilita um pouco o nosso trabalho!

Ele diz que não existe variação das energias cinética e potencial durante os processos. Por causa disso, as fórmulas viram:

Q 12 - W 12 = U 2 - U 1       ⟹       Q 12 = W 12 + U 2 - U 1

Q 23 - W 23 = U 3 - U 2       ⟹       Q 23 = W 23 + U 3 - U 2

Q 31 - W 31 = U 1 - U 3

Além disso, o enunciado ainda dá diretamente o valor de algumas variáveis.

Q 31 = 10   k J

U 2 - U 1 = 15   k J

Pra completar, o problema ainda dá pra gente algumas informações indiretas através do gráfico. Essas informações escondidas fundamentais para calcular o trabalho dos processos. Mas ele não vai ser calculado através de fórmulas. Pra achar W , vamos ter que aprender a calcular essa variável graficamente. Isso vai ser feito no próximo passo!

Passo 2

Para calcular W graficamente, nós vamos ter que lembrar que o valor absoluto do trabalho W é igual à área que está embaixo da curva desenhada pelo processo no gráfico P - V . A figura abaixo ilustra isso para um processo qualquer.

Agora vamos usar esse conhecimento para calcular W 12 .

W 12 é igual a área A 12 do trapézio que está embaixo da reta 1-2 que representa o processo 1-2. Isso acontece, porque no processo 1-2 o volume do gás aumenta. Ou seja, o gás realiza trabalho na vizinhança. Em outras palavras o seu valor é positivo!

W 12 = P 1 + P 2 ⋅ V 2 - V 1 2

Todas as variáveis que estão presentes no cálculo da área A 12 são obtidas olhando para o gráfico.

P 1 = 5   k P a

P 2 = 3   k P a

V 1 = 1   m 3

V 2 = 5   m 3

Vamos fazer a mesma coisa com os outros processos!

Dessa vez a gente deve tomar cuidado! W 23 não é igual a área A 23 do trapézio que está embaixo da reta 2-3 que representa o processo 2-3. Isso acontece, porque no processo 2-3 o volume do gás diminui. Ou seja, o gás sofre trabalho da vizinhança. Em outras palavras, o seu valor é negativo!

W 23 = - A 23       ⟹       W 23 = - P 2 + P 3 ⋅ V 2 - V 3 2

As variáveis na fórmula dessa área também podem ser encontradas no gráfico.

P 3 = 1   k P a

V 3 = 1   m 3

A curva do processo 3-1 não tem área embaixo dela! Por causa disso:

W 31 = 0   k J

Para finalizar, temos que lembrar que o gás percorre um ciclo! Isso significa que a energia interna final é igual a energia interna final! Em outras palavras, a soma da variação de energia interna de cada processo deve ser nula!

0 = U 2 - U 1 + U 3 - U 2 + U 1 - U 3       ⟹       U 3 - U 2 = - U 1 - U 3 - U 2 - U 1

Agora só falta substituir todas esses valores na primeira lei e nas fórmulas do trabalho! Vamos fazer isso no passo seguinte!

Passo 3

Vamos começar pelo cálculo do trabalho de cada processo.

W 12 = P 1 + P 2 ⋅ V 2 - V 1 2       ⟹       W 12 = 5 + 3 ⋅ 5 - 1 2       ⟹       W 12 = 16   k J

W 23 = - P 2 + P 3 ⋅ V 2 - V 3 2       ⟹       W 23 = - 3 + 1 ⋅ 5 - 1 2       ⟹       W 23 = - 8   k J

W 31 = 0   k J

Substituindo W 12 na primeira lei, achamos a troca de calor Q 12 .

Q 12 = W 12 + U 2 - U 1       ⟹       Q 12 = 16 + 15       ⟹       Q 12 = 31   k J

Para calcular Q 23 , temos que calcular antes U 3 - U 2 e U 1 - U 3 .

Q 31 - W 31 = U 1 - U 3       ⟹       U 1 - U 3 = 10 - 0       ⟹       U 1 - U 3 = 10   k J

U 3 - U 2 = - 10 - 15       ⟹       U 3 - U 2 = - 2 5   k J

Usando o valor de U 3 - U 2 na primeira lei do processo 2-3, encontramos:

Q 23 = W 23 + U 3 - U 2       ⟹       Q 23 = - 8 - 25       ⟹       Q 23 = - 33   k J

Resposta

W 12 = 16   k J

W 23 = - 8   k J

W 31 = 0   k J

Q 12 = 31   k J

Q 23 = - 33   k J

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