Enunciado

Use os axiomas de probabilidade para mostrar o seguinte:

  1. Para qualquer evento E , P ( E ' ) = 1 - P ( E )
  2. P ( ∅ )   =   0
  3. Se A está contido em B, então P   ( A )   ≤   P   ( B ) .

Passo 1

Aqui a gente vai usar o axioma da probabilidade, que é :

1 .   P ( S )   =   1 ;

2 .   0 ≤ P ( A ) ≤ 1 ;

3 .   P a r a   q u a i s q u e r   d o i s   e v e n t o s   A 1   e   A 2   e m   q u e   A 1 ∩ A 2 = ∅

P ( A 1 ∪ A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) ,

onde S é a amostra do espaço amostral e A é um evento qualquer.

Passo 2

Letra a:

Com esses três axiomas, o seguinte é verdade:

1   =   P ( S )   =   P ( E ∪ E ' ) = P ( E ) + P ( E ' )

o que implica em

P ( E ' ) = 1 - P ( E )

Passo 3

Letra b:

Note que S ∩ ∅   =   ∅ , usando o terceiro axioma, temos:

P ( S )   =   P ( S ⋃ ∅ ) = P ( S ) + P ( ∅ )

o que implica em:

P ( ∅ )   =   0 .

Passo 4

Letra c:

A gente sabe que A ⊆ B . Isso significa que podemos representar o evento B como a união de dois eventos mutuamente exclusivos A e A ' ∩ B . Então a gente pode inferir o seguinte:

P ( B ) = P [ A ⋃ ( A ' ∩ B ) ] = P ( A ) + P ( A ' ∩ B )   ≥   P ( A ) ,

Aqui a gente usou aquele axioma que P ( A ' ∩ B )   ≥   0 e P ( A ) ≥ 0 .

Resposta

  1. P ( E ' ) = 1 - P ( E )
  2. P ( ∅ )   =   0 .
  3. P ( B ) = P [ A ⋃ ( A ' ∩ B ) ] = P ( A ) + P ( A ' ∩ B )   ≥   P ( A )
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