Cálculo de Probabilidades - Permutação, Arranjo & Combinação

Teoria Completa

Permutação

Imagina que compramos 5 livros (A, B, C, D, E) e queremos organizá-los em uma prateleira. Podemos organizar:

ABCDE,ABCED,ABECD,AEBCD,...

Percebe que existem diferentes maneiras de organizá-los? E se eu quiser contabilizar, de quantas maneiras eu posso organizar/ordenar esses livros. Como faremos? Vamos fazer na mão? Pra cinco até rola, mas é um pouco cansativo não acha?

Note que temos cinco “posições” para serem preenchidas:

Pelo princípio multiplicativo teremos:

5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 ! = 120  

Ou seja, temos 120 formas de organizar esses livros.

Para um caso geral, com n livros, podemos falar que:

P n = n !

Isso é permutação :)

Ex: Famoso Anagrama. De quantas formas podemos ordenar as letras da palavra AMOR ?

Nada mais do que um caso de permutação, temos 4 elementos (A,M,O,R).

4 ! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24   f o r m a s   d i f e r e n t e s

Permutação com Repetição

Agora imagina se dois desses cinco livros fossem iguais, ou seja, o mesmo título, tendo agora A,A, B, C e D. Como seria?

AABCD,AABDC,AADBC,ADABC,DAABC,...,ABCDA, ...

Note que se tratarmos como se fossem 5 letras diferentes ( A 1 e   A 2 ) estaremos contando todas as posições duas vezes. Estaríamos falando que:

A 1 A 2 B C D   ≠ A 2 A 1 B C D

Contudo isso não é verdade não é mesmo? Não existe essa diferenciação entre A 1   e   A 2 !

Para resolver esse problema, o de contar duas vezes cada posição, basta dividir por dois. Teremos assim:

5 ! 2 = 60   p o s s i b i l i d a d e s

Tranquilo?

Tá, mas e se fossem TRÊS livros idênticos? É só dividir por três de novo?

NÃO!

Se liga no raciocínio: A gente dividiu por dois ali em cima pois escrever: A 1 A 2 = A 2 A 1 correto? Pois ordenando A 1 e   A 2 , essas são as únicas possibilidades existentes. Mas se olharmos pra A 1 ,     A 2   e   A 3 temos que as possibilidade são:

A 1 A 2 A 3 ,   A 1 A 3 A 2 ,   A 3 A 1 A 2 ,   A 3 A 2 A 1 , A 2 A 1 A 3 ,   A 2 A 3 A 1

Ou seja

3 ! = 6   p o s s i b i l i d a d e s

Então temos que dividir por 3! (ou 6).

Tudo bem?

Pra um caso genérico, com n livros sendo p repetidos vamos ter:

P n , p = n ! p !

Onde vamos dividir o nosso n! pelo fatorial da quantidade de letras repetidas (p!).

Ex.1: De quantas maneiras podemos ordenar as letras de RESPONDE AÍ?

No caso a gente só tem o “e” repetido duas vezes, então seria só dividir por 2!.

10 ! 2 ! = 3628800 2 = 1814400   m a n e i r a s   d i f e r e n t e s

Ex.2: Pra ter certeza, como ficaria o anagrama de MISSISSIPI?

10 ! 4 ! × 4 !

Foi ?

Cálculo de Probabilidades com Permutação

Agora que você já está craque em permutação, vamos ver juntando com probabilidade. Caaalma que você vai entender!

Eu tenho uma cesta com vários livros, alguns novos e outros velhos... Digamos que tenho 2 novos e 3 velhos. Ou seja, tenho num total 5 livros. Vou tirar um a um da minha cesta e só vou parar quando tirar o meu terceiro velho, tentando no máximo cinco vezes. (com reposição)

Note que podemos tirar:

Vamos olhar caso a caso:

1º caso: VVV

Bom, neste caso a probabilidade será dada pela aquela fórmula:

P A = # A # Ω → P ( V ) = 3 5

Assim, a probabilidade de tirar três velhos em três tentativas:

3 5 3

2º caso: NVVV

Já neste caso além das probabilidades de cada evento precisamos olhar para as formas que isso pode acontecer, ou seja, a ordem que pode acontecer.

Para isso faremos:

P n , p = n ! p ! → P 4,3 = 4 ! 3 ! = 4   p o s s i b i l i d a d e s

Certo? Nããão!

Perceba que o enunciado fala que irá parar de retirar quando já tiver retirado pela terceira vez livros velhos. Então o último livro a ser retirado PRECISA ser velho, sendo fixo. O que eu realmente vou ter então é a ordenação das primeiras três retiradas, o NVV. Então teremos:

P 3,2 = 3 ! 2 ! = 3   p o s s i b i l i d a d e s

Calculando agora a probabilidade de cada evento:

P N = 2 5

P V = 3 5

Então para este segundo caso teremos:

3 . 2 5 . 3 5 3

3º caso: NNVVV

Neste último caso o pensamento é análogo ao segundo. Primeiro vamos olhar para as possibilidades disso ocorrer em relação a ordem e depois para as probabilidades dos eventos.

Temos dois livros novos e três velhos então:

P n , p = n ! p ! → P 4,2 , 2 = 4 ! 2 ! 2 ! = 6   p o s s i b i l i d a d e s

Note que nesse caso

A probabilidade dos eventos será:

P N = 2 5

P V = 3 5

Assim teremos

6 . 2 5 2 3 5 3

Para saber a probabilidade total é só somar os casos:

3 5 3 + 3 2 5 3 5 3 + 6 2 5 2 3 5 3

Arranjo e Combinação

Agora que já sabemos o que é permutação, que é ordenar n elementos vamos falar agora de duas outras coisas...

Lembra que queríamos organizar os livros? Pois é.. Agora queremos escolher três deles para colocar na estante. Ou seja, eu quero escolher quais entram E ordenar eles né? Ou seja, fazer um arranjo.

Seria mais ou menos assim então:

Note que seguindo esse raciocínio já estamos considerando as permutações entre esses livros, ou seja, considerando a ordem, pois estamos utilizando o princípio multiplicativo.

Então temos

5   x   4   x   3 = 60  

Formas de escolher três livros para colocar na nossa estante.

Mas como escrever isso para um caso geral? Afinal a permutação escrevemos como n ! ... e como seria um arranjo?

A n k = n ! n - k !

Ou seja, de n elementos escolho k .

E se eu quisesse apenas escolher três livros... Tipo quando vamos em uma livraria e queremos comprar mil livros mas só podemos levar uma quantidade restrita. Imagina que quando fomos comprar esses cinco livros, a princípio tínhamos gostado de dez livros. Por conta de dinheiro só levamos cinco. Percebe que nesse caso pouco importa a ordem? A única coisa que importa são os livros escolhidos, ou seja, a combinação deles.

A ideia é basicamente a mesma do arranjo só que agora queremos desconsiderar essa ordem. Coooomo já vimos que:

ordem = permutação = fatorial

e que para ‘descontar’ algo basta dividir por ele, podemos falar que combinação é:

C n k = n ! k ! × n - k ! = n k

Lembre-se: Em combinação não importa a ordem.

Então no nosso caso, para calcular de quantas maneiras podemos escolher cinco livros de um total de dez, faremos?

C 10 5 = 10 ! 5 ! 10 - 5 ! = 10 ! 5 ! 5 ! = 10.9 . 8.7 . 6 5.4 . 3.2 . 1 = 2.3 . 2.7 . 3 = 252

Tudo bem? Agora vamos praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

IME – Lista de Exercícios I – Professores Aderson Passos, Paulo Henrique Maranhão e Luis Antônio Seabra – Questão 02

Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante um dia. A fim de evitar que os operários saibam quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordenação de suas visitas. De quantas maneiras isso poderá ser feito?

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Passo 1

Falou em variar a ordenação, falou em permutação!

Como vimos na teoria, a permutação não é nada mais do que uma forma de calcular de quantas formas possíveis e distintas eu posso ordenar uma série de coisas. Então vamos lá:

São 6 máquinas para inspecionar → 6 ! = 720   f o r m a s

Resposta

720

Exercício Resolvido #2

Escola Naval – 2000 – Questão 29

Um aspirante ganhou, em uma competição na Escola Naval, quatro livros diferentes de Matemática, três livros diferentes de Física e dois livros diferentes de Português. Querendo manter juntos aqueles da mesma disciplina, concluiu que poderia enfileirá-los numa prateleira de sua estante, de diversos modos. A quantidade de modos com que poderá fazê-lo é:

a)48

b) 72

c)192

d) 864

e) 1728

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Passo 1

Primeira coisa: Vamos anotar os dados do enunciado!

- 4 livros de Matemática (distintos)

- 3 livros de Física (distintos)

- 2 livros de Português (distintos)

Uma observação importante é se atentar ao fato deles serem distintos, apesar de serem a mesma matéria, ou seja, a ordem entre eles importa.

Tá, agora que já notamos que teremos que ordenar entre os próprios livros de matemática, será que falta alguma coisa? SIM! Nós podemos mudar a ordem das matérias, ou seja, colocar matemática na frente da física, ou português na frente de todos.

Já percebeu que iremos dividir esse problema em dois certo?

Passo 2

(i) Ordenação das matérias

Temos três matéria: Matemática (M), Português (P) e Física (F) e para ordená-las, basta fazer a permutação entre elas:

3 ! = 6

Passo 3

(i) Ordenação dos livros das matérias

- Matemática ( 4 livros)

Para ordená-los, basta fazer: 4 ! = 24   possibilidades

- Física (3 livros)

Faremos 3 ! = 6

- Português (2 livros)

Faremos: 2 ! = 2

E agora? O que faremos com esses casos? Somamos ou multiplicamos?

Lembre-se: iremos multiplicar! Para cada ordenação nas disciplinas, teremos essas ordenações dentro delas, portanto, utilizaremos o princípio multiplicativo!

Assim:

6 x 24 x 6 x 2 = 1.728

Resposta

Letra E

Exercício Resolvido #3

Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e Roberto Périgo, Matemática, 2ª ed

De um baralho de 52 cartas extraímos quatro simultaneamente.

a) Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas?

b) Quantos resultados apresentam, entre as cartas sorteadas, o rei de espadas?

c) Quantos resultados apresentam exatamente dois ases?

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Passo 1

Em um baralho de 52 cartas extraímos quatro simultaneamente, ou seja, a ordem não importa! Quando a ordem nãi importa em geral usamos Combinação.

Passo 2

a) Ele quer saber quantas são as POSSIBILIDADES e não as PROBABILIDADES. Olharemos apenas para o evento.

Evento A: Sorteio de 4 cartas de um baralho de um total de 52.

De quantas formas podemos retirar 4 cartas de um baralho de 52? Essa é exatamente a pergunta respondida pela fórmula da combinação! Nesse caso, C 52 4 :

C 52 4 = 52 4 = 52 ! 4 ! 52 - 4 ! = 52 ! 4 ! 48 ! = 52.51.50.49.48 ! 4.3 . 2.1 . 48 ! = 52.51.50.49 4.3 . 2.1 . = 270.725

Passo 3

b) Quantos resultados apresentam, entre as cartas sorteadas, o rei de espadas?

Olhando novamente para o nosso evento:

Evento B: Entre as quatro cartas sorteadas queremos ter o Rei de Espadas.

Neste caso temos que uma das quatro cartas já está definida (Rei de Espadas), enquanto as outras 3 não estão. Temos que sortear essas outras 3, de um total agora de 51 cartas!. Então o resultado será

C 51 3 = 51 3 = 51 ! 3 ! 48 ! = 51.50.49 3.2 . 1 = 20.825

Ou seja, temos 20.825 possíveis resultados, onde ao retiramos 4 cartas do baralho, uma delas seja um Rei de Espadas.

Passo 4

c) Quantos resultados apresentam exatamente dois ases?

Em um baralho temos 4 ases. Nesse caso queremos resultados com exatamente dois ases. Ou seja, a primeira coisa que devemos fazer é escolher dentre os quatro quais dois irão aparecer. Precisamos saber de quantas formas isso pode acontecer, que é exatamente a combinação C 4 2 :

C 4 2 = 4 2 = 4 ! 2 ! 2 ! = 6

Agora que já escolhemos quais as irão compor nossa retirada vamos pensar nas outras cartas.

O nosso baralho não tem agora 52 cartas. Temos que descontar os ases, portanto teremos 48 cartas. Ué, mas por que estamos descontando 4 ases?!

Descontamos os 4 ases pois queremos APENAS dois na nossa retirada, então temos 2 já sendo utilizados e os dois restantes NÃO PODEM SER possibilidades de retirada, senão, poderíamos vir a ter mais de exatamente dois ases, e não é isso que a questão quer!

Teremos assim, uma combinação de 2 cartas, entre 48 cartas totais (que com certeza não são ases, pois descontamos todos eles):

48 2 = 48 ! 2 ! 46 ! = 1.128

Finalmente, multiplicamos os resultados para ter o total (porque estamos primeiro selecionando os ases, e depois de selecionados, a gente selecionou o resto das cartas princípio multiplicativo)

C = 6 × 1.128 = 6.768

Resposta

a )   270.725

b )   20.825

c )   6.768

Exercício Resolvido #4

IME – Lista de Exercícios I – Professores Aderson Passos, Paulo Henrique Maranhão e Luis Antônio Seabra – Questão 19

Um banco possui um cofre que possui uma tranca com combinação. A tranca requer oito diferentes inteiros entre 1 e 90, que devem ser colocados em qualquer ordem. Entretanto, a tranca permite que 10 inteiros diferentes variando entre 1 e 90 sejam utilizados como uma combinação ou seja, a tranca abrirá se 8 dos 10 números da combinação forem colocados. Encontre a probabilidade de que um ladrão abra a porta na primeira tentativa.

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Passo 1

Simbora interpretar o que ele disse?

Tá, ele falou que pra montar a senha desse cofre podemos escolher números de 1 até 90 (90 possibilidades) e que temos que escolher 8 números.

Então de 90 escolhemos 8 certo?

90 8

Essas são todas as possibilidades, ou seja, nosso espaço amostral :)

Passo 2

O enunciado diz também que se digitarmos 10 números e 8 desses forem a chave do cofre, conseguimos acessa-lo. Então de 10 números precisamos acertar apenas 8, ou seja, escolher 8.

10 8

Esse é o nosso evento certo?

Passo 3

Para saber a probabilidade de abrir de primeira o cofre faremos:

P A = # A # Ω = 10 8 90 8

Beleza, agora vamos calcular esse valor lembrando da fórmula para a combinação!

10 8 = 10 ! 8 ! 10 - 8 ! = 10 * 9 * 8 ! 8 ! 2 ! = 10 * 9 2 = 5 * 9 = 45

9 0 8 = 90 ! 8 ! 90 - 8 ! = 90 * 89 * 88 * 87 * 86 * 85 * 84 * 83 * 82 ! 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 82 ! = 77515521435

Por fim, agora é só fazer a probabilidade.

P A = 45 77515521435 = 5,8 * 10 - 10

Ou seja, mesmo com toda essa facilidade de poder escolher dez números, seria bem difícil esse ladrão conseguir abrir a tranca na primeira tentativa rs.

Resposta

P A = 10 8 90 8 = 5,8 * 10 - 10

Exercício Resolvido #5

Lista RUMO AO ITA - FUNIVERSA – 2009-IPHAN-ANALISTA

Em um instituto de pesquisa trabalham, entre outros funcionários, 3 físicos, 6 biólogos e 2 matemáticos. Deseja-se formar uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para realizar uma pesquisa. Se essa equipe for composta escolhendo-se os pesquisadores de forma aleatória, a probabilidade de todos os físicos serem escolhidos é um número cujo valor está compreendido entre:

a)0,00 e 0,01

b)0,01 e 0,02

c)0,02 e 0,03

d)0,03 e 0,04

e) 0,04 e 0,05

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Passo 1

Vamos usar a fórmula

P A = # A # Ω

Onde

# A = número de casos favoráveis

# Ω = número de casos possíveis

Passo 2

Vamos ver primeiro o número de casos possíveis:

Temos uma equipe de 11 estudiosos no total e queremos montar um grupo de quatro pessoas aleatoriamente, sem importar a ordem, certo? Então de 11 escolheremos 4.

# Ω = C 11 4 = 11 4

Esse é o número de casos possíveis..

Passo 3

Agora vamos olhar para o número de casos favoráveis: todos os físicos na equipe.

Temos um total de 3 físicos e 8 de outras disciplinas. Como preciso na minha equipe de 4 pessoas, teremos:

- 3 físicos Escolher 3 físicos entre os 3 físicos →   C 3 3 = 3 3 = 1  

- 1 qualquer outra matéria →   Escolher uma pessoa dentre as 8 restantes   → C 8 1 =   8 1 = 8

Agora basta multiplicar as duas (isso porque primeiro estamos escolhendo os físicos e depois o restante):

# A =   1 × 8 = 8  

Passo 4

A probabilidade será dada por:

P A = # A # Ω = 8 11 4 = 8 330 ≅ 0,024

Resposta

Letra C

Exercício Resolvido #6

UFF-P1B-2013.1.-3

Uma bolsa tem 10 bolas de borracha, 10 bolas de plástico e 10 bolas de vidro. Através de um sorteio aleatório, retira-se 6 bolas da bolsa, sem reposição. Qual a probabilidade de se obter 2 bolas de cada tipo, em qualquer ordem?

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Passo 1

Primeiro vamos calcular a probabilidade de retirarmos 2