Cálculo de Probabilidades - Permutação, Arranjo & Combinação

Teoria Completa

Permutação

Imagina que compramos 5 livros (A, B, C, D, E) e queremos organizá-los em uma prateleira. Podemos organizar:

ABCDE,ABCED,ABECD,AEBCD,...

Percebe que existem diferentes maneiras de organizá-los? E se eu quiser contabilizar, de quantas maneiras eu posso organizar/ordenar esses livros. Como faremos? Vamos fazer na mão? Pra cinco até rola, mas é um pouco cansativo não acha?

Note que temos cinco “posições” para serem preenchidas:

Pelo princípio multiplicativo teremos:

5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 ! = 120  

Ou seja, temos 120 formas de organizar esses livros.

Para um caso geral, com n livros, podemos falar que:

P n = n !

Isso é permutação :)

Ex: Famoso Anagrama. De quantas formas podemos ordenar as letras da palavra AMOR ?

Nada mais do que um caso de permutação, temos 4 elementos (A,M,O,R).

4 ! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24   f o r m a s   d i f e r e n t e s

Permutação com Repetição

Agora imagina se dois desses cinco livros fossem iguais, ou seja, o mesmo título, tendo agora A,A, B, C e D. Como seria?

AABCD,AABDC,AADBC,ADABC,DAABC,...,ABCDA, ...

Note que se tratarmos como se fossem 5 letras diferentes ( A 1 e   A 2 ) estaremos contando todas as posições duas vezes. Estaríamos falando que:

A 1 A 2 B C D   A 2 A 1 B C D

Contudo isso não é verdade não é mesmo? Não existe essa diferenciação entre A 1   e   A 2 !

Para resolver esse problema, o de contar duas vezes cada posição, basta dividir por dois. Teremos assim:

5 ! 2 = 60   p o s s i b i l i d a d e s

Tranquilo?

Tá, mas e se fossem TRÊS livros idênticos? É só dividir por três de novo?

NÃO!

Se liga no raciocínio: A gente dividiu por dois ali em cima pois escrever: A 1 A 2 = A 2 A 1 correto? Pois ordenando A 1 e   A 2 , essas são as únicas possibilidades existentes. Mas se olharmos pra A 1 ,     A 2   e   A 3 temos que as possibilidade são:

A 1 A 2 A 3 ,   A 1 A 3 A 2 ,   A 3 A 1 A 2 ,   A 3 A 2 A 1 , A 2 A 1 A 3 ,   A 2 A 3 A 1

Ou seja

3 ! = 6   p o s s i b i l i d a d e s

Então temos que dividir por 3! (ou 6).

Tudo bem?

Pra um caso genérico, com n livros sendo p repetidos vamos ter:

P n , p = n ! p !

Onde vamos dividir o nosso n! pelo fatorial da quantidade de letras repetidas (p!).

Ex.1: De quantas maneiras podemos ordenar as letras de RESPONDE AÍ?

No caso a gente só tem o “e” repetido duas vezes, então seria só dividir por 2!.

10 ! 2 ! = 3628800 2 = 1814400   m a n e i r a s   d i f e r e n t e s

Ex.2: Pra ter certeza, como ficaria o anagrama de MISSISSIPI?

10 ! 4 ! × 4 !

Foi ?

Cálculo de Probabilidades com Permutação

Agora que você já está craque em permutação, vamos ver juntando com probabilidade. Caaalma que você vai entender!

Eu tenho uma cesta com vários livros, alguns novos e outros velhos... Digamos que tenho 2 novos e 3 velhos. Ou seja, tenho num total 5 livros. Vou tirar um a um da minha cesta e só vou parar quando tirar o meu terceiro velho, tentando no máximo cinco vezes. (com reposição)

Note que podemos tirar:

Vamos olhar caso a caso:

1º caso: VVV

Bom, neste caso a probabilidade será dada pela aquela fórmula:

P A = # A # Ω P ( V ) = 3 5

Assim, a probabilidade de tirar três velhos em três tentativas:

3 5 3

2º caso: NVVV

Já neste caso além das probabilidades de cada evento precisamos olhar para as formas que isso pode acontecer, ou seja, a ordem que pode acontecer.

Para isso faremos:

P n , p = n ! p ! P 4,3 = 4 ! 3 ! = 4   p o s s i b i l i d a d e s

Certo? Nããão!

Perceba que o enunciado fala que irá parar de retirar quando já tiver retirado pela terceira vez livros velhos. Então o último livro a ser retirado PRECISA ser velho, sendo fixo. O que eu realmente vou ter então é a ordenação das primeiras três retiradas, o NVV. Então teremos:

P 3,2 = 3 ! 2 ! = 3   p o s s i b i l i d a d e s

Calculando agora a probabilidade de cada evento:

P N = 2 5

P V = 3 5

Então para este segundo caso teremos:

3 . 2 5 . 3 5 3

3º caso: NNVVV

Neste último caso o pensamento é análogo ao segundo. Primeiro vamos olhar para as possibilidades disso ocorrer em relação a ordem e depois para as probabilidades dos eventos.

Temos dois livros novos e três velhos então:

P n , p = n ! p ! P 4,2 , 2 = 4 ! 2 ! 2 ! = 6   p o s s i b i l i d a d e s

Note que nesse caso

A probabilidade dos eventos será:

P N = 2 5

P V = 3 5

Assim teremos

6 . 2 5 2 3 5 3

Para saber a probabilidade total é só somar os casos:

3 5 3 + 3 2 5 3 5 3 + 6 2 5 2 3 5 3

Arranjo e Combinação

Agora que já sabemos o que é permutação, que é ordenar n elementos vamos falar agora de duas outras coisas...

Lembra que queríamos organizar os livros? Pois é.. Agora queremos escolher três deles para colocar na estante. Ou seja, eu quero escolher quais entram E ordenar eles né? Ou seja, fazer um arranjo.

Seria mais ou menos assim então:

Note que seguindo esse raciocínio já estamos considerando as permutações entre esses livros, ou seja, considerando a ordem, pois estamos utilizando o princípio multiplicativo.

Então temos

5   x   4   x   3 = 60  

Formas de escolher três livros para colocar na nossa estante.

Mas como escrever isso para um caso geral? Afinal a permutação escrevemos como n ! ... e como seria um arranjo?

A n k = n ! n - k !

Ou seja, de n elementos escolho k .

E se eu quisesse apenas escolher três livros... Tipo quando vamos em uma livraria e queremos comprar mil livros mas só podemos levar uma quantidade restrita. Imagina que quando fomos comprar esses cinco livros, a princípio tínhamos gostado de dez livros. Por conta de dinheiro só levamos cinco. Percebe que nesse caso pouco importa a ordem? A única coisa que importa são os livros escolhidos, ou seja, a combinação deles.

A ideia é basicamente a mesma do arranjo só que agora queremos desconsiderar essa ordem. Coooomo já vimos que:

ordem = permutação = fatorial

e que para ‘descontar’ algo basta dividir por ele, podemos falar que combinação é:

C n k = n ! k ! × n - k ! = n k

Lembre-se: Em combinação não importa a ordem.

Então no nosso caso, para calcular de quantas maneiras podemos escolher cinco livros de um total de dez, faremos?

C 10 5 = 10 ! 5 ! 10 - 5 ! = 10 ! 5 ! 5 ! = 10.9 . 8.7 . 6 5.4 . 3.2 . 1 = 2.3 . 2.7 . 3 = 252

Tudo bem? Agora vamos praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

IME – Lista de Exercícios I – Professores Aderson Passos, Paulo Henrique Maranhão e Luis Antônio Seabra – Questão 02

Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante um dia. A fim de evitar que os operários saibam quando ele os irá inspecionar, o inspetor varia a ordenação de suas visitas. De quantas maneiras isso poderá ser feito?

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Passo 1

Falou em variar a ordenação, falou em permutação!

Como vimos na teoria, a permutação não é nada mais do que uma forma de calcular de quantas formas possíveis e distintas eu posso ordenar uma série de coisas. Então vamos lá:

São 6 máquinas para inspecionar 6 ! = 720   f o r m a s

Resposta

720

Exercício Resolvido #2

Escola Naval – 2000 – Questão 29

Um aspirante ganhou, em uma competição na Escola Naval, quatro livros diferentes de Matemática, três livros diferentes de Física e dois livros diferentes de Português. Querendo manter juntos aqueles da mesma disciplina, concluiu que poderia enfileirá-los numa prateleira de sua estante, de diversos modos. A quantidade de modos com que poderá fazê-lo é:

a)48

b) 72

c)192

d) 864

e) 1728

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Passo 1

Primeira coisa: Vamos anotar os dados do enunciado!

- 4 livros de Matemática (distintos)

- 3 livros de Física (distintos)

- 2 livros de Português (distintos)

Uma observação importante é se atentar ao fato deles serem distintos, apesar de serem a mesma matéria, ou seja, a ordem entre eles importa.

Tá, agora que já notamos que teremos que ordenar entre os próprios livros de matemática, será que falta alguma coisa? SIM! Nós podemos mudar a ordem das matérias, ou seja, colocar matemática na frente da física, ou português na frente de todos.

Já percebeu que iremos dividir esse problema em dois certo?

Passo 2

(i) Ordenação das matérias

Temos três matéria: Matemática (M), Português (P) e Física (F) e para ordená-las, basta fazer a permutação entre elas:

3 ! = 6

Passo 3

(i) Ordenação dos livros das matérias

- Matemática ( 4 livros)

Para ordená-los, basta fazer: 4 ! = 24   possibilidades

- Física (3 livros)

Faremos 3 ! = 6

- Português (2 livros)

Faremos: 2 ! = 2

E agora? O que faremos com esses casos? Somamos ou multiplicamos?

Lembre-se: iremos multiplicar! Para cada ordenação nas disciplinas, teremos essas ordenações dentro delas, portanto, utilizaremos o princípio multiplicativo!

Assim:

6 x 24 x 6 x 2 = 1.728

Resposta

Letra E

Exercício Resolvido #3

Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e Roberto Périgo, Matemática, 2ª ed

De um baralho de 52 cartas extraímos quatro simultaneamente.

a) Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas?

b) Quantos resultados apresentam, entre as cartas sorteadas, o rei de espadas?

c) Quantos resultados apresentam exatamente dois ases?

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Passo 1

Em um baralho de 52 cartas extraímos quatro simultaneamente ou seja, a ordem importa ou não importa? Não importa!

Então podemos usar Combinação.

Passo 2

a)

Ele quer saber quantas são as POSSIBILIDADES e não as PROBABILIDADES. Olharemos apenas para o evento.

Evento A: Sorteio de 4 cartas de um baralho de um total de 52.

Temos que

A = 52 4 = 52 ! 4 ! 52 - 4 ! = 52 ! 4 ! 48 ! = 52.51.50.49.48 ! 4.3 . 2.1 . 48 ! = 52.51.50.49 4.3 . 2.1 . = 270.725

Passo 3

b) Quantos resultados apresentam, entre as cartas sorteadas, o rei de espadas?

Olhando novamente para o nosso evento:

B: Entre as quatro cartas sorteadas queremos ter o Rei de Espadas.

Neste caso temos que uma das quatro cartas já está definida (Rei de Espadas), enquanto as outras não estão. Temos que sortear essas outras.

B = 51 3 = 51 ! 3 ! 48 ! = 51.50.49 3.2 . 1 = 20.825

Ou seja, temos 20.825 possíveis resultados, onde ao retiramos 4 cartas do baralho, uma delas seja um Rei de Espadas.

Passo 4

c) Quantos resultados apresentam exatamente dois ases?

Em um baralho temos 4 “as”. Nesse caso queremos resultados com exatamente dois, ou seja, a primeira coisa que devemos fazer é escolher dentre os quatro quais dois irão aparecer. Precisamos fazer então uma combinação de 2 “as”, entre 4 “as” totais. Assim:

4 2 = 4 ! 2 ! 2 ! = 6

Agora que já escolhemos quais as irão compor nossa retirada vamos pensar nas outras cartas.

O nosso baralho não tem agora 52 cartas. Temos que descontar os “as”, portanto teremos 48 cartas. Ué, mas por que estamos descontando 4 “as”?!

Descontamos os 4 “as” pois queremos APENAS dois na nossa retirada, então temos 2 já sendo utilizados e os dois restantes NÃO PODEM SER possibilidades de retirada, senão, poderíamos vir a ter mais de exatamente dois “as”, e não é isso que a questão quer!

Teremos assim, uma combinação de 2 cartas, entre 48 cartas totais (que com certeza não são “as”, pois descontamos todos eles):

48 2 = 48 ! 2 ! 46 ! = 1.128

Finalmente, multiplicamos os resultados para ter o total:

C = 6 × 1.128 = 6.768

Resposta

a )   270.725

b )   20.825

c )   6.768

Exercício Resolvido #4

IME – Lista de Exercícios I – Professores Aderson Passos, Paulo Henrique Maranhão e Luis Antônio Seabra – Questão 19

Um banco possui um cofre que possui uma tranca com combinação. A tranca requer oito diferentes inteiros entre 1 e 90, que devem ser colocados em qualquer ordem. Entretanto, a tranca permite que 10 inteiros diferentes variando entre 1 e 90 sejam utilizados como uma combinação ou seja, a tranca abrirá se 8 dos 10 números da combinação forem colocados. Encontre a probabilidade de que um ladrão abra a porta na primeira tentativa.

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Passo 1

Simbora interpretar o que ele disse?

Tá, ele falou que pra montar a senha desse cofre podemos escolher números de 1 até 90 (90 possibilidades) e que temos que escolher 8 números.

Então de 90 escolhemos 8 certo?

90 8

Essas são todas as possibilidades, ou seja, nosso espaço amostral :)

Passo 2

O enunciado diz também que se digitarmos 10 números e 8 desses forem a chave do cofre, conseguimos acessa-lo. Então de 10 números precisamos acertar apenas 8, ou seja, escolher 8.

10 8

Esse é o nosso evento certo?

Passo 3

Para saber a probabilidade de abrir de primeira o cofre faremos:

P A = # A # Ω = 10 8 90 8

Resposta

10 8 90 8

Exercício Resolvido #5

Lista RUMO AO ITA - FUNIVERSA – 2009-IPHAN-ANALISTA

Em um instituto de pesquisa trabalham, entre outros funcionários, 3 físicos, 6 biólogos e 2 matemáticos. Deseja-se formar uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para realizar uma pesquisa. Se essa equipe for composta escolhendo-se os pesquisadores de forma aleatória, a probabilidade de todos os físicos serem escolhidos é um número cujo valor está compreendido entre:

a)0,00 e 0,01

b)0,01 e 0,02

c)0,02 e 0,03

d)0,03 e 0,04

e) 0,04 e 0,05

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Passo 1

Temos uma equipe de 11 estudiosos no total e queremos montar um grupo de quatro pessoas aleatoriamente certo? Então de 11 escolheremos 4.

11 4

Esse é o nosso espaço amostral.

Passo 2

Agora vamos olhar para o evento que ele quer: Quero todos os físicos na equipe.

Temos um total de 3 físicos e 8 de outras disciplinas. Como preciso na minha equipe de 4 pessoas, teremos:

- 3 físicos Escolher 3 físicos entre os 3 físicos   3 3 = 1  

- 1 qualquer outra matéria   Escolher uma pessoa dentre as 8 restantes     8 1 = 8

Então meu evento será dado por:

1.8 = 8  

Passo 3

A probabilidade será dada por:

P A = # A # Ω = 8 11 4 = 8 330 0,024

Resposta

Letra C

Exercício Resolvido #6

UFF-P1B-2013.1.-3

Uma bolsa tem 10 bolas de borracha, 10 bolas de plástico e 10 bolas de vidro. Através de um sorteio aleatório, retira-se 6 bolas da bolsa, sem reposição. Qual a probabilidade de se obter 2 bolas de cada tipo, em qualquer ordem?

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Passo 1

Primeiro vamos calcular a probabilidade de retirarmos 2 bolas de cada tipo, pra isso basta considerar que como não temos reposição, o número de bolas dentro da bolsa vai diminuindo. O denominador vai diminuindo.

P 2   d e   c a d a = 10 30 × 9 29 × 10 28 × 9 27 × 10 26 × 9 25

0,002

Passo 2

Agora vamos pensar na questão de poder ser em qualquer ordem, a ordem que eu calculei antes foi por exemplo:

B B P P V V

2 de borracha, depois 2 de plástico e no final 2 de vidro.

Mas, poderíamos ter por exemplo:

B B V V P P   ,   B V P B V P ,  

Muitas possibilidades...

Bom, se a gente pensar nesse " B B P P V V " como sendo um anagrama.. podemos saber de quantas maneiras podemos bagunçar essas letras, lembrando de levar em consideração que temos letras repetidas que não devem contar como sendo duas situações diferentes.

Considerando como anagrama, teríamos:

6 ! 2 ! × 2 ! × 2 ! = 90

Passo 3

Pra saber a probabilidade total então, é só a gente multiplicar a probabilidade que a gente calculou no início pra uma situação pelo 90 , que simboliza a quantidade de situações possíveis.

P 2   d e   c a d a = 0,002 × 90

= 0,18

Resposta

0,18

Exercício Resolvido #7

UERJ-L1-PROF FABIANO-11

Urna contem 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de:

  1. Nenhuma bola ser vermelha;
  2. Todas sejam da mesma cor.
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Passo 1

Vamos usar o conceito básico de probabilidade.

P A = n° de resultados favoráveis n° de resultados possíveis = # A # ( Ω )

Passo 2

Primeiro vamos pensar na quantidade de resultados possíveis na retirada de três bolas simultâneas.

Ω = { B V A ,   B V V ,   B A V , }

Como a gente tem 12 bolas...

A gente vai ter 12 × 11 × 10 = 1320 possibilidades para as 3 bolas.

Opa, pera aí! As bolas não estão sendo retiradas simultaneamente? Isso quer dizer que a ordem não importa né? Ou melhor, nem tem ordem porque todas as três são retiradas ao mesmo tempo haha. Isso nos dá uma combinação de 3 em 12:

12 ! 3 ! 12 - 3 ! = 220

Passo 3

Pra que não saia nenhuma vermelha, a gente não conta as vermelhas. Ficariam então 8 bolas. Logo, uma combinação de 3 em 8!

8 ! 3 ! 8 - 3 ! = 56

A probabilidade que a gente quer seria então de:

56 220 = 0,2545

Passo 4

(b)

Pra que todas sejam da mesma cor, a gente tem 3 situações:

S 1 : 3 bolas azuis. Combinação de 3 em 3:

3 ! 3 ! 3 - 3 ! = 1

S 2 : 3 bolas vermelhas. Combinação de 3 em 4:

4 ! 3 ! 4 - 3 ! = 4

S 3 :   3 bolas brancas. Combinação de 3 em 5:

5 ! 3 ! 5 - 3 ! = 10

Passo 5

A probabilidade total das bolas serem da mesma cor é o somatório das três situações calculadas.

1 220 + 4 220 + 10 220 = 15 220

0,0682

Resposta

a   0,2545

b   0,0682

Exercício Resolvido #8

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,110-11

Dentre seis números positivos e oito negativos, dois números são escolhidos ao acaso (sem reposição) e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo?

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Passo 1

Vamos lá... Primeira coisa: O que queremos?

Queremos selecionar dois números ao acaso e ter como produto desses números um número positivo.

Sabemos desde pequenos que:

+   +   =   +  

+   -   =   -  

-   -   =   +  

Então queremos o primeiro e o terceiro caso certo?

Passo 2

Primeiro caso: ambos os números selecionados são positivos

Concordam que olhando para a multiplicação a ordem não altera? Afinal, a ordem dos fatores não altera o resultado né? Então usaremos combinação!

Evento A: Escolha de dois números positivos ENTRE os números positivos

# A =   6 2 = 6 ! 2 ! 4 ! = 15

Espaço Amostral: Dado todos os 14 números, escolher dois

# Ω = 14 2 = 14 ! 2 ! 12 ! = 7.13 = 91

Sabemos que

P A = # A # Ω = 15 91 = 0,1648

Passo 3

Segundo caso: ambos os números são negativos

Usaremos novamente combinação ;)

Evento B: Escolha de dois números negativos ENTRE os números negativos

# A =   8 2 = 8 ! 2 ! 6 ! = 28

Espaço Amostral: Dado todos os 14 números, escolher dois

# Ω = 14 2 = 14 ! 2 ! 12 ! = 7.13 = 91

Sabemos que

P A = # A # Ω = 28 91 = 0,308

Para calcular a probabilidade de obter um resultado positivo, basta somar os casos:

0,1648 + 0,308 = 0,4724

Resposta

0,47

Exercício Resolvido #9

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,123-33

Um grupo de 12 homens e 8 mulheres concorre a três prêmios através de um sorteio sem reposição de seus nomes. Qual a probabilidade de:

a) nenhum homem ser sorteado?

b) um prêmio ser ganho por homem?

c) dois homens serem premiados?

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Passo 1

Como estamos falando de um sorteio a ordem não importa, o que importa é ser sorteado, portanto usaremos Combinação

A) Evento A: Nenhum homem ser sorteado   Serem sorteadas 3 mulheres

# A = 8 3 = 8 ! 3 ! 5 ! = 8.7 . 6 3.2 . 1 = 56

Espaço amostral: Escolher três pessoas aleatoriamente

# Ω = 20 3 = 20 ! 3 ! 17 ! = 1   140

Assim:

P A = # A # Ω = 56 1140 0,049

Passo 2

b) Evento B: Um prêmio ser ganho por um homem   Duas mulheres ganham os outros:

1º) Escolha do homem (H)

# H = 12 1 = 12

2º) Escolha das duas mulheres (M)

# M = 8 2 = 8 ! 2 ! 6 ! = 28

Espaço amostral: Escolher três pessoas aleatoriamente

# Ω = 20 3 = 20 ! 3 ! 17 ! = 1   140

Portanto

P B = 12 1 . 8 2 20 3 = 28.12 1   140 0,295

Passo 3

c) Evento C: dois homens serem premiados   uma mulher ser premiada.

1º) Escolha do homem

# H = 12 2 = 12 ! 2 ! 10 ! = 66

2º) Escolha da mulher

# M = 8 1 = 8

Espaço amostral: Escolher três pessoas aleatoriamente

# Ω = 20 3 = 20 ! 3 ! 17 ! = 1   140

Portanto

P C = 12 2 . 8 1 20 3 = 66.8 1140 0,463

Resposta

a )   0,049

b )   0,295

c )   0,463

Exercício Resolvido #10

IME – Lista de Exercícios I – Professores Aderson Passos, Paulo Henrique Maranhão e Luis Antônio Seabra – Questão 05

Um jogador A lança seis dados e ganha caso consiga pelo menos um resultado igual a um. Um outro jogador B lança doze dados e ganha caso consiga pelo menos dois resultados iguais a um. Quem tem a maior probabiliade de ganhar?

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Passo 1

Vamos olhar cada jogador separadamente ok?

Olha o jogador A:

Nº de dados: 6

Vitória: Pelo menos um resultado igual a 1

Isso significa que ele perde se não tiver nenhum resultado igual a 1 correto?

Então:

Então para cada dado temos que uma probabilidade de:

5 6

Para os seis dados teremos:

5 6 6

A probabilidade de vitória será:

1 - 5 6 6 = 0,6 651

Passo 2

Agora vamos olhar o jogador B:

Nº de dados: 12

Vitória: Pelo menos dois resultados iguais a 1.

Ou seja, ele perde se nenhum resultado for igual a 1 ou se apenas um resultado for igual a 1.

Seguindo a mesma linha de raciocínio do jogador A, teremos:

Passo 3

1ª caso: Nenhum resultado igual a 1.

5 6 12

Passo 4

2º caso: Apenas um resultado igual a 1.

Então teremos:

12 .   1 6 . 5 6 11

Passo 5

Como dividimos em casos precisamos SOMAR as respostas:

Probabilidade de B NÃO ganhar:

12 .   1 6 . 5 6 11 + 5 6 12

Então a probabilidade dele ganhar é:

1 - ( 12 .   1 6 . 5 6 11 + 5 6 12 ) = 0 , 6187

Passo 6

Comparando as probabilidades, quem tem a maior chance de ganhar é A.

Resposta

Jogador A

Exercício Resolvido #11

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 122- 29 (Adaptada).

Duas lâmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lâmpadas boas. Se vamos testando as lâmpadas, uma por uma (sem reposição), até encontrar duas defeituosas, qual é a probabilidade de que a segunda defeituosa seja encontrada no quarto teste?

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Passo 1

Vamos lá!

Temos um total de 8 lâmpadas: 6 boas (L) e 2 queimadas ( L - )

Essas lâmpadas foram misturadas e devemos testar uma a uma até encontrar as duas defeituosas, ou seja, podemos ter esses casos aqui ô:

1º caso: L - L -   ou seja, de cara testamos as duas queimadas.

2º caso: L - L L -   testamos a primeira, está queimada, contudo a segundo está boa e a terceira está queimada.

E assim por diante certo?

Maas o enunciado pede a probabilidade de ocorrer um caso em particular, veja só:

Duas lâmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lâmpadas boas. Se vamos testando as lâmpadas, uma por uma, até encontrar duas defeituosas, qual é a probabilidade de que a segunda defeituosa seja encontrada no quarto teste?

Então ele quer o caso em que a segunda defeituosa seja encontrada no QUARTO teste, ou seja, pode ser:

L - L L L - , L L - L L - , L L L - L -

Passo 2

Então ele quer o caso em que a segunda defeituosa seja encontrada no QUARTO teste, ou seja, pode ser:

L - L L L - , L L - L L - , L L L - L -

Note que neste caso, os primeiros três testes não estão determinados, contudo o último (o quarto) necessariamente precisa ser uma lâmpada queimada. Podemos dizer então que ela está fixa na quarta posição certo?

Percebemos então que se olharmos apenas para as três primeiras retiradas podemos fazer uma permutação entre essas lâmpadas:

Então sabemos que seja lá qual for a probabilidade, precisaremos multiplicar por três, pois temos três possibilidades desse resultado acontecer.

Passo 3

Agora vamos calcular a probabilidade:

- Probabilidade da primeira lâmpada ser boa:

6 8

- Probabilidade da primeira lâmpada ser queimada:

2 8

- Probabilidade da segunda lâmpada ser boa, dado que a primeira foi boa:

5 7

Probabilidade da segunda lâmpada ser boa, dado que a primeira foi queimada:

6 7

Probabilidade da segunda lâmpada ser queimada, dado que a primeira foi boa:

2 7

E por ae vai, então percebemos que terá sempre essa cara:

Probabilidade de termos: 2 lâmpadas boas e 2 queimadas:

6.5 . 2.1 8.7 . 6.5 = 1 28

Probabilidade de na quarta retirada termos a última queimada:

3 .   1 28

Resposta

3 28

Exercício Resolvido #12

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,123-38

Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz têm duração inferior a 20 horas. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se, em dez válvulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inferior a 20 hora; caso contrário, o lote todo é rejeitado.

a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado?

b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto é, na verdade a proporção de válvulas com duração inferior a 20 horas é de 10%. Qual a probabilidade de um lote ser aceito, segundo o critério acima?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vaaaamos lá?

O fabricante diz que apenas 5% das válvulas tem duração inferior a 20 horas OU SEJA: A probabilidade de uma válvula durar menos de 20horas é 5% (=0,05). Pensando no complementar podemos afirmar que a probabilidade de uma válvula durar mais de 20 horas é 95% (=0,95). Certo?

Ele diz que para uma indústria aceitar o lote devemos ter no máximo uma válvula com duração inferior a 20 horas, isto significa que:

- Podemos não ter nenhuma

- Podemos ter uma

Concorda que a probailidade de um lote ser rejeitado é a probabilidade complementar dele ser aceito, ou seja

P r e j e i t a d o = 1 - P ( a c e i t o )

Então vamos calcular a probabilidade dele ser aceito...

Passo 2

1º) Evento A: Não temos nenhuma válvula com duração inferior a 20 horas.

P A = 0,95 10

Passo 3

2º) Evento B: Apenas uma válvula com duração inferior a 20 horas.

Bom, como temos um total de 10 válvulas e apenas uma possui a duração abaixo do padrão, precisamos decidir qual delas será a válvula defeituosa:

10 1 = 10

E calculamos a probabilidade disso ocorrer:

10 . 0,05 1   . 0,95 9

Passo 4

Assim podemos falar que:

P a c e i t o = 0,95 10 + 10 . 0,05 . 0,95 9 = 0,913

Então a probabilidade do loter ser rejeitado:

P r e j e i t a d o = 1 - P a c e i t o = 1 - 0,913 = 0,086

Passo 5

b) Agora mudamos as probabilidades

- Válvula com duração inferior a 20 horas: 10%

- Válvula com duração superior a 20 horas: 90%

A probabilidade de ser aceito será a mesma expressão trocando apenas os valores:

P a c e i t o = 0,90 10 + 10 . 0,1 . 0,9 9 = 0,736

Resposta

a) 0,086

b) 0,736

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