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Seis tecidos são extraídos de uma hera infestada por aranhas. A planta está infestada em 20 % de sua área. Algumas amostras são escolhidas de áreas selecionadas aleatoriamente das heras. Considere que as amostras sejam independentes.

  1. Qual é a probabilidade de quatro amostras sucessivas mostrarem sinais de infestação?
  2. Qual é a probabilidade de três de quatro amostras sucessivas mostrarem sinais de infestação?

Passo 1

Vamos denotar os eventos:

A i = { i t h a m o s t r a s   e s t á   i n f e s t a d a }

i = 1,2 , 3,4 , 5,6 . Como a planta está infestada em 20% de sua área, a probabilidade

do evento A é:

P ( A ) = 0.2

De P ( A ' ) = 1 - P ( A ) temos que:

P ( A ' i ) = 1 - 0.2 = 0.8

para i = 1,2 , 3,4 , 5,6

Passo 2

Na letra a:

Vamos denotar o seguinte evento:

B = { q u a t r o   a m o s t r a s   s u c e s s i v a s   m o s t r a m   s i n a i s   d e   i n f e s t a ç ã o }

Quantos deles existem? Uma vez que precisamos de 4 amostras para serem sucessivas,

podemos olhar para os quatro como um, digamos A . Portanto, quando houver quatro amostras sucessivas que mostram os sinais de infestação, os eventos são:

A ∩ A 5 ' ∩ A 6 ' ,   A 1 ' ∩ A ∩ A 6 ' ,   A 1 ' ∩ A 2 ' ∩ A .

Há um total de três eventos com quatro amostras sucessivas que mostram os sinais de infestação. Poderíamos ter calculado isso usando combinações,

C 3 1 = 3

Nosso evento B é a união desses três eventos disjuntos. A probabilidade da união de eventos separados é a soma das probabilidades desses eventos, portanto, precisamos

calcular a probabilidade de cada um desses três eventos. As probabilidades serão o mesmo. Por exemplo,

P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5 ' ∩ A 6 ' ) = P ( A 1 ) . P ( A 2 ) . . . P ( A ' 6 ) = 0.2 × 0.2 × 0.8 = 0 . 2 4 × 0 . 8 2 = 0.001024

Bom, assumindo que os eventos são independentes, usando a proposição dada abaixo, o evento na interseção é independente. Por serem independentes, podemos usar a propriedade da multiplicação fornecida abaixo.

Proposição: Se A e B são independentes, então:

A '   e B são independentes:

A ' e B '   são independentes;

A e B ' são independentes;

o que também vale para n   eventos (cada combinação de eventos A i e seus complementos são eventos independentes).

Passo 3

A propriedade da multiplicação: Para eventos A 1 ,   A 2 , . . . ,   A n n ∈ N , nós dizemos que eles são mutuamente independentes se:

P ( A i 1 ∩ A i 2 . . . A i k ) = P ( A i 1 ) P ( A i 2 ) . . . P ( A i k )

para todo k ∈ { 2,3 , . . . , n } , e todo subconjunto de índices i 1 , i 2 , . . . ,   i k .

Da mesma maneira que calculamos essa probabilidade, podemos calcular para os outros dois eventos. Ainda haverá quatro eventos A i e dois dos eventos A i ' na interseção, que têm a mesma probabilidade para cada i . Portanto,

P ( B ) = 0.001025 + 0.001024 + 0.001024 = 0.003072

Passo 4

Na letra b:

Da mesma forma que fizemos em a, precisamos contar quantos eventos para os quais três das quatro amostras sucessivas mostram os sinais de infestação. O evento C - três das quatro amostras sucessivas mostram que os sinais de infestação serão uniões disjuntas de eventos como:

A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ' ∩ A 5 ' ∩ A 6 ' ,   A 1 ' ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5 ' ∩ A 6 '

A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ' ∩ A 4 ∩ A 5 ' ∩ A 6 ' , . . .

Observe que, no terceiro evento, existem três em cada quatro amostras sucessivas que mostram os sinais de infestação (1-2-4). Agora temos que determinar quantos desses eventos estão lá.

Passo 5

Suponha que podemos selecionar o primeiro elemento de um par ordenado de n 1 maneiras, e que para cada elemento selecionado podemos selecionar o segundo elemento de n 2 maneiras, então temos o número de pares são n 1 n 2 .

Determinamos n 1 da mesma maneira que fizemos em (a) quando olhamos para amostras como uma, portanto, n 1 = 3 é o número de maneiras pelas quais podemos selecionar quatro amostras sucessivas.

Agora, para determinar n 2 , precisamos do número de maneiras para escolher três das quatro amostras sucessivas para mostrar os sinais de infestação. Para determinar isso, usamos combinações.

Para n = 4 amostras, queremos que k = 3 para mostrar os sinais de infestação e podemos fazer isso nessa quantidade de maneiras:

C 3,4 = 4 ! 3 ! ( 4 - 3 ) ! = 4

Então, temos:

n 1 . n 2 = 3.4 = 12

eventos disjuntos diferentes na união que representa nosso evento C . Mas é isso mesmo?

Para tornar isso um pouco mais compreensível, na primeira etapa, podemos ter um dos seguintes:

A ∩ A 5 ' ∩ A 6 ' ,   A 1 ' ∩ A ∩ A 6 ' ,   A 1 ' ∩ A 2 ' ∩ A

Passo 6

Vamos supor que pegamos A 1 ' ∩ A ∩ A 6 ' para este, a fim de ter três das quatro amostras sucessivas que mostram os sinais de infestação, precisamos escolher um desses:

A 1 ' ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5 ' ∩ A 6 ' ;

A 1 ' ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ' ∩ A 5 ∩ A 6 ' ;

A 1 ' ∩ A 2 ∩ A 3 ' ∩ A 4 ∩ A 5 ∩ A 6 ' ;

A 1 ' ∩ A 2 ' ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5 ∩ A 6 ' ;

Para cada um dos três, temos quatro, o que totaliza 12 diferentes.

Mas, o primeiro e o quarto eventos mencionados já foram contados em A ∩ A 5 ' ∩ A 6 e A 1 ' ∩ A 2 ' ∩ A 1 , então na verdade contamos duas vezes! Portanto, existem 10 eventos diferentes (12-2 duplos)!

Por exemplo, vamos calcular a probabilidade de E = A 1 ' ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5 ' ∩ A 6 '

P ( E ) = P ( A 1 ' ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) P ( A 4 ) P ( A 5 ' ) P ( A 6 ' ) = 0 . 2 3 × 0 . 8 3 = 0.004096

E finalmente, a probabilidade do nosso evento C é:

P ( C ) = 0.004096 + . . . + 0.004096 = 0.04096

Resposta

  1. 0.003072
  2. 0.04096

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