Dimensionamento da Amostra com Desvio Padrão

Teoria Completa

Qual deve ser o tamanho mínimo de uma amostra?

Esse é um questionamento muito comum sempre que alguém vai coletar dados pra fazer uma estimativa. Teoricamente, quanto maior a amostra, melhor a estimativa, mas também maior é o custo da pesquisa.

Pra solucionar esse dilema, a gente pode estabelecer um tamanho mínimo pra amostra de acordo com o nível de precisão que a gente quer.

Pra fazer isso, vamos primeiro definir duas variáveis:

  • d → distância máxima tolerável entre a estimativa e o valor correto do parâmetro.
  • α → probabilidade de que essa distância seja maior do que d .

Isso quer dizer que:

P x ¯ - μ > d = α

Concorda? Beleza.

A gente vai ter 3 diferentes jeitos de realizar essa conta dependendo dos dados que a gente tem. A gente pode dimensionar amostras:

  • Pra estimar o valor da média populacional μ , sabendo o valor do desvio padrão populacional, σ .
  • Não conhecendo o valor de σ .
  • Pra estimar o valor da proporção populacional.

Vamos entender melhor caso a caso.

COM D.PADRÃO CONHECIDO

Pra estimar o valor da média populacional μ , sabendo o valor do desvio padrão populacional, σ , a gente vai trabalhar com a fórmula de cima ali né.

Primeiro, falar

P X ¯ - μ > d = α

É o mesmo que:

P X ¯ - μ ≤ d = 1 - α

Só usamos a propriedade de complementar aqui, beleza?

Cara, lembra que X - ~ N ( μ , σ 2 n ) ?

Do lado esquerdo a gente tem X ¯ - μ , certo? Ta sentindo um cheirinho de padronização aqui? Pois,

X ¯ - μ σ n = Z

Certo?! Ou seja, vamos dividir dos dois lados por σ n , ficando com:

P X ¯ - μ σ n ≤ d σ n = 1 - α

Que é a mesma coisa que:

P Z ≤ d σ n = 1 - α

Usando aqueles paranauês da normal, ficamos com:

2 Φ d σ n - 1 = 1 - α

2 Φ d σ n = 2 - α

Φ d σ n = 1 - α 2

d σ n = z 1 - α 2

Esse valor de z a gente pega na tabela, lembra? A gente calcula o valor de 1 - α / 2 e procura o valor de z que gera essa probabilidade. É só procurar pelo valor de 1 - α / 2 no interior da tabela da Normal e ver qual o valor de z referente, juntando o valor da primeira coluna com o da primeira linha. É isso que eu quero dizer com z 1 - α 2 .

Não entendeu? Pera, eu desenho! Isso você não pode errar.

Tá safo agora?

Com isso a gente chega em:

n = z 1 - α 2 ⋅ σ d 2

Pronto! Esse n é justamente o tamanho da nossa amostra. Percebe que você tem que conhecer o valor de σ nesse caso?

Exemplo: Qual deveria ser o tamanho n da amostra de empregados a serem entrevistados para que o erro absoluto na estimação do índice de satisfação média estivesse limitado em 1,5 unidades com probabilidade de 92,81 % ? Sabendo que o desvio padrão populacional é 30 unidades.

Passo1) Calcular o α .

Pelo enunciado:

1 - α = 0,9281

α = 0,0719

Passo2) Calcular z 1 - α 2 .

1 - α 2 = 0,9641

z 0,9641 = 1,8

Pra isso eu usei a tabela, se você procurar no interior dela o valor 0,9641 vai ver que o valor de z referente é 1,8.

Passo3) Calcular n .

n = z 1 - α 2 ⋅ σ d 2

n = 1,8 × 30 1,5 2

n = 1296   empregados

COM D.PADRÃO DESCONHECIDO

Bom, mas se eu não tenho o valor da média populacional, é de se esperar que eu também não conheça o valor do desvio padrão populacional, concorda?

O que fazer nesse caso então?

Bem tranquilo, quando isso acontecer, em vez da gente usar o valor de σ , a gente usa o valor do desvio padrão amostral, s .

Ficaria assim:

n = z 1 - α 2 ⋅ s d 2

O resto continua a mesma coisa. A única diferença mesmo é que a gente vai ter que calcular s .

Esqueceu como faz isso? Relaxa, se o enunciado não te der isso pronto, basta calcular a variância amostral e tirar a raiz quadrada.

A fórmula da variância amostral ( s ² ) é a seguinte:

s ² = ∑ i = 1 n x i - x ¯ ² n - 1

Onde x ¯ é a média amostral.

Exemplo: Qual deveria ser o tamanho n da amostra de empregados a serem entrevistados para que o erro absoluto na estimação do índice de satisfação média estivesse limitado em 1,5 unidades com probabilidade de 92,81 % ? Sabendo que o desvio padrão amostral é 30 unidades.

Passo1) Calcular o α .

Sabemos que

P x ¯ - μ ≤ d = 1 - α

Pelo enunciado:

1 - α = 0,9281

α = 0,0719

Passo2) Calcular z 1 - α 2 .

Pois sabemos que

P Z 1 - a 2 = 1 - α 2

Queremos saber qual Z resultar nessa probabilidade. Nessa parte temos que voltar na tabela lembra?

1 - α 2 = 0,9641

Se você procurar no interior dela o valor 0,9641 vai ver que o valor de z referente é 1,8.

z 0,9641 = 1,8

Passo3) Calcular n .

n = z 1 - α 2 ⋅ s d 2

n = 1,8 × 30 1,5 2

n = 1296   empregados

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 309.

Foi realizada uma pesquisa de opinião em uma grande empresa visando, entre outras coisas, determinar o nível médio de satisfação dos empregados com as condições de trabalho a eles oferecidas (instalações, equipamentos, etc).

O índice de satisfação de cada empregado pode ser medido em uma escala de zero a cem pontos, e sua variabilidade é tal que o desvio padrão populacional é da ordem de 30 pontos. Qual deveria ser o tamanho n da amostra de empregados a serem entrevistados para que o erro absoluto na estimação do índice de satisfação médio estivesse limitado em 1,5 unidades com a probabilidade de 92,81% ?

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Passo 1

Nesse caso a gente quer dimensionar uma amostra e já conhecemos o desvio padrão..

σ = 30

A fórmula que vamos utilizar é:

n = z 1 - α 2 ⋅ σ d 2

De acordo com o enunciado sabemos também que:

d = 1,5

Passo 2

Calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,9281 → α = 0,0719

z 1 - α 2 = z 0,9641 = 1,8

Passo 3

Agora é só jogar na fórmula..

n = 1,8 × 30 1,5 2

n ≅ 1296   e m p r e g a d o s

Resposta

n ≅ 1296   e m p r e g a d o s

Exercício Resolvido #2

P2- 2013.1 – UFRJ Dimensionamento de amostras

Definimos a variável E = X -   μ como sendo o erro amostral da média, onde X é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com distribuição Normal de média μ e desvio padrão σ = 20 .

(c) Qual deve ser o tamanho da amostra para que o módulo do erro amostral seja inferior a 1 unidade com 95% de probabilidade?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(c)

Questão de dimensionamento de amostra com σ conhecido. Pela fórmula a gente tem que:

n = z 1 - α 2 . σ d 2

Agora é só fazer conta...

d = 1

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 0,975 = 1,96

Substituindo os valores...

n = 1,96 × 20 1 2 = 1536,64

n = 1537

Resposta

c     n = 1537

Exercício Resolvido #3

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 332.

Usando os seguintes dados,

9,5       11,4       7,2       10,0       9,4       8,2       6,4       10,9       7,6       9,5       10,7       9,9       8,8       8,6       9,9

E admitindo que a média populacional μ é desconhecida, dimensione uma nova amostra dessa população que nos permita estimar μ de forma que o erro absoluto de estimação seja menor que 0,5 com probabilidade 98 % .

  1. Se o desvio padrão populacional σ é conhecido e igual a 2;
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

O estimador da média populacional μ é a média amostral x ¯ .

O erro absoluto da estimação tem que ser menor que 0,5 com probabilidade de 98%.

P x ¯ - μ ≤ d = 1 - α

Onde d = 0,5 e 1 - α = 0,98

Calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,98 → α = 0,02

z 1 - α 2 = z 0,99 = 2,33

Passo 2

Nesse primeiro caso temos σ = 2 , então estamos num caso de dimensionamento com σ conhecido.

Para calcular o valor de n então, temos a fórmula:

n = z 1 - α 2 . σ d 2

Basta substituir os valores:

n = 2,32 × 2 0,5 2