Dimensionamento da Amostra com Desvio Padrão Desconhecido

Teoria Completa

COM D.PADRÃO DESCONHECIDO

Bom, mas se eu não tenho o valor da média populacional, é de se esperar que eu também não conheça o valor do desvio padrão populacional, concorda?

O que fazer nesse caso então?

Você deve imaginar que precisaremos usar a t de student para esse caso não é? Aí que você se engana meu jovem, por termos um n suficientemente grande podemos aproximar pela normal!

Bem tranquilo, quando isso acontecer ao invés da gente usar o valor de σ , a gente usa o valor do desvio padrão amostral, s .

Ficaria assim:

n = z 1 - α 2 ⋅ s d 2

O resto continua a mesma coisa. A única diferença mesmo é que a gente vai ter que calcular s .

Exemplo: Qual deveria ser o tamanho n da amostra de empregados a serem entrevistados para que o erro absoluto na estimação do índice de satisfação média estivesse limitado em 1,5 unidades com probabilidade de 92,81 % ? Sabendo que o desvio padrão amostral é 30 unidades.

Passo1) Calcular o α .

Sabemos que

P x ¯ - μ ≤ d = 1 - α

Pelo enunciado:

1 - α = 0,9281

α = 0,0719

Passo2) Calcular z 1 - α 2 .

Pois sabemos que

P Z 1 - a 2 = 1 - α 2

Queremos saber qual Z resultar nessa probabilidade. Nessa parte temos que voltar na tabela lembra?

1 - α 2 = 0,9641

Se você procurar no interior dela o valor 0,9641 vai ver que o valor de z referente é 1,8.

z 0,9641 = 1,8

Passo3) Calcular n .

n = z 1 - α 2 ⋅ s d 2

n = 1,8 × 30 1,5 2

n = 1296   empregados

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Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 332.

Usando os seguintes dados,

9,5       11,4       7,2       10,0       9,4       8,2       6,4       10,9       7,6       9,5       10,7       9,9       8,8       8,6       9,9

E admitindo que a média populacional μ é desconhecida, dimensione uma nova amostra dessa população que nos permita estimar μ de forma que o erro absoluto de estimação seja menor que 0,5 com probabilidade 98 % .

  1. Se σ é desconhecido.
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Passo 1

(b)

Estamos num caso em que σ é desconhecido, vamos usar a fórmula:

n = z 1 - α 2 . s d 2

Então temos que calcular o s , desvio padrão amostral.

Lembrando que:

s 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

Vamos calcular cada parte primeiro:

x ¯ = 9,5 + 11,4 + … + 9,9 15 = 138 15 = 9,2

∑ x i 2 = 9,5 2 + 11,4 2 + … + 9,9 2 = 1297,34

Então:

s 2 = 1297,34 - 15 × 9,2 2 14 = 1,98

E logo,

s = 1,408

Passo 2

Beleza, agora a gente pode substituir na fórmula:

n = z 1 - α 2 . s d 2

n = 2,33 × 1,408 0,5 2

n = 43,05

Como n é inteiro.

n = 44

Resposta

b   44

Exercício Resolvido #2

P2- 2013.2 – UFRJ Dimensionamento de amostras

Os dados abaixo correspondem a medições do QI (Quociente de Inteligência) para uma amostra de 30 pessoas.

117 106 106 100 90 91 130 96 98 99 112 130 102 101 94

100 126 83 106 121 79 103 126 78 79 97 100 93 103 107

Deseja-se estimar a média populacional μ dessa variável, supondo distribuição Normal.

  1. Qual a probabilidade de que o erro absoluto na estimação com base nessa amostra seja inferior a 3 unidades?
  2. Qual seria o tamanho de uma nova amostra para que, com 95% de probabilidade, o erro absoluto de estimação seja inferior a 3 unidades?

Obs.: Para facilitar os cálculos, informa-se que: ∑ x i = 3073   e ∑ x i 2 = 320757 .

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Passo 1

(a)

Queremos calcular:

P x ¯ - μ < 3 =   ?

Onde d = 3 e n = 30 . O problema é que a gente não conhece σ , vamos ter que calcular s e usar a tabela de t   d e   s t u d e n t .

Padronizando essa merda aí, fica assim:

P x ¯ - μ s 30 < 3 s 30 =   ?

P T < 3 30 s =   ?

Passo 2

Calcular s   a partir dos dados amostrais:

s 2 = ∑ x i 2 - n ⋅ x ¯ 2 n - 1

Substituindo os valores e fazendo os cálculos necessários, você vai encontrar.

s = 14,36

Passo 3

Agora ficamos com:

P T < 3 30 14,36 =   P T < 1,144 =   ?

Se você usar a tabela t   d e   s t u d e n t com 29 graus de liberdade, você vai ver que esse valor não estará em seu interior, mas vai estar entre 0,854 e 1,311. Como P ( 0,854 ) = 0,8 e P 1,311 = 0,9 , vamos ver o intervalo onde vai estar a probabilidade:

Se   t = 0,854 : P T < 0,854 = 2 × 0,8 - 1 = 0,6

Se   t = 1,311 : P T < 1,311 = 2 × 0,9 - 1 = 0,8

Como 0,854 < 1,144 < 1,311 , a gente consegue perceber que 0,6 < P T < 1,144 < 0,8 .

Porém, como temos n = 30 , vamos considerar como sendo um valor alto e aproximar pela Normal.

P T < 1,144 ≈ P Z < 1,144

P Z < 1,144 = 2 Φ 1,144 - 1

                                                          = 2 × 0,8729 - 1

                          = 0,7458

Passo 4

(b)

Questão de dimensionamento de amostra com σ desconhecido. A principio teríamos que usar t   d e   s t u d e n t , mas como já vimos, n pode ser considerado suficientemente grande pra aproximarmos pela Normal.

A fórmula pra n nesse caso é:

n = z 1 - α 2 ⋅ s d 2

De acordo com o enunciado:

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Substituindo os valores:

n = 1,96 × 14,36 3 2

n = 88

Resposta

a   0,7458

b   n = 88

Exercício Resolvido #3

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 333.

Um abaixo assinado é feito em uma determinada municipalidade para pedir à autoridade competente que seja realizada uma grande obra de interesse público. As assinaturas foram coletadas em 600 folhas. Para obter uma estimativa rápida do número total de assinaturas coletadas, foram contadas as assinaturas que constam em 25 folhas escolhidas ao acaso, tendo-se obtido valores x 1 , x 2 , … , x 25 tais que:

∑ x i = 728                                     e                                 ∑ x i 2 = 27185

Use os resultados obtidos a partir dessa primeira amostragem para dimensionar uma outra amostra aleatória que permita estimar o número total de assinaturas com um erro menor que mil, com probabilidade 95 % .

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Passo 1

O número total de assinaturas é N μ , ou seja, 600 vezes o valor esperado de assinaturas por folha, mas a gente não conhece esse valor.

Um bom estimador pra esse valor é N x ¯ .

Bom, precisamos estimar com um erro menor que mil e probabilidade de 95%.

P N x ¯ - N μ < d = 1 - α

Melhorando o que a gente tem ali em cima:

P N x ¯ - μ < d = 1 - α

A gente viu no conteúdo que V a r x ¯ = σ 2 n , onde n = 25 é o número de folhas da amostra que a gente tem, logo pelas propriedades da variância.

V a r N x ¯ = N 2 σ 2 n

Então D P N x ¯ = N σ n .

Passo 2

Dividindo dos dois lados ali pelo valor do desvio padrão de N x ¯ .

P N x ¯ - μ N σ n < d N σ n = 1 - α

Padronizando:

P Z < d N σ n = 1 - α

Isso nos leva a:

2 Φ d N σ n - 1 = 1 - α

Φ d N σ n = 1 - α 2

d N σ n = z 1 - α 2

E então:

n = N . σ . z 1 - α 2 d 2