Erro Absoluto de Estimação

Teoria Completa

Introdução

Fala Aíí! Imagina que você quer estimar a média populacional das alturas de todos os goleiros de futebol profissionais no mundo. Pra isso, você vai pegar uma amostra de 100 goleiros e supõe que você sabe que o desvio-padrão (da população toda) das alturas é de 5 cm. Nós aqui estamos lidando com amostras né, então podemos ter um erro aí no meio, concorda?

A pergunta agora é: qual é a probabilidade de que o erro entre a média amostral e a média real (populacional) seja menor (para mais ou para menos) do que 0,5 cm?

Aqui iremos indicar   X - como média amostral e μ como média populacional, beleza?!

Para calcular essa probabilidade, vamos botar essa pergunta em notação de probabilidade

P ( μ - 0,5 < X - < μ + 0,5 )   =   ?

Reescrevendo isso, dá:

P - 0,5 < X - - μ < 0,5 =   P X - - μ < 0,5

Em outras palavras, o erro absoluto é a diferença entre a média amostral e a média populacional em módulo. Só que no nosso caso queremos que esse erro seja menor do que 0,5 cm, beleza?!

Então para resolver isso vamos transformar isso em normal-padrão. Pra isso, vamos só lembrar de duas coisinhas:

  1. X   pode não ser normal, mas estamos usando o Teorema Central do Limite. Não lembra dele? Ele diz que não importa qual é a distribuição X , a distribuição de sua média se aproxima da normal à medida que o número de amostragem cresce (desde que a média e a variância existam). Como o tamanho da nossa amostra é grande ( n = 100 ) , faz sentido usar, concorda?
  2. Se você reparar, X ̄ - μ é algo bem parecido com o o Z lá da distribuição normal, concorda? Temos apenas que dividir pelo desvio padrão para ficar igual! Assim teremos

Z = X - - μ σ x -

Beleza?

Mas perae... quem é esse σ x - ? Ele é o desvio padrão da média amostral, dado que ela é a variável aleatória que estamos avaliando aqui.

Para encontra-la, podemos usar o TLC e lembrar que:

E X - = μ

V a r X - = σ 2 n

Como queremos o desvio padrão, iremos tirar a raiz da variância.

σ x - = V a r X - = σ n

Concorda?! Então a normal-padrão é dada por

Z = X ̄ - μ σ n

Show de bola?!

Portanto, se temos

P X - - μ < 0,5

Vamos dividir ambos os lados pelo desvio padrão σ x - = σ n , ficando com  

P X - - μ σ n < 0,5 σ n

Podemos dar uma arrumada para ficar com a carinha lá da distribuição normal:

P X - - μ σ n < 0,5 σ n =   P Z < 0,5 σ n

Agora vamos substituir os valores de σ = 5 e n = 100 . Assim,

P Z < 0,5 5 100 = P Z < 1

Tá... mas como tiramos esse módulo aí??

Para realizar os cálculos vamos repetir o processo que vimos quando aprendemos sobre distribuição Normal. Vai ser o seguinte:

P Z < 1 = P - 1 < Z < 1

Temos que isso é a mesma coisa que

P Z < 1 = P Z < 1 - P Z < - 1

Assim, aplicando a função Φ , ficamos com

P Z < 1 = Φ 1 - 1 - Φ 1 = 2 Φ 1 - 1

Ou seja, pra você que se perdeu em algum momento, a fórmula que irá nos dar o help é

P Z < 1 = 2 Φ 1 - 1

Agora é só olhar na tabela:

2 Φ 1 - 1 = 2 * 0,84 - 1 = 0,6826

Logo,

P ( Z < 1 ) = 0,6826

Isso é, a probabilidade de você errar menos do que 0,5 cm é de aproximadamente 68%!

Se quisermos generelizar, teremos a seguinte fórmula

P X ̄ - μ < d = P Z < d σ n = 2 Φ d σ n - 1

Sow de bolas?!

Erro absoluto para proporção

A gente pode fazer o mesmo tipo de conta se o nosso problema envolver proporções. Vamos ver um exemplo?

Exemplo

Uma empresa fabrica pneus usados em carros importados. Digamos que tenha sido coletada uma amostra aleatória da linha de produção, com n = 50 pneus, e que exatamente um número certo deles esteja fora das especificações.

Se quisermos determinar a probabilidade de que o erro absoluto da estimativa da proporção fora das especificações não ultrapasse 0,05, como calcular?

Primeira coisa que faremos é dar nome aos bois!

De acordo com o enunciado, d = 0,05 e n = 50 . Beleza?!

O erro absoluto da estimativa da proporção é:

p ^ - p

A gente quer o que? A probabilidade desse erro não superar d .

P p ^ - p ≤ 0,05 =   ?

Beleza?!

Pra resolver isso vamos utilizar o mesmo processo que fizemos anteriormente de padronização com alguns detalhezinhos diferentes...

Para padronizar isso, vamos dividir tudo pelo desvio padrão. Lembrando que nesse caso E p ^ = p e V a r p ^ = p 1 - p n , então vamos ter que o desvio padrão é p 1 - p n .

Assim ficaremos com essa carinha aqui:

P Z ≤ d p 1 - p n

Caaara... Se você reparar esse p ( 1 - p ) ta atrapalhando a nossa vida, concorda? Como podemos tirar ele daí?

Vamos utilizar o fato de que p ( 1 - p ) ≤ 1 / 4 .

WHAAAAAT???

Calma que vou tentar te mostrar o raciocínio!! Se você reparar, estamos multiplicando o p com o seu complementar ( 1 - p ) , certo? Olha essa tabelinha abaixo

Sempre que multiplicamos um número com seu complementar não passaremos de 0,25 =   ¼ , concorda?! Então vamos utilizar essa informação aqui!!

Vamos substituir p 1 - p por 1 4 na fórmula abaixo:

P Z ≤ d p 1 - p n = P Z ≤ d 1 / 4   n

No nosso exemplo, substituindo os valores d = 0,05 e n = 50 teremos

P Z ≤ 0,05 1 / 4   50 = P Z ≤ 0,71

Agora é só seguir o mesmo processo de padronização que fizemos anteriormente. Dessa forma, ficaremos com

P Z ≤ 0,71 = 2 Φ 0,71 - 1          

Usando a tabela da Normal:

= 2 × 0,7611 - 1                                    

= 0,5222                                                                    

Isso quer dizer que em aproximadamente 52% dos casos o erro absoluto na estimação da verdadeira proporção de diodos fora das especificações não ultrapassaria 0,05.

Beleza?!

Pontos importantes:

  1. Mesmo a gente tratando de amostras, pra poder calcular a probabilidade do erro absoluto ser menor que o tolerável, geralmente a gente precisa conhecer o valor do desvio padrão populacional, σ . Se não for dado, geralmente é pra usar a fórmula para proporção.
  2. Na fórmula final a gente vê que a probabilidade depende de d , σ e n . Ou seja, o professor pode querer brincar com isso aí, te dar o valor da probabilidade e te pedir o valor de n ou de d sei la, qualquer combinação disso. Mas as fórmulas são sempre essas, dependendo só se você estiver falando de média ou proporção.

Pra fechar com chave de ouro e resumir essas fórmulas bonitas, toma aí:

Nos vemos nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 308.

Uma empresa fabrica diodos usados em placas de circuito impresso. Digamos que tenha sido coletada uma amostra aleatória da linha de produção, com n = 50 diodos, e que exatamente um número certo deles esteja fora das especificações. Deseja-se agora determinar a probabilidade de que o erro absoluto da estimativa da proporção fora das especificações não ultrapasse 0,05.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro vamos anotar os dados do problema.

Temos uma amostra com n = 50 .

E de acordo com o enunciado:

d = 0,05

O erro absoluto da estimativa da proporção é:

p ^ - p

A gente quer o que? A probabilidade desse erro não superar d .

P p ^ - p ≤ 0,05 =   ?

Passo 2

Pelo que a gente aprendeu, é só colocar na fórmula.

P p ^ - p ≤ 0,05 = 2 Φ 2 d n - 1

Aí a gente substitui os valores:

= 2 Φ 2 × 0,05 × 50 - 1

= 2 Φ 0,71 - 1                                          

Usando a tabela da Normal:

= 2 × 0,7611 - 1                                    

= 0,5222                                                                    

Isso quer dizer que em aproximadamente 52% dos casos o erro absoluto na estimação da verdadeira proporção de diodos fora das especificações não ultrapassaria 0,05.

Resposta

0,5222

Exercício Resolvido #2

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 307.

Foi realizada uma pesquisa de opinião em uma grande empresa visando, entre outras coisas, determinar o nível médio de satisfação dos empregados com as condições de trabalho a eles oferecidas (instalações, equipamentos, etc).

O índice de satisfação de cada empregado pode ser medido em uma escala de zero a cem pontos, e sua variabilidade é tal que o desvio padrão populacional é da ordem de 30 pontos. Se nessa pesquisa foram sorteados 324 empregados ao acaso para uma entrevista, qual a probabilidade de que o índice de satisfação médio seja estimado com erro absoluto menor que três pontos?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como sempre, primeiro vamos anotar os dados.

Temos uma amostra com n = 324 empregados.

E temos também o desvio padrão populacional σ = 30 .

O erro absoluto da estimação da satisfação média será:

x ¯ - μ

Temos que calcular a probabilidade desse erro ser menor que 3 pontos, ou seja, d = 3 .

P x ¯ - μ < 3 =   ?

Passo 2

Pra fazer isso é só a gente jogar na fórmula que a gente viu no conteúdo.

P x ¯ - μ < 3 = 2 Φ d σ n - 1

Substituindo os valores:

= 2 Φ 3 30 324 - 1

= 2 Φ 1,8 - 1                    

Usando a tabela da Normal.

= 2 × 0.9641 - 1  

= 0,9282                                  

Resposta

0,9282

Exercício Resolvido #3

P2- 2013.1 – UFRJ Estimador e Erros

Definimos a variável E = X -   μ como sendo o erro amostral da média, onde X é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com distribuição Normal de média μ e desvio padrão σ = 20 .

  1. Que proporção das amostras de tamanho 100 terá o valor absoluto do erro amostral maior do que 2 unidades?
  2. Neste caso, qual deve ser o valor de δ para que P E > δ = 0,01 ?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

O valor absoluto do erro é | E | , beleza?

O exercício quer a probabilidade..

P E > 2 =   ?

P X - μ > 2 =   ?

Padronizando...

P Z > 2 σ n =   ?

Onde σ = 20 e n = 100 ...

P Z > 1 =   ?

Usando os conhecimentos que a gente já tem lá da parte da Normal...

P Z > 1 = 1 - P Z < 1

= 1 - 2 Φ 1 - 1

= 2 - 2 Φ 1

Vendo o valor na tabela da Normal..

= 0,3174

Passo 2

(b)

Usando o mesmo raciocínio do item anterior, a gente chega na seguinte relação:

2 - 2 × Φ δ σ n = 0,01

Com isso...

Φ δ σ n = 2 - 0,01 2

Φ δ σ n = 0,995

Vendo na tabela a gente vê que:

δ σ n = 2,58

δ = 20 10 × 2,58 = 5,16

Resposta

a   0,3174

b   δ = 5,16

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Suponha que temos uma amostra de 40 estudantes e queremos estimar quantos dentre eles estão no último semestre da faculdade. Qual a probabilidade de que o erro absoluto da nossa estimativa seja menor que 0,02 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui estamos lidando com um número de estudantes dentro de um número total, certo? Então o que queremos estimar é a proporção p de estudantes que estão para se formar. O nosso erro de estimação vai ser então:

| p ^ - p |

Queremos a probabilidade desse erro ser menor que 0,02 , então:

P p ^ - p < 0,02

Passo 2

Aplicando a fórmula vista na teoria:

P p ^ - p < 0,02 = 2 Φ 2 d n - 1

Onde d é a margem de erro, que é o máximo tolerável pedido, ou seja 0,02 , e n é o tamanho da amostra, no nosso caso, é 40 ). Então:

P p ^ - p < 0,02 = 2 Φ 2 × 0,02 40 - 1 = 2 Φ 0,25 - 1

Procurando z = 0,25 na tabela da normal, vemos que Φ 0,25 = 0 , 5987 , então:

P p ^ - p < 0,02 = 2 × 0,5987 - 1 = 0,1974

Passo 3

Resposta

19,74 %

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

De uma população normal com σ   =   3 , retira-se uma amostra aleatória simples de tamanho 10 0 . Se quisermos garantir que uma análise do valor da média de alguma característica dessa população tenha o erro absoluto de estimação menor uma certa margem de erro com 90 % de confiança, qual deve ser a margem de erro adotada?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nosso erro de estimação é em relação à média e vai é dado por:

| x - - x |

Nós queremos que esse erro seja menor que uma certa margem de erro d a um nível de confiança de 90 % . Dizer isso é a mesma coisa que escrever isso aqui:

P | x - - x | < d = 0,90

Queremos saber a probabilidade do erro ser menor que essa margem de erro!

Passo 2

Para descobrir esse d , podemos padronizar essa probabilidade, dividindo os dois lados da inequação ali dentro por σ n :

P | x - - x | σ n < d σ n = P Z < d σ n

Usando as propriedades do módulo na Normal temos:

P Z < d σ n = 2 Φ d σ n - 1

Mas nós sabemos que essa probabilidade tem que valor 0,90 , então:

2 Φ d σ n - 1 = 0,90

Φ d σ n = 0 , 95

Procurando 0,95 no corpo da tabela da Normal achamos o z = 1,64 , então:

d σ n = 1,64

Substituindo σ = 3 e n = 100 como dado no enunciado:

d 3 100 = 1,64 → d = 0,492

Resposta

49,2 %

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