Erro Absoluto de Estimação
Teoria
Introdução
Fala Aíí! Imagina que você quer estimar a média populacional das alturas de todos os goleiros de futebol profissionais no mundo. Pra isso, você vai pegar uma amostra de 100 goleiros e supõe que você sabe que o desvio-padrão (da população toda) das alturas é de 5 cm. Nós aqui estamos lidando com amostras né, então podemos ter um erro aí no meio, concorda?
A pergunta agora é: qual é a probabilidade de que o erro entre a média amostral e a média real (populacional) seja menor (para mais ou para menos) do que 0,5 cm?
Aqui iremos indicar como média amostral e como média populacional, beleza?!
Para calcular essa probabilidade, vamos botar essa pergunta em notação de probabilidade
Reescrevendo isso, dá:
Em outras palavras, o erro absoluto é a diferença entre a média amostral e a média populacional em módulo. Só que no nosso caso queremos que esse erro seja menor do que 0,5 cm, beleza?!
Então para resolver isso vamos transformar isso em normal-padrão. Pra isso, vamos só lembrar de duas coisinhas:
- pode não ser normal, mas estamos usando o Teorema Central do Limite. Não lembra dele? Ele diz que não importa qual é a distribuição , a distribuição de sua média se aproxima da normal à medida que o número de amostragem cresce (desde que a média e a variância existam). Como o tamanho da nossa amostra é grande , faz sentido usar, concorda?
- Se você reparar, é algo bem parecido com o o lá da distribuição normal, concorda? Temos apenas que dividir pelo desvio padrão para ficar igual! Assim teremos
Beleza?
Mas perae... quem é esse ? Ele é o desvio padrão da média amostral, dado que ela é a variável aleatória que estamos avaliando aqui.
Para encontra-la, podemos usar o TLC e lembrar que:
Como queremos o desvio padrão, iremos tirar a raiz da variância.
Concorda?! Então a normal-padrão é dada por
Show de bola?!
Portanto, se temos
Vamos dividir ambos os lados pelo desvio padrão , ficando com
Podemos dar uma arrumada para ficar com a carinha lá da distribuição normal:
Agora vamos substituir os valores de e . Assim,
Tá... mas como tiramos esse módulo aí??
Para realizar os cálculos vamos repetir o processo que vimos quando aprendemos sobre distribuição Normal. Vai ser o seguinte:
Temos que isso é a mesma coisa que
Assim, aplicando a função , ficamos com
Ou seja, pra você que se perdeu em algum momento, a fórmula que irá nos dar o help é
Agora é só olhar na tabela:
Logo,
Isso é, a probabilidade de você errar menos do que 0,5 cm é de aproximadamente 68%!
Se quisermos generelizar, teremos a seguinte fórmula
Sow de bolas?!
Erro absoluto para proporção
A gente pode fazer o mesmo tipo de conta se o nosso problema envolver proporções. Vamos ver um exemplo?
Exemplo
Uma empresa fabrica pneus usados em carros importados. Digamos que tenha sido coletada uma amostra aleatória da linha de produção, com pneus, e que exatamente um número certo deles esteja fora das especificações.
Se quisermos determinar a probabilidade de que o erro absoluto da estimativa da proporção fora das especificações não ultrapasse 0,05, como calcular?
Primeira coisa que faremos é dar nome aos bois!
De acordo com o enunciado, e . Beleza?!
O erro absoluto da estimativa da proporção é:
A gente quer o que? A probabilidade desse erro não superar .
Beleza?!
Pra resolver isso vamos utilizar o mesmo processo que fizemos anteriormente de padronização com alguns detalhezinhos diferentes...
Para padronizar isso, vamos dividir tudo pelo desvio padrão. Lembrando que nesse caso e , então vamos ter que o desvio padrão é .
Assim ficaremos com essa carinha aqui:
Caaara... Se você reparar esse ta atrapalhando a nossa vida, concorda? Como podemos tirar ele daí?
Vamos utilizar o fato de que .
WHAAAAAT???
Calma que vou tentar te mostrar o raciocínio!! Se você reparar, estamos multiplicando o com o seu complementar , certo? Olha essa tabelinha abaixo
Sempre que multiplicamos um número com seu complementar não passaremos de , concorda?! Então vamos utilizar essa informação aqui!!
Vamos substituir por na fórmula abaixo:
No nosso exemplo, substituindo os valores e teremos
Agora é só seguir o mesmo processo de padronização que fizemos anteriormente. Dessa forma, ficaremos com
Usando a tabela da Normal:
Isso quer dizer que em aproximadamente 52% dos casos o erro absoluto na estimação da verdadeira proporção de diodos fora das especificações não ultrapassaria 0,05.
Beleza?!
Pontos importantes:
- Mesmo a gente tratando de amostras, pra poder calcular a probabilidade do erro absoluto ser menor que o tolerável, geralmente a gente precisa conhecer o valor do desvio padrão populacional, . Se não for dado, geralmente é pra usar a fórmula para proporção.
- Na fórmula final a gente vê que a probabilidade depende de , e . Ou seja, o professor pode querer brincar com isso aí, te dar o valor da probabilidade e te pedir o valor de ou de sei la, qualquer combinação disso. Mas as fórmulas são sempre essas, dependendo só se você estiver falando de média ou proporção.
Pra fechar com chave de ouro e resumir essas fórmulas bonitas, toma aí:
Nos vemos nos exercícios!
Erro absoluto para proporção
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 308.
Uma empresa fabrica diodos usados em placas de circuito impresso. Digamos que tenha sido coletada uma amostra aleatória da linha de produção, com diodos, e que exatamente um número certo deles esteja fora das especificações. Deseja-se agora determinar a probabilidade de que o erro absoluto da estimativa da proporção fora das especificações não ultrapasse 0,05.
Passo 1
Primeiro vamos anotar os dados do problema.
Temos uma amostra com .
E de acordo com o enunciado:
O erro absoluto da estimativa da proporção é:
A gente quer o que? A probabilidade desse erro não superar .
Passo 2
Pelo que a gente aprendeu, é só colocar na fórmula.
Aí a gente substitui os valores:
Usando a tabela da Normal:
Isso quer dizer que em aproximadamente 52% dos casos o erro absoluto na estimação da verdadeira proporção de diodos fora das especificações não ultrapassaria 0,05.
Resposta
Exercício Resolvido #2
João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 307.
Foi realizada uma pesquisa de opinião em uma grande empresa visando, entre outras coisas, determinar o nível médio de satisfação dos empregados com as condições de trabalho a eles oferecidas (instalações, equipamentos, etc).
O índice de satisfação de cada empregado pode ser medido em uma escala de zero a cem pontos, e sua variabilidade é tal que o desvio padrão populacional é da ordem de 30 pontos. Se nessa pesquisa foram sorteados 324 empregados ao acaso para uma entrevista, qual a probabilidade de que o índice de satisfação médio seja estimado com erro absoluto menor que três pontos?
Passo 1
Como sempre, primeiro vamos anotar os dados.
Temos uma amostra com empregados.
E temos também o desvio padrão populacional .
O erro absoluto da estimação da satisfação média será:
Temos que calcular a probabilidade desse erro ser menor que 3 pontos, ou seja, .
Passo 2
Pra fazer isso é só a gente jogar na fórmula que a gente viu no conteúdo.
Substituindo os valores:
Usando a tabela da Normal.
Resposta
Exercício Resolvido #3
P2- 2013.1 – UFRJ Estimador e Erros
Definimos a variável como sendo o erro amostral da média, onde é a média de uma amostra aleatória de tamanho de uma população com distribuição Normal de média e desvio padrão .
- Que proporção das amostras de tamanho 100 terá o valor absoluto do erro amostral maior do que 2 unidades?
- Neste caso, qual deve ser o valor de para que ?
Passo 1
(a)
O valor absoluto do erro é , beleza?
O exercício quer a probabilidade..
Padronizando...
Onde e ...
Usando os conhecimentos que a gente já tem lá da parte da Normal...
Vendo o valor na tabela da Normal..
Passo 2
(b)
Usando o mesmo raciocínio do item anterior, a gente chega na seguinte relação:
Com isso...
Vendo na tabela a gente vê que:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Suponha que temos uma amostra de estudantes e queremos estimar quantos dentre eles estão no último semestre da faculdade. Qual a probabilidade de que o erro absoluto da nossa estimativa seja menor que ?
Passo 1
Aqui estamos lidando com um número de estudantes dentro de um número total, certo? Então o que queremos estimar é a proporção de estudantes que estão para se formar. O nosso erro de estimação vai ser então:
Queremos a probabilidade desse erro ser menor que , então:
Passo 2
Aplicando a fórmula vista na teoria:
Onde é a margem de erro, que é o máximo tolerável pedido, ou seja , e é o tamanho da amostra, no nosso caso, é ). Então:
Procurando na tabela da normal, vemos que , então:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
De uma população normal com , retira-se uma amostra aleatória simples de tamanho . Se quisermos garantir que uma análise do valor da média de alguma característica dessa população tenha o erro absoluto de estimação menor uma certa margem de erro com de confiança, qual deve ser a margem de erro adotada?
Passo 1
Nosso erro de estimação é em relação à média e vai é dado por:
Nós queremos que esse erro seja menor que uma certa margem de erro a um nível de confiança de . Dizer isso é a mesma coisa que escrever isso aqui:
Queremos saber a probabilidade do erro ser menor que essa margem de erro!
Passo 2
Para descobrir esse , podemos padronizar essa probabilidade, dividindo os dois lados da inequação ali dentro por :
Usando as propriedades do módulo na Normal temos:
Mas nós sabemos que essa probabilidade tem que valor , então:
Procurando no corpo da tabela da Normal achamos o , então:
Substituindo e como dado no enunciado:
Resposta
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