Estimadores

Teoria Completa

Introdução

Cara, lá na parte de estatística da matéria, nós vimos que muitas vezes estaremos trabalhando com amostras, porque é muito difícil coletar informações da população, certo?

Só que, ao trabalhar com as amostras, nós só temos os parâmetros de média, variância, desvio-padrão amostrais, e não os parâmetros da população.

O que a gente vai fazer agora é estimar parâmetros da população, a partir dos dados das amostras! Vamos ver um exemplo:

Exemplo: Um engenheiro metalúrgico está interessado em analisar a porcentagem de carbono em uma liga de ferro produzida por sua empresa. Dez unidades amostrais de ferro apresentam as seguintes quantidades de carbono (em gramas) para cada cem gramas da liga:

4,37     3,63     2,78     5,46     2,18     6,07     3,24     5,89     4,86     4,64

Nesse caso, X seria uma variável aleatória que indica a porcentagem de carbono nas ligas de ferro produzidas pela empresa (que é nossa população)...

Poderíamos representar nossa amostra aleatória por ( X 1 , X 2 , … , X 10 ) , já que são 10 observações.

Beleza até aqui?

Vamos agora ao problema: o engenheiro quer saber a quantidade média de carbono na liga de ferro que a empresa produz, ou seja, ele quer saber a média da população ( μ ).

Nós não sabemos o valor de μ , certo? Mas, calma! Podemos estimá-lo a partir da amostra.

Adivinha como?

O valor da média amostral, x ¯ , é uma estimativa do parâmetro μ .

Calculando a média amostral:

x - = 4,37 + 3,63 + 2,78 + 5,46 + 2,18 + 6,07 + 3,24 + 5,89 + 4,86 + 4,64 10

x - = 4,31

E como foi dito, podemos usar essa estimativa para representar o valor da média populacional μ , então:

μ ≈ x - = 4,31

OBS: Uma confusão não tão difícil de acontecer é confundir o conceito de estimador com o conceito de estimativa. Pensa assim: estimador é o parâmetro amostral, e o valor desse parâmetro é a estimativa. Então no exemplo que vimos:

x -   é   o   e s t i m a d o r

4,31   é   a   e s t i m a t i v a

Estimadores Naturais

Isso aí que escrevemos é verdade porque a média amostral x ¯ é um estimador natural de μ .

Dá mesma forma, vamos ter outros parâmetros amostrais que serão estimadores naturais dos seus respectivos parâmetros populacionais, por exemplo:

s 2 ≈ σ 2

s ≈ σ

p ^ ≈ p

Então a variância, o desvio padrão e a proporção populacionais também tem estimadores naturais! Esses são os nossos estimadores mais conhecidos.

Não sabe o que é p e p ^ ? Vamos ver (ou relembrar) o que são esses caras agora rapidinho:

Supondo uma população de pessoas onde 5 % delas são ruivas. Nossa proporção populacional p de pessoas ruivas seria então:

p = 0,05

E se dessa população fosse retirada uma amostra de 100 pessoas, e 3 delas fossem ruivas, nossa proporção amostral p ^ de pessoas ruivas seria:

p ^ = 3 100 = 0,03

Amostra Obtida de uma População Normal

Beleza, vimos como estimar valores de parâmetros populacionais usando a amostra. E se eu quisesse o contrário? Se eu conhecesse minha população, mas não tenho os dados amostrais e quero estimá-los? Vamos ver isso agora!

Suponha comigo que ( X 1 , X 2 , … , X n ) é uma amostra aleatória obtida de uma população Normal, ou seja, uma v.a. X ~ N ( μ , σ 2 ) . Com isso, todas as X i ’s tem a mesma distribuição N ( μ , σ 2 ) .

A gente sabe que:

x ¯ = ∑ i = 1 n X i n

Se eu chamar Y = ∑ i = 1 n X i , essa v.a. também tem distribuição Normal: Y ∼ N ( n μ , n σ 2 ) .

Como x ¯ = Y n , usando propriedades de esperança e variância:

x ¯   ~   N μ , σ 2 n   ,     E x ¯ = μ           e         V a r x ¯ = σ 2 n

Ou seja, estamos estimando a média amostral não com um valor exato, mas com uma distribuição de probabilidades que engloba vários valores. Vamos ver melhor isso num exemplo.

“Uma população de abóboras tem peso médio igual a 15,5 k g e desvio padrão de 2,5 k g . É retirada uma amostra de 20 abóboras desta população. Estime a distribuição da média amostral dessas abóboras.”

Foi dito que:

μ = 15,5

σ = 2,5

Como nossa população segue uma distribuição Normal (tem média e desvio padrão!), sabemos que a média amostral das 20 abóboras também vai seguir uma distribuição Normal. Podemos estimar a média e a variância de x - , como acabamos de ver, por:

E x ¯ = μ = 15,5

V a r x ¯ = σ 2 n = 2,5 ² 20 = 0,3125 → D P x - = 0,3125 = 0,56

Ou seja, nossa média amostral vai seguir a distribuição...

x - ~ N ( 15,5 ; 0,56 2 )

Com essas informações, podemos estimar o valor do estimador x - por meio dessa distribuição de probabilidade:

Não precisa encrencar com esse μ ∓ 3 σ não. Isso aí é só pra ilustrar melhor todo o intervalo de valores que nosso estimador pode ter.

Como numa distribuição Normal aproximadamente 99 % dos valores estão no intervalo ( μ - 3 σ ; μ + 3 σ ) , estamos garantindo que nossa média amostral tem 99 % de chances de estar entre 13,89 e 17,18 .

Estimação da Proporção Amostral

E se a gente quisesse fazer a mesma coisa para o estimador p ^ ?

A gente pode definir também a esperança e a variância da proporção amostral:

E p ^ = p     ,       V a r p ^ = p 1 - p n

Ou seja:

p ^ ~ N p   ;   p 1 - p n

Isso acontece por causa do Teorema Central do Limite, mas não se preocupa muito com isso: foca nas contas! Vamos ver um exemplo sobre isso também:

“Numa população de 1500 crianças, 20 % quer ser bombeiro(a) ou astronauta quando crescer. Retira-se uma amostra de 200 crianças dessa população. Qual a probabilidade da proporção amostral de crianças que quer ser bombeiro(a) ou astronauta ser maior que 0,15 ?”

Como vimos, p ^ vai seguir uma distribuição Normal. Os parâmetros serão:

E p ^ = p = 0,20

V a r p ^ = p 1 - p n = 0,20 ( 1 - 0,20 ) 200 = 0,0008

Ou seja:

p ^ ~ N ( 0,20 ; 0,0008 )

Queremos saber a probabilidade de p ^ ser maior que 0,15 :

P ( p ^ > 0,15 )

Como p ^ segue uma Normal, padronizamos isso daí:

P Z > 0,15 - 0,20 0,0008 = P Z > - 1,77 = P ( Z < 1,77 )

Procurando essa probabilidade na tabela da Normal, temos que:

P p ^ > 0,15 = 0,9616

Vamos treinar isso tudo nos exercícios agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 362.

Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas condições. Ele sabe que essa variável é Normalmente distribuída com variância igual a 4 unidades². Foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10 obtendo-se os seguintes valores:

7,9       6,8       5,4       7,5       7,9       6,4       8,0       6,3       4,4         5,9

  1. Calcule a estimativa pontual da media populacional, com base nessa amostra.
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Passo 1

(a)

A estimativa pontual para a média populacional é qual? A média amostral, concorda?

Então, nossa estimativa pontual será:

x ¯ = 7,9 + 6,8 + … + 5,9 10 = 66,5 10 = 6,65

Resposta

a   6,65

Exercício Resolvido #2

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,296-3

Suponha um experimento consistindo de n   provas de Bernoulli, com propriedades de sucesso p . Seja X o número de sucessos, e considere os estimadores

a) p ^ 1 = X n

b) p ^ 2 = 1 ,   s e   a   p r i m e i r a   p r o v a   r e s u l t a r   s u c e s s o   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Determine a esperança e variância de cada estimador. Por que p ^ 2 não é um “bom” estimador?

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Passo 1

Vamos olhar para cada um separadamente para poder comparar os mesmos ok?

- p ^ 1

Como p ^ 1 não possui restrição nenhuma, ou seja, estamos olhando para todas as tentativas, podemos perceber que temos uma Distribuição Binomial.

p ^ 1   ~   B i n o m i a l ( n , p )

E sabemos que em uma binomial,

E X = n p   e   V a r X = n p ( 1 - p )

Passo 2

Portanto

E p ^ 1 = E X n  

Como n = c o n s t a n t e

E p ^ 1 = 1 n × E X = n p n = p

E

V a r p ^ 1 = V a r X n

V a r p ^ 1 = 1 n 2 × V a r X = n p 1 - p n 2 = p 1 - p n

Passo 3

Olhando para p ^ 2 ... Vamos identifica-lo?

Note que pela restrição de p ^ 2 somente o primeiro resultado importa. Se ele for sucesso dizemos que p ^ 2 = 1 e caso seja fracasso p ^ 2 = 0 . Por essa restrição notamos que temos um experimento de Bernoulli para X i , que é o resultado da primeira prova.

Sabemos que em Bernoulli

E X = p   e   V a r X = p ( 1 - p )

Passo 4

Vamos calcular E X i   e   V a r ( X i ) para avaliar melhor p ^ 2 .

E p ^ 2 = E X i = p

V a r p ^ 2 = V a r X i = p ( 1 - p )

Passo 5

Comparando p ^ 2 e p ^ 1 notamos que p ^ 2 só assume valores 0 ou 1, pois só observa o primeiro resultado, o que mostra que ele é um pior estimador. Além disso pelas nossar contas vimos que V a r p ^ 2 = n V a r ( p ^ 1 ) , ou seja, sua variância será sempre maior que do estimador p ^ 1 (para todo n maior que 1 né!).

Resposta

p ^ 2   é o pior estimador.

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Suponha que X segue uma distribuição Normal de média 3 e desvio padrão 0,4 .

Temos uma amostra de 40   unidades de X , e os valores de X são independentes.

Determine a distribuição da média amostral e seus parâmetros, sua esperança e sua variância.

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Passo 1

Sabemos que:

μ = 3

σ = 0,4