Teoria Completa
Estimador não tendencioso
Já jogou Tiro ao alvo? Vai ser útil pela primeira vez na sua vida haha..
Vamos supor três atiradores: A,B e C.
Vamos fazer uma primeira análise dessa parada:
- Atirador É preciso, mas tá tendencioso pra direita, longe do centro.
- Atirador É bizonho, mas até que acerta de vez em quando.
- Atirador Esse é sinistro, precisão é o sobrenome.
Uma ideia básica pra um bom estimador seria o que? Que o valor que a gente espera dele seja o mais próximo possível do valor real do parâmetro que a gente tá estimando, concorda?
Dessa ideia, vem o conceito de estimador não tendencioso.
A gente vai dizer que um estimador qualquer é não tendencioso se a esperança (valor médio) dele for igual ao valor do parâmetro que estamos estimando.
Olhando pros nossos atiradores a gente percebe que o é tendencioso, concorda? O valor médio dele não coincide com o centro, ele tem meio que uma tendência pra direita do alvo.
Enquanto os outros não são tendeciosos, o não possui tendência e o a tendência dele é o próprio centro.
Tem um outro conceito que a gente pode colocar aqui, que é o viés, .
Viés de é a diferença entre o seu valor esperado e o valor do parâmetro.
Se o viés é igual a zero, o estimador é não tendencioso.
Erro quadrático médio
Bom, além de ser não tendencioso, é importante também que esse estimador gere estimativas que estejam próximas do verdadeiro valor do parâmetro!
Além de ser não tendecioso, o estimador tem que ser preciso.
De que adianta eu fazer estimativas que tenham uma média(esperança) próxima do valor certo, mas que tenha valores muito discrepantes? O atirador , por exemplo! Adianta de nada ele acertar o centro de vez em quando se ele tem uma precisão horrível.
A gente mede essa precisão através do Erro Quadrático Médio ou !
Bom, claramente a gente percebe que o atirador tem sérios problemas com precisão, enquanto os outros não.
Confere aí se você realmente entendeu esses conceitos com a tabela abaixo:
Exercício Resolvido #1
Seja uma v.a. com média e variância . Seja uma amostra aleatória de . A partir desta amostra aleatória, podemos construir o estimador para a média.
- Calcule o viés deste estimador.
- Calcule o erro quadrático médio deste estimador.
- Ao comparar e , qual deles é mais indicado para estimar ? Justifique.
Passo 1
(a)
Lembra da fórmula do viés? Vamos aplicar para o caso de um estimador pra média.
Temos que calcular essa esperança aí.
E vamos aplicar as propriedades de combinação linear da esperança.
A esperança de , a gente conhece:
Daí fica:
Passo 2
E com isso, calculamos o viés.
Passo 3
(b)
Mais uma fórmula que você precisa lembrar ein, do erro quadrático médio...
Precisamos calcular a variância antes...
Aplicando as propriedades da variância agora:
E:
Fica então:
Passo 4
Daí a gente junta tudo de novo e calcula o erro quadrático...
Passo 5
(c)
Primeiro você precisaria saber o viés e o erro quadrático média da média pra poder comparar, que são:
Se você comparar com os de , vai ver que... como o viés de é zero (o que indica que é um estimador não tendencioso) e o de não é zero (estimador tendencioso).
E comparando a partir do erro quadrático médio, você tem que:
E quanto maior o erro quadrático médio, pior é o estimador.
Ou seja, o é o melhor estimador.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Sejam uma amostra aleatória da variável aleatória com distribuição Bernoulli .
- Qual a distribuição de ?
- Considere os dois seguintes estimadores para : e . Esses estimadores são não tendenciosos (não viciados) para ?
- Expresse o erro quadrático médio desses dois estimadores em função de e .
- Suponha e faça um único gráfico mostrando o comportamento do em função de para os dois estimadores.
Passo 1
(a)
Cada tem a mesma distribuição Bernoulli (com a mesma prob. de sucesso ) e o vai ser a soma de vários .
Quando eu tenho um mesmo experimento Bernoulli sendo repetido várias vezes, o que que eu tenho na verdade? Uma Binomial, concorda? A gente viu isso.
Então podemos dizer que...
Passo 2
(b)
Você lembra o que faz um estimador ser não tendencioso? É quando o valor esperado pra ele é igual ao valor do parâmetro que a gente tá estimando.
Certo?
Então o que eu tenho que fazer nesses dois casos é calcular a esperança desses estimadores e e ver se dá igual a ou não.
Se der, é não tendencioso, se não der, só lamento :D
Passo 3
Vamos fazer isso pro primeiro caso então...
Pela propriedade da esperança, posso jogar pra fora o ...
A gente acabou de ver que tem distribuição Binomial com parâmetros e .
Qual a esperança de uma variável que segue a Binomial?
Certo?
Aí você junta tudo...
Opa! A esperança do estimador deu igual ao valor do parâmetro...
Isso significa que é um estimador não tendencioso de .
Passo 4
Agora vamos ver esse segundo estimador aí, um pouco mais assustador...
Pera, não se assuste... concorda comigo que tudo isso aí que tem são constantes? Variável mesmo só .
Então vamos usar algumas propriedades da esperança...
Tudo que multiplica a variável você pode tirar pra fora.... aí fica:
Agora eu tenho a esperança de uma variável mais uma constante... também posso tirar essa constante pra fora...
Agora sucesso, só temos a , que a gente já conhece lá do primeiro estimador que a gente fez, concorda?
Jogando ali em cima...
Mesmo que você mexa nesse capeta aí, você acha que isso é igual a ? Não né! Então:
A gente conclui que é um estimador tendencioso do parâmetro .
Passo 5
(c)
Agora a gente tem que calcular o dos dois estimadores, você lembra da fórmula?
Então antes a gente precisa calcular esses dois camaradas que apareceram aí.
Esse é o víeis... lembra dele?
É a esperança do estimador (que a gente calculou no item anterior) menos o real valor do parâmetro.
Passo 6
Vamos calcular primeiro os viés (vieses... sla, não sou muito bom nisso) dos dois estimadores..
Pra ...
A gente calculou antes que:
Então:
A gente já esperava isso né, como é não tendencioso, seu viés é zero.
Passo 7
Pra ...
A gente achou que:
Então:
Aí vamos abrir isso aí...
Opa, a gente corta um candango ali..
Vamos colocar em evidência...
Aí a gente corta ele...
Show, vamos seguir e calcular a variância dos dois estimadores...
Passo 8
Pra ...
Agora se liga que a gente vai usar as propriedades da variância, que são um pouquinho diferentes das da esperança... agora, a constante que multiplica a gente coloca pra fora elevando ao quadrado, e as constantes que a gente estiverem somando viram zero.
Hmmm.. variância de ... vamos pensar igual a gente pensou pra esperança.
tem uma distribuição Binomial, qual a variância de uma distribuição dessa?
Juntando tudo...
Simplificando:
Passo 9
Pra ...
Tá, vamos usar as propriedades...
- O denominador que tá multiplicando, vem pra fora elevado ao quadrado;
- O candango que tá somando ali, vai sumir.
a gente já conhece.. fica então:
Vou tentar melhorar isso aí pra a gente...
Coloquei em evidência embaixo... aí agora vou elevar ela ao quadrado...
Aí some o em cima e embaixo...
Fiz isso porque a gente vai somar com o viés né, aí coloquei com denominadores parecidos pra facilitar nossa vida.
Passo 10
E agora? Agora tu já nem sabe o que tá fazendo né? Kkkk calma..
Finalmente a gente pode calcular o dos dois estimadores..
Então:
Passo 11
Agora pra :
Então:
Abrindo os parênteses de cima...
Corta um monte de candango aí...
Falta pouco pra acabar..
Passo 12
(d)
Vamos pegar de novo os dois :
Agora vamos fazer ...
A gente tem que fazer o gráfico dessas duas funções agora...
Passo 13
Pra bem simples né.. é constante e igual a . Então vamos ter uma reta na horizontal...
Passo 14
Para a gente vai ter uma parábola...
Agora sim, fim de papo.
Deu um certo trabalho, mas concorda comigo que, sabendo as fórmulas e as propriedades, a dificuldade maior eram as contas! Não se assuste com esse tipo de questão mais, beleza?
Resposta
Exercício Resolvido #3
Considere uma amostra aleatória de uma v.a. com distribuição normal. Mostre se a variância amostral é um estimador tendencioso ou não para a variância populacional .
Lembrar que:
Passo 1
Primeira coisa... lembrar o critério pra um estimador ser tendencioso ou não.
A esperança de um estimador não tendencioso é igual ao valor do parâmetro estimados.
O valor do parâmetro que no caso é a variância populacional é .
A gente vai então ter que calcular a esperança do e ver se dá igual a . Pegou a ideia?
Passo 2
Vamos calcular então .
Até aqui beleza? Só tirei o que tava constante pra fora.
Passo 3
Vamos calcular essa parte agora separado...
Apliquei uma propriedade da esperança..
Vendo por partes.. vamos analisar primeiro o .
A gente sabe que..
Essa é uma relação entre a esperança e a variância de uma variável.
E esses valores a gente já conhece.. (dá uma olhada lá no conteúdo do capítulo)
Então..
Passo 4
Vamos analisar agora
Se fosse só , a gente faria assim..
A gente sabe que e que .
Ai ficaria..
Como temos o somatório de valores de , basta multiplicarmos isso que encontramos por .
Passo 5
Vamos juntar agora e tirar nossa conclusão.
Substituindo pelos valores que a gente encontrou.
Multiplicando o pra dentro do colchete.
Colocando em evidência o .
Opa!! E agora? Esse é o momento em que você já não sabe mais o que está fazendo haha..
O que a gente acabou de descobrir é que a esperança do é igual ao valor do parâmetro que a gente queria .
Isso quer dizer que é um estimador não tendencioso para a variância populacional .
Resposta
Exercício Resolvido #4
Suponha que a variável aleatória
siga distribuição Exponencial com parâmetro desconhecido, e tome uma amostra aleatória de . Denote por a mediana de (lembre que , com a função de densidade da v.a. ), e seja um estimador de , em que denota a média amostral de .
- é um estimador não-tendencioso para ? Por quê?
- Obtenha o erro médio quadrático de como estimador de .
Passo 1
(a)
Um estimador é não-tendencioso quando o valor esperado é igual o valor do parâmetro.
Primeiro a gente tinha que lembrar que: