Intervalo de Confiança para Proporção

Teoria Completa

Vamos usar o mesmo raciocínio usado pra I C pra média populacional. Inicialmente, temos lá do dimensionamento da amostra que:

P p ^ - p ≤ d = 1 - α

Que é o mesmo que:

P p ^ - d ≤ p ≤ p ^ + d = 1 - α

Pra saber o valor de d , vamos usar a fórmula pro dimensionamento da amostra.

n = z 1 - α 2 d 2 . p . 1 - p

Já sabendo o valor de n , podemos descobrir o valor de d .

d = z 1 - α 2 . p 1 - p n

Com isso ficamos com:

P p ^ - z 1 - α 2 . p 1 - p n ≤ p ≤ p ^ + z 1 - α 2 . p 1 - p n = 1 - α

Temos agora o mesmo problema de outras vezes, nós não conhecemos o valor de p . Vamos ter duas soluções pra isso.

  1. Lembrando que p ( 1 - p ) ≤ 1 / 4 , substituímos p ( 1 - p ) por 1/4.

P p ^ - z 1 - α 2 . 1 4 n ≤ p ≤ p ^ + z 1 - α 2 . 1 4 n = 1 - α

isso nos leva ao intervalo de confiança conservativo para p , já que a atitude de substituir p ( 1 - p ) pelo maior valor possível que é 1/4 , é ser conservativo.

I C = p ^ - z 1 - α 2 . 1 4 n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . 1 4 n

Intervalo de Confiança para Proporção Populacional Não Conservativo

Vamos usar o mesmo raciocínio usado pra I C pra média populacional. Inicialmente, temos lá do dimensionamento da amostra que:

P p ^ - p ≤ d = 1 - α

Que é o mesmo que:

P p ^ - d ≤ p ≤ p ^ + d = 1 - α

Pra saber o valor de d , vamos usar a fórmula pro dimensionamento da amostra.

n = z 1 - α 2 d 2 . p . 1 - p

Já sabendo o valor de n , podemos descobrir o valor de d .

d = z 1 - α 2 . p 1 - p n

Com isso ficamos com:

P p ^ - z 1 - α 2 . p 1 - p n ≤ p ≤ p ^ + z 1 - α 2 . p 1 - p n = 1 - α

Temos agora o mesmo problema de outras vezes, nós não conhecemos o valor de p . Para um intervalo não conservativo iremos:

  1. Simplesmente substituir p por sua estimativa p ^ .

P p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n ≤ p ≤ p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n = 1 - α

Isso nos leva ao intervalo de confiança não conservativo para p :

I C = p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n

E como o próprio nome já indica, um o intervalo conservativo será sempre maior já que ele está considerando o pior caso.

Exemplo: Um fabricante de pentes de memória RAM para computadores, que produz em grandes quantidades, deseja estimar a fração p de unidades defeituosas elaboradas por sua indústria. Para isso ele selecionou uma amostra aleatória de 200 unidades e verificou que, entre elas, 5 eram defeituosas. Construa um intervalo de confiança de 95 % para p .

Passo1) Calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975

Olhando na tabela da Normal → z 0,975 = 1,96 .

Passo2) Vamos usar o intervalo não conservativo.

Cálculo da proporção amostral:

p ^ = 5 200 = 0,025

Passo3) Calcular d , sabendo que no intervalo não conservativo substituímos a proporção populacional pela proporção amostral na fórmula de d .

d = z 1 - α 2 . p 1 - p n

d = 1,96 × 0,025 × 0,975 200

d = 0,022

Passo4) Determinar o intervalo não conservativo.

I C = 0,025 - 0,022   ; 0,025 + 0,022

I C = ( 0,003   ; 0,047 )

Expandir

Exercício Resolvido #1

P2- 2012.2 – UFRJ Intervalo de Confiança

Um estudo com 420.095 dinamarqueses usuários de telefones celulares descobriu que 135 deles tinham desenvolvido câncer no cérebro. Uma pesquisa anterior a essa, diz que a taxa de incidência de tipo de câncer era de 0,034% para pessoas que não usavam telefones celulares.

  1. Construa um intervalo de 95% de confiança, não-conservativo, para a proporção de usuários de telefone celular que desenvolvem câncer no cérebro.
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Passo 1

(a)

Nesse item a gente tem que montar um intervalo não-conservativo que tem essa cara aqui:

I C = p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n

A gente pode calcular p ^ .

p ^ = 135 420095 = 0,000321

Passo 2

Pra gente montar o intervalo falta levar em consideração o 95%.

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 0,975 = 1,96

Agora a gente pode substituir no intervalo ali..

I C = 0,000321 - 1,96 × 0,000321 × 1 - 0,000321 420095   ;   0,000321 + 1,96 × 0,000321 × 1 - 0,000321 420095

I C = ( 0,000267   ;     0,000375 )

Resposta

a   I C = ( 0,000267   ;     0,000375 )

Exercício Resolvido #2

Lista Regina – CEFET Intervalo de Confiança

Um fabricante de calculadoras eletrônicas está interessado em estimar a fração de unidades defeituosas produzidas. Uma amostra aleatória de 800 calculadoras contém 10 defeitos. Calcule um intervalo de confiança de 99% para a fração defeituosa.

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Passo 1

Note que vamos fazer um intervalo de confiança para uma fração, ou seja, I C para uma proporção.

Sabemos que vai ter essa cara aqui:

P p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n ≤ p ≤ p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n = 1 - α

Mas vamos com calma..

Passo 2

Confiança de 99%.

1 - α = 0,99

α = 0,01

e..

z 1 - α 2 = z 0,995

Olhando na tabela da Normal..

z 0,995 = 2,58

Passo 3

Calcular a estimativa amostral p ^ .

O problema diz que a amostra tem 800 calculadoras e 10 com defeito, então:

n = 800

p ^ = 10 800 = 0,0125

Passo 4

Agora só calcular...

P p ^ - z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n ≤ p ≤ p ^ + z 1 - α 2 . p ^ 1 - p ^ n = 1 - α

P 0,0125 - 2,58 × 0,0125 × 1 - 0,0125 800 ≤ p ≤ 0,0125 + 2,58 × 0,0125 × 1 - 0,0125 800 = 0,99

P 0,00238 ≤ p ≤ 0,0226 = 0,99

Assim:

I C = ( 0,00238   ; 0,0226 )

Resposta

P 0,00238 ≤ p ≤ 0,0226 = 0,99

Exercício Resolvido #3

Instituto de matemática UFRJ.

Pesquisadores desejam estudar o tempo gasto por engenheiros para executarem determinada tarefa. Para isto, foram selecionados aleatoriamente 64 engenheiros. Observou-se, nessa amostra, que a soma do tempo gasto por eles foi de 192 horas enquanto a soma dos quadrados dos tempos foi de 828 horas².

Sabendo-se que, dentre os 64 engenheiros selecionados, 16 eram recém formados, determine o intervalo de 99% de confiança (conservativo) para a proporção populacional de engenheiros recém formados.

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Passo 1

(a)

Vamos anotar os dados que o problema deu..

n = 64

A gente sabe que o IC conservativo é da seguinte forma..

I C = p ^ - z 1 - α 2 . 1 4 n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . 1 4 n

E de acordo com o problema,

p ^ = 16 64 = 0,25

Passo 2

Vamos calcular α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,99 → α = 0,01

z 1 - α 2 = z 0,995 = 2,57

Passo 3

Calculamos d ..

d = z 1 - α 2 . 1 4 n

d = 2,57 × 1 4 × 64

d = 0,16

Passo 4

Com isso temos nosso IC...

I C = 0,25 - 0,16   ; 0,25 + 0,16

I C = ( 0,09   ; 0,41 )

Resposta

I C = ( 0,09   ; 0,41 )

Exercício Resolvido #4

P2- 2013.1 – UFRJ Intervalo de Confiança

Os candidatos A e B disputam as eleições para a prefeitura da cidade de Bayesville. Em uma pesquisa de intenção de voto, uma amostra aleatória de tamanho 400 foi retirada da população e observou-se que a proporção dos eleitores que votariam em A era de 0,55 e a proporção dos eleitores que votariam em B era de 0,30, sendo o restante brancos, nulos e indecisos.

  1. Determine intervalos de 90% de confiança conservativos para a proporção de eleitores na população que votariam em A e para a proporção de eleitores na população que votariam em B, cada um deles com 3 casas decimais;
  2. Usando novamente a opção conservativa, qual deve ser o tamanho da amostra para que a margem de erro para cima ou para baixo da proporção amostral dos eleitores que votariam em A e da proporção amostral dos eleitores que votariam em B seja de 0,02 (ou de 2 pontos percentuais, usando a linguagem dos noticiários jornalísticos) com 95% de confiança?
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Passo 1

(a)

Se liga, ele tá falando de intervalo de confiança conservativo. Se tu se lembrar, esse aqui é o intervalo conservativo..

I C = p ^ - z 1 - α 2 . 1 4 n   ;   p ^ + z 1 - α 2 . 1 4 n

Pros dois casos a gente tem algumas coisas em comum:

n = 400

1 - α = 0,9 → α = 0,1

z 0,95 = 1,64