Intervalo de Confiança para Variância Populacional

Teoria Completa

IC para Variância Populacional

Tá, já vimos intervalo de confiança para média populacional, proporção populacional...

Aí você ficou empolgado, achando que tinha acabado... sqn! Haha

Faltou adivinhem ? Intervalo de confiança para a variância populacional ( σ 2 ) .

Vai parecer meio complicado, mas não se assustem, vai dar tudo certo!

Bom...

Algo lógico: se a gente tá procurando um intervalo de confiança para a variância é porque a gente não conhece o valor exato dela ( σ 2 ) , concorda? Beleza.

Então vamos tentar achar uma relação entre σ ² e sua estimativa amostral s ² .

A gente sabe que:

s 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1

Continuando... divido tudo por σ ² :

s 2 σ 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1 σ 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1 . σ ²

Até aí foi?

Agora vem o pulo do gato, uma novidade que você vai adorar, ou não.

Vamos dizer que:

∑ x i - x ¯ 2 σ ²     ~     χ n - 1 2

Substituindo no início, descobrimos que:

s 2 σ 2 = 1 n - 1 . χ n - 1 2  

Ou..

χ n - 1 2 = s 2 n - 1 σ 2

WTF?

Vamos falar agora melhor sobre essa novidade aí.

Qui-Quadrado

A novidade que apareceu ali é uma nova distribuição (como a Normal e a T de Student) que vai ajudar a gente a fazer nosso intervalo de confiança.

χ ² → d i s t r i b u i ç ã o   Q u i - Q u a d r a d o

Mais uma distribuição, mais uma tabelinha... Distribuição Q u i - Q u a d r a d o . “Qui” é o nome dessa letra aí → χ , só por curiosidade mesmo.

Calma jovem, as coisas vão ficar mais humanas, sem desesperos. No final, é tudo continha.

Vou te ensinar primeiro como usar a tabela Q u i - Q u a d r a d o .

Os parâmetros que a gente vai precisar são:

υ = n °   g r a u s   d e   l i b e r d a d e = n - 1

E valores de p pra acharmos χ p na tabela.

Mesma coisa que t   d e   s t u d e n t .

A diferença é que se antes era comum procurarmos por valores de 1 - α 2 , agora além de um χ n - 1 ,     1 - α 2 2 , iremos procurar também por χ n - 1 , α 2 2 .

Você vai entender melhor já já!

Podemos representar assim também oh:

χ n - 1 , α 2 2           →           1 ° : g r a u   d e   l i b e r d a d e - 2 ° : v a l o r   d e   p

Testando...

  • Achar o valor de χ 10,0 , 995 2

Cruzando a linha 10 com a coluna 0,995     → χ 10,0 , 995 2 = 25,188 .

Foi ?

O Intervalo de Confiança

Tá, agora vamos transformar tudo isso que eu disse em algo mais prático, que é o que interessa de verdade.

Para o caso do I C para a média a gente tinha...

P L i n f ≤ μ ≤ L s u p = 1 - α

Lembra?

Nada mudou..

Atualizando isso para o caso da variância, usando nosso novo amigo Q u i - Q u a d r a d o .

P χ i n f 2 ≤ χ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

Agora vem uma última novidade, esses valores inferior e superior são definidos como:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , 1 - α 2 2

Lembra que eu disse que a gente ia precisar do α 2 e do 1 - α 2 ?

Anota na testa! Hehe..

Voltando....

P χ i n f 2 ≤ χ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

A gente sabe que:

χ n - 1 2 = s 2 n - 1 σ 2

Substituindo:

P χ i n f 2 ≤ s 2 n - 1 σ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

Mas eu quero um intervalo para a σ ² . Posso inverter tudo então, você deixa? Beleza...

P 1 χ s u p 2 ≤ σ ² s 2 n - 1 ≤ 1 χ i n f 2 = 1 - α

Estamos quase lá... multiplico geral por s ² ( n - 1 ) :

P s ² ( n - 1 ) χ s u p 2 ≤ σ ² ≤ s ² ( n - 1 ) χ i n f 2 = 1 - α

Fim!

Nosso intervalo de confiança para a variância com 1 - α % de confiança será:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

E se você quiser fazer algo com relação ao desvio padrão ( σ ) , de boas, só tirar raiz quadrada de geral.

Vlw, flws..

Vamos de exercícios agora.

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC – 2013.2 – P3 -Intervalo de Confiança – Qui Quadrado

Uma fábrica de alimentos comercializa sacos de feijão para pequenos supermercados. Toma-se uma amostra com 30 sacos de feijão de uma determinada população, com média igual a 50 k g e variância igual 12 k g ² .

  1. O intervalo de confiança de 95 % e 99 % para a variância da normal desta população.
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Passo 1

A gente tem os dados da amostra:

n = 30

s ² = 12

E vamos montar dois intervalos de confiança para a variância populacional, σ ² .

Esses dois intervalos são feitos da mesma maneira, tem a mesma cara... que é:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

Aí esses valores de baixo são os que a gente pega na tabela Q u i   Q u a d r a d o .

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2

E são eles que vão mudar em cada intervalo, porque dependem do α .

Passo 2

Quem é α ? Quando o intervalo é de 99 % ...

1 - α = 0,99 → α = 0,01

Aí a gente precisa do α 2 e do 1 - α 2 .

α 2 = 0,005       e       1 - α 2 = 0,995

O número de graus de liberdade é n - 1 → 30 - 1 = 29

Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do 29 com as duas colunas certas.. a gente tem:

χ i n f 2 = 13,121

χ s u p 2 = 52,336

Passo 3

Agora é só jogar na fórmula do intervalo, já temos tudo!

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 12 × 29 52,336     , 12 × 29 13,121

I C = 6,65   ; 26,52

Passo 4

Se o intervalo é de 95 % ...

1 - α = 0,95 → α = 0,05

Aí a gente precisa do α 2 e do 1 - α 2 .

α 2 = 0,025       e       1 - α 2 = 0,975

O número de graus de liberdade é n - 1 → 30 - 1 = 29

Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do 29 com as duas colunas certas.. a gente tem:

χ i n f 2 = 16,047

χ s u p 2 = 45,772

Passo 5

Só jogar na fórmula de novo

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 12 × 29 45,772     , 12 × 29 16,047

I C = 7,60   ; 21,69

Resposta

a   I C = 6,65   ; 26,52   e   I C = 7,60   ; 21,69

Exercício Resolvido #2

PUC – 2011.1 – P3 - Intervalo de Confiança – Qui Quadrado

Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média " μ " e variância " σ ² " , ambas desconhecidas.

Seja X = ( 3 ,   7 ,   2 ,   4 ,   4 ,   9 ,   6 ,   8 ,   5 ,   2 ) , uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população:

Pede-se:

b) O intervalo de confiança ao nível de confiança de 90 % , para " σ ² " .

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Passo 1

(b)

Agora partiu fazer um intervalo de confiança para a variância.

A gente sabe que o intervalo de confiança nesses casos tem a seguinte cara:

I C = s 2 n - 1 χ i n f 2 , s 2 n - 1 χ s u p 2

E que:

χ i n f 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , α 2 2

É só a gente calcular cada parte.

Sabendo que n - 1 = 9 e 1 - α 2 = 0,95 ,   s 2 = 6 , α 2 = 0,05 .

Passo 2

χ i n f 2 = χ n - 1,1 - α 2 2

= χ 9 ; 0,95 2

= 16,92

χ s u p 2 = χ n - 1 , α 2 2

= χ 9 ; 0,05 2

= 3,33

Passo 3

Agora só completar o I C .

I C = 6 × 9 16,92   ; 6 × 9 3,33

I C = ( 3,19   ; 16,22 )

Resposta

b   I C = ( 3,19   ; 16,22 )

Exercício Resolvido #3

PUC – 2012.2 – P3 -Intervalo de Confiança – Qui Quadrado

Seja " X " uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média " μ " e variância " σ ² " , ambas desconhecidas. Toma-se um amostra de tamanho " n " igual a 30 de uma determinada população, com média igual a 30 e variância igual a 25 .

Pede-se:

  1. O intervalo de confiança de 99 % para a variância da normal desta população.
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Passo 1

(a)

A gente não conhece os parâmetros da normal da população, e vamos estimar eles usando os dados que a gente tem da amostra..

n = 30

x ¯ = 30

s ² = 25

Passo 2

Primeiro vamos fazer um intervalo para a variância σ 2 .

Você lembra a cara desse intervalo? Vou recordar pra você aqui..

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

Aí esses valores de baixo são os que a gente pega na tabela Q u i   Q u a d r a d o .

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2

Passo 3

Vamos achar os valores da tabela...

Quem é α ? Se o intervalo é de 99 % ...

1 - α = 0,99 → α = 0,01

Aí a gente precisa do α 2 e do 1 - α 2 .

α 2 = 0,005       e       1 - α 2 = 0,995

O número de graus de liberdade é n - 1 → 30 - 1 = 29

Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do 29 com as duas colunas certas.. a gente tem:

χ i n f 2 = 13,121

χ s u p 2 = 52,336

Passo 4

Agora é só jogar na fórmula do intervalo, já temos tudo!

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 25 × 29 52,336     , 25 × 29 13,121

I C = 13,85   ; 55,25

Resposta

a   I C = 13,85   ; 55,25

Exercício Resolvido #4

Lista Regina – CEFET Intervalo de Confiança – Qui Quadrado

Um cano deve ser colocado em um fresta já existente. Se o desvio-padrão do diâmetro do cano exceder 0,01mm, haverá uma probabilidade inaceitavelmente alta de que o cano não se ajuste. Uma amostra aleatória de n = 15 peças é selecionada e o diâmetro de cada cano é medido. O desvio-padrão do cano é s = 0,008 m m . Construa um intervalo de confiança de 99% para a variância verdadeira da peça. O cano poderá ser colocado nesta fresta?

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Passo 1

Vamos aos dados do problema primeiro:

n = 15   p e ç a s

s = 0,008   m m

Pedem pra gente fazer um intervalo de confiança para a variância verdadeira da peça com 99% de confiança.

Intervalo de confiança pra variância você já está ligado que vamos usar Q u i - Q u a d r a d o .

Passo 2

Pelo que aprendemos, a gente sabe que o I C terá a cara:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

Vamos calcular o que falta então:

χ i n f 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , α 2 2

Como a confiança é de 99%.

1 - α = 0,99

α = 0,01

e...

χ α 2 = χ 0,005 ≅ 4,07

χ 1 - α 2 = χ 0,995 = 31,32

Já que são 14 graus de liberdade, concorda?

Passo 3

Agora sim...

χ i n f 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , α 2 2

χ i n f 2 = 31,32 χ s u p 2 = 4,07

Podemos calcular o I C .

I C = s 2 n - 1 χ i n f 2 , s 2 n - 1 χ s u p 2

= 0,008 ² × 14 31,32 , 0,008 ² × 14 4,07

I C = ( 0,0000286   ; 0,00022 )

Para achar o I C para o caso do desvio padrão, basta tirar a raiz, aí ficaria:

I C = ( 0,00535   ; 0,01483 )

P 0,00535 ≤ σ ≤ 0,01483 = 0,99

Passo 4

O exercício diz que o diâmetro exceder 0,01 m m existe grande chance do cano não se ajustar a fresta.

Como no nosso intervalo abrange o valor de 0,01 m m de desvio padrão, significa que há chance dele exceder 0,01 m m ... isso significa que o cano não deveria ser colocado na fresta.

Resposta

Exercício Resolvido #5

Prof. Luiz A. Peternelli – DPI, UFV.

Tintas para marcação em asfalto de rodovias são oferecidas em duas cores, branca e amarela. O tempo de secagem dessas tintas é de muito interesse, e especificamente, suspeita-se que a tinta amarela seca mais rápido do que a branca. Amostras foram obtidas para a medição dos tempos de secagem (em minutos), em condições reais das duas tintas:

c) Obtenha o I C   ( 95 % ) para a variância do tempo de secagem de cada tipo de tinta.

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Passo 1

Vamos começar pela tinta branca. Vamos calcular a variância amostral s ² dela, começando calculando a média x - :

x - = ∑ x n = 120 + 132 + 123 + 122 + 140 + 110 + 120 + 107 8 = 121,75

E agora podemos calcular s ² por:

s ² = ∑ ( x - x - ) ² n - 1

s ² = 120 - 121,75 ² + 132 - 121,75 ² + 123 - 121,75 2 + 122 - 121,75 2 + 140 - 121,75 2 + 110 - 121,75 2 + 120 - 121,75 2 + ( 107 - 121,75 ) ² 8 - 1

s ² = 114,5

Passo 2

Como o nível de confiança pedido é de 95 % :

1 - 0,95 = α

α = 0,05

Agora vamos calcular nossos χ ², lembrando que n = 8 . Primeiro o superior:

χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 = χ 7,0 , 975 2

Procurando o valor desse cara aí na tabela:

χ s u p 2 = 16,013

E agora o inferior:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 = χ 7,0 , 025 2

Procurando esse qui-quadrado na tabela:

χ i n f 2 = 1,690

Então o I C para a tinta branca, juntando tudo na fórmula, vai ser:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 ; s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 114,5 × 8 - 1 16,013 ; 114,5 × 8 - 1 1,690

I C B R A N C A = ( 50,05 ; 474,26 )

Passo 3

Agora vamos calcular para a tinta amarela. Primeiro a média amostral:

x - = ∑ x n = 126 + 124 + 116 + 125 + 109 + 130 + 125 + 117 + 129 + 120 10 = 121,5

E agora podemos calcular s ² por:

s ² = ∑ ( x - x - ) ² n - 1

s ² = 126 - 121,5 2 + 124 - 121,5 2 + 116 - 121,5 2 + 125 - 121,5 2 + 109 - 121,5 2 + 130 - 121,5 2 + 125 - 121,5 2 + 117 - 121,5 2 + 117 - 121,5 2 + 129 - 121,5 2 + ( 120 - 121,5 ) ² 10 - 1

s ² = 42 , 7 7

Passo 4

Agora vamos calcular nossos χ ², lembrando que n = 10 e α = 0,05 . Primeiro o superior:

χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2 = χ 9,0 , 975 2

Procurando o valor desse cara aí na tabela:

χ s u p 2 = 19,023

E agora o inferior:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 = χ 9,0 , 025 2

Procurando esse qui-quadrado na tabela:

χ i n f 2 = 2,700