Teoria Completa
IC para Variância Populacional
Tá, já vimos intervalo de confiança para média populacional, proporção populacional...
Aí você ficou empolgado, achando que tinha acabado... sqn! Haha
Faltou adivinhem ? Intervalo de confiança para a variância populacional .
Vai parecer meio complicado, mas não se assustem, vai dar tudo certo!
Bom...
Algo lógico: se a gente tá procurando um intervalo de confiança para a variância é porque a gente não conhece o valor exato dela , concorda? Beleza.
Então vamos tentar achar uma relação entre e sua estimativa amostral .
A gente sabe que:
Continuando... divido tudo por :
Até aí foi?
Agora vem o pulo do gato, uma novidade que você vai adorar, ou não.
Vamos dizer que:
Substituindo no início, descobrimos que:
Ou..
WTF?
Vamos falar agora melhor sobre essa novidade aí.
Qui-Quadrado
A novidade que apareceu ali é uma nova distribuição (como a Normal e a T de Student) que vai ajudar a gente a fazer nosso intervalo de confiança.
Mais uma distribuição, mais uma tabelinha... Distribuição . “Qui” é o nome dessa letra aí , só por curiosidade mesmo.
Calma jovem, as coisas vão ficar mais humanas, sem desesperos. No final, é tudo continha.
Vou te ensinar primeiro como usar a tabela .
Os parâmetros que a gente vai precisar são:
E valores de pra acharmos na tabela.
Mesma coisa que .
A diferença é que se antes era comum procurarmos por valores de , agora além de um , iremos procurar também por .
Você vai entender melhor já já!
Podemos representar assim também oh:
Testando...
- Achar o valor de
Cruzando a linha 10 com a coluna 0,995.
Foi ?
O Intervalo de Confiança
Tá, agora vamos transformar tudo isso que eu disse em algo mais prático, que é o que interessa de verdade.
Para o caso do para a média a gente tinha...
Lembra?
Nada mudou..
Atualizando isso para o caso da variância, usando nosso novo amigo .
Agora vem uma última novidade, esses valores inferior e superior são definidos como:
Lembra que eu disse que a gente ia precisar do e do ?
Anota na testa! Hehe..
Voltando....
A gente sabe que:
Substituindo:
Mas eu quero um intervalo para a . Posso inverter tudo então, você deixa? Beleza...
Estamos quase lá... multiplico geral por :
Fim!
Nosso intervalo de confiança para a variância com de confiança será:
E se você quiser fazer algo com relação ao desvio padrão , de boas, só tirar raiz quadrada de geral.
Vlw, flws..
Vamos de exercícios agora.
Exercício Resolvido #1
Uma fábrica de alimentos comercializa sacos de feijão para pequenos supermercados. Toma-se uma amostra com sacos de feijão de uma determinada população, com média igual a e variância igual .
- O intervalo de confiança de e para a variância da normal desta população.
Passo 1
A gente tem os dados da amostra:
E vamos montar dois intervalos de confiança para a variância populacional, .
Esses dois intervalos são feitos da mesma maneira, tem a mesma cara... que é:
Aí esses valores de baixo são os que a gente pega na tabela .
E são eles que vão mudar em cada intervalo, porque dependem do .
Passo 2
Quem é ? Quando o intervalo é de ...
Aí a gente precisa do e do .
O número de graus de liberdade é
Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do com as duas colunas certas.. a gente tem:
Passo 3
Agora é só jogar na fórmula do intervalo, já temos tudo!
Passo 4
Se o intervalo é de ...
Aí a gente precisa do e do .
O número de graus de liberdade é
Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do com as duas colunas certas.. a gente tem:
Passo 5
Só jogar na fórmula de novo
Resposta
Exercício Resolvido #2
Seja uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média e variância , ambas desconhecidas.
Seja , uma amostra aleatória de tamanho desta população:
Pede-se:
b) O intervalo de confiança ao nível de confiança de , para .
Passo 1
(b)
Agora partiu fazer um intervalo de confiança para a variância.
A gente sabe que o intervalo de confiança nesses casos tem a seguinte cara:
E que:
É só a gente calcular cada parte.
Sabendo que e .
Passo 2
Passo 3
Agora só completar o .
Resposta
Exercício Resolvido #3
Seja uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média e variância , ambas desconhecidas. Toma-se um amostra de tamanho igual a de uma determinada população, com média igual a e variância igual a .
Pede-se:
- O intervalo de confiança de para a variância da normal desta população.
Passo 1
(a)
A gente não conhece os parâmetros da normal da população, e vamos estimar eles usando os dados que a gente tem da amostra..
Passo 2
Primeiro vamos fazer um intervalo para a variância .
Você lembra a cara desse intervalo? Vou recordar pra você aqui..
Aí esses valores de baixo são os que a gente pega na tabela .
Passo 3
Vamos achar os valores da tabela...
Quem é ? Se o intervalo é de ...
Aí a gente precisa do e do .
O número de graus de liberdade é
Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do com as duas colunas certas.. a gente tem:
Passo 4
Agora é só jogar na fórmula do intervalo, já temos tudo!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Um cano deve ser colocado em um fresta já existente. Se o desvio-padrão do diâmetro do cano exceder 0,01mm, haverá uma probabilidade inaceitavelmente alta de que o cano não se ajuste. Uma amostra aleatória de peças é selecionada e o diâmetro de cada cano é medido. O desvio-padrão do cano é . Construa um intervalo de confiança de 99% para a variância verdadeira da peça. O cano poderá ser colocado nesta fresta?
Passo 1
Vamos aos dados do problema primeiro:
Pedem pra gente fazer um intervalo de confiança para a variância verdadeira da peça com 99% de confiança.
Intervalo de confiança pra variância você já está ligado que vamos usar
Passo 2
Pelo que aprendemos, a gente sabe que o terá a cara:
Vamos calcular o que falta então:
Como a confiança é de 99%.
e...
Já que são 14 graus de liberdade, concorda?
Passo 3
Agora sim...
Podemos calcular o .
Para achar o para o caso do desvio padrão, basta tirar a raiz, aí ficaria:
Passo 4
O exercício diz que o diâmetro exceder 0,01 existe grande chance do cano não se ajustar a fresta.
Como no nosso intervalo abrange o valor de 0,01 de desvio padrão, significa que há chance dele exceder 0,01 ... isso significa que o cano não deveria ser colocado na fresta.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Tintas para marcação em asfalto de rodovias são oferecidas em duas cores, branca e amarela. O tempo de secagem dessas tintas é de muito interesse, e especificamente, suspeita-se que a tinta amarela seca mais rápido do que a branca. Amostras foram obtidas para a medição dos tempos de secagem (em minutos), em condições reais das duas tintas:
c) Obtenha o para a variância do tempo de secagem de cada tipo de tinta.
Passo 1
Vamos começar pela tinta branca. Vamos calcular a variância amostral dela, começando calculando a média :
E agora podemos calcular por:
Passo 2
Como o nível de confiança pedido é de :
Agora vamos calcular nossos ², lembrando que . Primeiro o superior:
Procurando o valor desse cara aí na tabela:
E agora o inferior:
Procurando esse qui-quadrado na tabela:
Então o para a tinta branca, juntando tudo na fórmula, vai ser:
Passo 3
Agora vamos calcular para a tinta amarela. Primeiro a média amostral:
E agora podemos calcular por:
Passo 4
Agora vamos calcular nossos ², lembrando que e . Primeiro o superior:
Procurando o valor desse cara aí na tabela:
E agora o inferior:
Procurando esse qui-quadrado na tabela: