Intervalo de Confiança para Variância Populacional

Teoria Completa

IC para Variância Populacional

Tá, já vimos intervalo de confiança para média populacional, proporção populacional...

Aí você ficou empolgado, achando que tinha acabado... sqn! Haha

Faltou adivinhem ? Intervalo de confiança para a variância populacional ( σ 2 ) .

Vai parecer meio complicado, mas não se assustem, vai dar tudo certo!

Bom...

Algo lógico: se a gente tá procurando um intervalo de confiança para a variância é porque a gente não conhece o valor exato dela ( σ 2 ) , concorda? Beleza.

Então vamos tentar achar uma relação entre σ ² e sua estimativa amostral s ² .

A gente sabe que:

s 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1

Continuando... divido tudo por σ ² :

s 2 σ 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1 σ 2 = ∑ x i - x ¯ 2 n - 1 . σ ²

Até aí foi?

Agora vem o pulo do gato, uma novidade que você vai adorar, ou não.

Vamos dizer que:

∑ x i - x ¯ 2 σ ²     ~     χ n - 1 2

Substituindo no início, descobrimos que:

s 2 σ 2 = 1 n - 1 . χ n - 1 2  

Ou..

χ n - 1 2 = s 2 n - 1 σ 2

WTF?

Vamos falar agora melhor sobre essa novidade aí.

Qui-Quadrado

A novidade que apareceu ali é uma nova distribuição (como a Normal e a T de Student) que vai ajudar a gente a fazer nosso intervalo de confiança.

χ ² → d i s t r i b u i ç ã o   Q u i - Q u a d r a d o

Mais uma distribuição, mais uma tabelinha... Distribuição Q u i - Q u a d r a d o . “Qui” é o nome dessa letra aí → χ , só por curiosidade mesmo.

Calma jovem, as coisas vão ficar mais humanas, sem desesperos. No final, é tudo continha.

Vou te ensinar primeiro como usar a tabela Q u i - Q u a d r a d o .

Os parâmetros que a gente vai precisar são:

υ = n °   g r a u s   d e   l i b e r d a d e = n - 1

E valores de p pra acharmos χ p na tabela.

Mesma coisa que t   d e   s t u d e n t .

A diferença é que se antes era comum procurarmos por valores de 1 - α 2 , agora além de um χ n - 1 ,     1 - α 2 2 , iremos procurar também por χ n - 1 , α 2 2 .

Você vai entender melhor já já!

Podemos representar assim também oh:

χ n - 1 , α 2 2           →           1 ° : g r a u   d e   l i b e r d a d e - 2 ° : v a l o r   d e   p

Testando...

  • Achar o valor de χ 10,0 , 995 2

Cruzando a linha 10 com a coluna 0,995     → χ 10,0 , 995 2 = 25,188 .

Foi ?

O Intervalo de Confiança

Tá, agora vamos transformar tudo isso que eu disse em algo mais prático, que é o que interessa de verdade.

Para o caso do I C para a média a gente tinha...

P L i n f ≤ μ ≤ L s u p = 1 - α

Lembra?

Nada mudou..

Atualizando isso para o caso da variância, usando nosso novo amigo Q u i - Q u a d r a d o .

P χ i n f 2 ≤ χ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

Agora vem uma última novidade, esses valores inferior e superior são definidos como:

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1 , 1 - α 2 2

Lembra que eu disse que a gente ia precisar do α 2 e do 1 - α 2 ?

Anota na testa! Hehe..

Voltando....

P χ i n f 2 ≤ χ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

A gente sabe que:

χ n - 1 2 = s 2 n - 1 σ 2

Substituindo:

P χ i n f 2 ≤ s 2 n - 1 σ 2 ≤ χ s u p 2 = 1 - α

Mas eu quero um intervalo para a σ ² . Posso inverter tudo então, você deixa? Beleza...

P 1 χ s u p 2 ≤ σ ² s 2 n - 1 ≤ 1 χ i n f 2 = 1 - α

Estamos quase lá... multiplico geral por s ² ( n - 1 ) :

P s ² ( n - 1 ) χ s u p 2 ≤ σ ² ≤ s ² ( n - 1 ) χ i n f 2 = 1 - α

Fim!

Nosso intervalo de confiança para a variância com 1 - α % de confiança será:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

E se você quiser fazer algo com relação ao desvio padrão ( σ ) , de boas, só tirar raiz quadrada de geral.

Vlw, flws..

Vamos de exercícios agora.

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC – 2013.2 – P3 -Intervalo de Confiança – Qui Quadrado

Uma fábrica de alimentos comercializa sacos de feijão para pequenos supermercados. Toma-se uma amostra com 30 sacos de feijão de uma determinada população, com média igual a 50 k g e variância igual 12 k g ² .

  1. O intervalo de confiança de 95 % e 99 % para a variância da normal desta população.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A gente tem os dados da amostra:

n = 30

s ² = 12

E vamos montar dois intervalos de confiança para a variância populacional, σ ² .

Esses dois intervalos são feitos da mesma maneira, tem a mesma cara... que é:

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

Aí esses valores de baixo são os que a gente pega na tabela Q u i   Q u a d r a d o .

χ i n f 2 = χ n - 1 , α 2 2 χ s u p 2 = χ n - 1,1 - α 2 2

E são eles que vão mudar em cada intervalo, porque dependem do α .

Passo 2

Quem é α ? Quando o intervalo é de 99 % ...

1 - α = 0,99 → α = 0,01

Aí a gente precisa do α 2 e do 1 - α 2 .

α 2 = 0,005       e       1 - α 2 = 0,995

O número de graus de liberdade é n - 1 → 30 - 1 = 29

Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do 29 com as duas colunas certas.. a gente tem:

χ i n f 2 = 13,121

χ s u p 2 = 52,336

Passo 3

Agora é só jogar na fórmula do intervalo, já temos tudo!

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 12 × 29 52,336     , 12 × 29 13,121

I C = 6,65   ; 26,52

Passo 4

Se o intervalo é de 95 % ...

1 - α = 0,95 → α = 0,05

Aí a gente precisa do α 2 e do 1 - α 2 .

α 2 = 0,025       e       1 - α 2 = 0,975

O número de graus de liberdade é n - 1 → 30 - 1 = 29

Podemos procurar na tabela já... cruzando a linha do 29 com as duas colunas certas.. a gente tem:

χ i n f 2 = 16,047

χ s u p 2 = 45,772

Passo 5

Só jogar na fórmula de novo

I C = s 2 n - 1 χ s u p 2 , s 2 n - 1 χ i n f 2

I C = 12 × 29 45,772     , 12 × 29 16,047

I C = 7,60   ; 21,69

Resposta

a   I C = 6,65   ; 26,52   e   I C = 7,60   ; 21,69

Exercício Resolvido #2

PUC – 2011.1 – P3 - Intervalo de Confiança – Qui Quadrado

Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média " μ " e variância " σ ² "