Intervalo de Confiança para Diferença entre Proporções

Teoria Completa

Se a gente viu como constrói IC para diferença entre duas médias, é óbvio que não vamos querer deixar nossa querida proporção de fora!

Vamos aprender a fazer essa budega por esse exemplo:

“Uma amostra de 760 estudantes de uma faculdade A alegou que 70% deles deixa para estudar a matéria na véspera da prova. Uma outra amostra de 800 estudantes de uma faculdade B alegou que só 65% deles estudo tudo na véspera. Construa um intervalo de confiança de 90% para a diferença ( p 1 - p 2 ) entre as proporções populacionais de estudantes das faculdades que estudam só na véspera.”

Reparou as diferenças? Agora vamos querer construir um IC para duas propoções populacionais p 1 e p 2 , e vamos conhecer as proporções amostrais p ^ 1 e p ^ 2 retiradas de amostras vindas dessas populações. Vamos nomear os nossos bois.

Temos a proporção amostral da faculdade A:

p ^ 1 = 0,70

E a proporção amostral da faculdade B:

p ^ 2 = 0,65

Também temos o tamanho das nossas amostras. Vamos chamar de n a amostra da população 1 (faculdade A) e m a amostra da população 2 (faculdade B):

n = 760

m = 800

Nosso IC para ( p 1 - p 2 ) a um nível de confiança de 100 1 - α % vai ser dado por:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 - d ; ( p ^ 1 - p ^ 2 ) + d ]

Mesmo padrão de sempre, percebeu? Os p ^ nós já conhecemos! E o nosso d agora é dado por:

d = z 1 - α 2 × p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m

Vamos resolver nosso exemplo então!

Passo 1) Calcular α e z 1 - α 2

O nível de confiança pedido é de 90%, então...

1 - α = 0,90 → α = 0,10

Daí temos que nosso z vai ser:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,10 2 = z 0,95

Procurando esse cara na tabela temos que:

z 0,95 = 1,64

Passo 2) Calcular d

Substituindo os valores conhecidos para acharmos d :

d = z 1 - α 2 × p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m = 1,64 × 0,70 ( 1 - 0,70 ) 760 + 0,65 ( 1 - 0,65 ) 800

d = 0,0374

Passo 3) Construir o IC

Agora podemos substituir geral na fórmula:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 - d ; ( p ^ 1 - p ^ 2 ) + d ]

I C = [ 0,70 - 0,65 - 0,0374 ; 0,70 - 0,65 + 0,0374 ]

I C = [ 0,0126 ; 0,0874 ]

Ou seja, acabamos de garantir com 90% de confiança que a diferença entre as proporções é de no mínimo 1,26 % até o máximo de 8,74 % !

Foi? Partiu fazer exercício então!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Um biólogo está interessado em saber a diferença entre as proporções populacionais p 1 e p 2 de duas espécies de peixes que habitam em um lago. Para isso, ele recolheu uma amostra de 150 peixes e observou que 45 % deles era da espécie 1, e 36 % era da espécie 2. Construa um IC para a diferença ( p 1 - p 2 ) a um nível de confiança de 95 % .

Que conclusão pode ser tomada quanto aos valores desse IC? É possível afirmar qual das duas proporções populacionais é maior?

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Passo 1

São dadas no enunciado duas proporções amostrais:

p ^ 1 = 0,45

p ^ 2 = 0,36

E essas duas proporções forem obtidas a partir de uma amostra de 150 peixes, então:

n = m = 150

Passo 2

Sabemos que o IC para diferença de proporções é dado por:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 ) ∓ z 1 - α 2 p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m

Como o nível de confiança pedido é de 95 % :

1 - α = 0,95 → α = 0,05

Então:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,05 2 = z 0,975 = 1,96

Passo 3

Substituindo todos os valores na fórmula:

I C = ( 0,4 5 - 0,36 ∓ 1,96 0,45 ( 1 - 0,45 ) 150 + 0,36 ( 1 - 0,36 ) 150

I C = ( 0,09 ∓ 0 , 08 06 )

I C = ( - 0,0 094 ; 0 , 1706 )

Opa, então mostramos que a esse nível de confiança, existem chances do nosso IC ser negativo, ou seja, chances de p 1 - p 2 < 0 , que é a mesma coisa que dizer que a proporção de peixes da espécie 2 é maior que a de espécie 1. Mas como também temos resultados positivos no intervalo, existem chances de p 1 - p 2 > 0 , o que significaria que a proporção de peixes da espécie 1 é a maior. Ou seja, não podemos afirmar qual proporção populacional é a maior pois existem valores positivos e negativos no nosso IC!

Resposta

I C = ( - 0,0094 ; 0,1706 )

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Em virtude dos protestos quanto à degradação do meio ambiente, algumas empresas tem adotado materias totalmente recicláveis em seus produtos. Numa pesquisa, foi perguntado a 270 consumidoras e 290 consumidores, aleatoriamente selecionados, se eles comprariam um produto que não tivesse a etiqueta informativa de que os materias utilizados na embalagem são totalmente recicláveis. Dos entrevistados, 90 consumidoras e 125 consumidores responderam que não comprariam o produto. Monte um intervalo de 90 % de confiança para a diferença de proporções populacional de consumidores e consumidoras que não comprariam o produto.

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Passo 1

Como vimos, IC para diferença entre proporções é dado por:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 - d ; ( p ^ 1 - p ^ 2 ) + d ]

Onde:

d = z 1 - α 2 × p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m

Passo 2

Podemos começar calculando z 1 - α 2 . Como o nível de confiança pedido é 90 % :

1 - α = 0,9

α = 0,1

Então:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,1 2 = z 0,95

Procurando o valor desse cara na tabela da Normal:

z 0,95 = 1,64

Passo 3

Agora podemos calcular as proporções amostrais de consumidores(as) que não comprariam o produto. Primeiro as consumidoras:

p ^ 1 = 90 270 = 0,33

E agora os consumidores:

p ^ 2 = 125 290 = 0,43

Passo 4

Agora podemos substituir tudo na fórmula do d e calculá-lo:

d = z 1 - α 2 × p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m

d = 1,64 × 0,33 1 - 0,33 270 + 0,43 ( 1 - 0,43 ) 290

d = 0,07

Passo 5

E por fim podemos substituir tudo na fórmula do IC:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 - d ; ( p ^ 1 - p ^ 2 ) + d ]

I C = ( 0,33 - 0,43 - 0,07 ; ( 0,33 - 0,43 ) + 0,07 ]

I C = [ - 0,17 ; - 0,03 ]

Resposta

I C = [ - 0,17 ; - 0,03 ]

Exercício Resolvido #3

Prof. Adriano Mendonça Sousa – Departamento de Estatística UFSM

Um levantamento estatístico mostrou que 80 pessoas, das 200 consultadas, numa cidade, vão votar no candidato A na próxima eleição; uma outra amostra de 500 pessoas, dessa mesma cidade, mostrou que 150 delas vão votar no candidato B. Construir um IC de 93% para a diferença das proporções de pessoas que vão votar em A e B.

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Passo 1

Como vimos, IC para diferença entre proporções é dado por:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 - d ; ( p ^ 1 - p ^ 2 ) + d ]

Onde:

d = z 1 - α 2 × p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m

Passo 2

Podemos começar calculando z 1 - α 2 . Como o nível de confiança pedido é 93 % :

1 - α = 0,9 3

α = 0,07

Então:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,07 2 = z 0,965

Procurando o valor desse cara na tabela da Normal:

z 0,95 = 1,81

Passo 3

Agora podemos calcular as proporções amostrais dos votos. Primeiro para o candidato A:

p ^ 1 = 8 0 20 0 = 0,40

E agora para o candidato B:

p ^ 2 = 150 500 = 0 , 3 0

Passo 4

Agora podemos substituir tudo na fórmula do d e calculá-lo:

d = z 1 - α 2 × p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m

d = 1 , 81 × 0,40 1 - 0,40 200 + 0,30 ( 1 - 0,30 ) 500

d = 0,07

Passo 5

E por fim podemos substituir tudo na fórmula do IC:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 - d ; ( p ^ 1 - p ^ 2 ) + d ]

I C = ( 0 , 40 - 0,30 - 0,07 ; ( 0,40 - 0,30 ) + 0,07 ]

I C = [ 0,03 ; 0,17 ]

Resposta

I C = [ 0,03 ; 0,17 ]