Teste de Hipótese para Média Amostral com σ Desconhecido

Teoria Completa

Acabamos de ver o caso do Teste de Hipóteses para a Média Amostral com σ conhecido. Mas e quando não for?

O bizu nesse caso é mudar a distribuição a ser utilizada na estatística. Epa!!! Como assim? Ué, lembram que considerávamos a distribuição Normal? Utilizavamos o TCL, padronizávamos? Agora iremos utilizar outra distribuição, a T-Student.

A ideia é a mesma, vamos olhar um exemplo ok?

Um fabricante afirma que seus suplementos não contêm mais do que 30mg de sódio. Uma amostra de 25 potes de suplemento fornece em média 31,4mg de sódio e desvio padrão de 3mg. Sendo o nível de significância é de 5%, os dados refutam ou não a afirmação do fabricante?

) Escrever as hipóteses

H 0 : μ = 30

H 1 : μ > 30

) Supondo que X, a quantidade de sódio por pote de suplemento, tenha distribuição N ( μ , σ 2 ) , a estatística

T = n   . x - - μ S = 25 . x - - 30 S

E essa é uma distribuição T-Student, em que o parâmetro é dado pelo grau de liberdade que é representado por

n - 1

Onde n é a quantidade de termos da amostra.

Nesse caso n - 1 = 25 - 1 = 24 .

Representamos essa distribuição com t ( 24 ) .

) Por ser um teste unilateral, devemos procurar o valor de t c , que é o ponto crítico.

Lembram que utilizamos a probabilidade do erro aqui?

P e r r o I = α = P T > t c = 0,05

Para descobrir t c devemos olhar a tabela de distribuição de T-Student:

Portanto t c = 1,711

A região crítica portanto é: R C = [ 1,711 ;   + ∞ [

4º) Cálculo do valor observado na estatística:

T = n × X - - μ S

Lembrando que

X - : m é d i a   a m o s t r a l

μ : m é d i a   v a r i á v e l   a l e a t ó r i a

n : t a m a n h o   d a   a m o s t r a

S : d e s v i o   p a d r ã o   d a   a m o s t r a

Substituindo

T = 5 × 31,5 - 30 3 = 2,5

5º) Análise de t o

Precisamos analisar se t o pertence ou não a RC para saber se iremos rejeitar ou não. A regra é:

- Se T pertencer a RC então rejeitamos H 0

- Caso contrário aceitamos H 0

Neste caso temos que T pertence à região crítica portanto iremos rejeitar H 0 , ou seja, há evidencias de que os potes de suplemento contenham mais de 30mg de sódio.

Vamos olhar os exercícios...

Expandir

Exercício Resolvido #1

2ª VE – UFF - Teste de Hipóteses

O tempo de duração de um procedimento industrial é de interesse para o fabricante. Uma amostra aleatória de oito procedimentos forneceu x ¯ = 133   m i n e s = 19,3   m i n . Há alguma evidência de que o tempo médio do procedimento seja de 125 minutos? α = 5 % .

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Passo 1

Bom, temos hipóteses sobre a duração de um procedimento industrial.

Queremos testar a hipótese de que a média é de 125   m i n .

Com isso, vamos cair naquele primeiro caso:

H 0 : μ = 125   m i n

H 1 : μ ≠ 125   m i n

O nível de significância é α = 0,05 .

Passo 2

Como não conhecemos o valor de σ , e sim o de s , vamos usar a estatística de teste:

T = x ¯ - μ 0 s n

T = 133 - 125 19,3 8

T ≅ 1,17

Passo 3

Para esse caso de teste, a região de rejeição é:

T < t α 2     o u     T > t 1 - α 2

Bom, α = 0,05 , vamos ter então:

T < t 0,025     o u     T > t 0,975

Usando a tabela t   d e   s t u d e n t com 7   graus de liberdade, já que n = 8 .

t 0,975 = 2,365

t 0,025 = - t 0,975 = - 2,365

Então a região crítica ou de rejeição seria:

T < - 2,365     o u     T > 2,365

A estatística de teste que a gente tem é de:

T = 1,17

Com isso, estamos fora da região crítica, isso significa que não há nenhuma evidência contra a afirmação da média ser de 125   m i n .

Resposta

Exercício Resolvido #2

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 388.

Sergio afirma que Raquel dirige seu carro na estrada a uma velocidade média superior a 100 k m / h , enquanto Raquel discorda, afirmando dirigir na estrada a uma velocidade média menor ou igual a 100 k m / h . Para dirimir essa controvérsia, Sergio resolve cronometrar o tempo (em minutos) que ela gasta ao volante em 10 viagens, sempre pelo mesmo percurso que liga duas cidades 120   km distantes:

73     68     73     61     70     78     63     64     74     62

  1. Quem parece ter razão, ao nível de significância 5%?
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Passo 1

(a)

Primeiro vamos definir as hipóteses:

H 0 :   μ ≤ 100   Raquel

H 1 :   μ > 100   Sergio

Temos que α = 0,05 .

Na nossa amostra temos n = 10 . Não conhecemos o valor do desvio padrão populacional, isso é um sinal de que teremos que calcular o amostra s e usar t   d e   s t u d e n t .

Passo 2

A nossa estatística de teste será:

T o b s = x ¯ - 100 s 10

E o critério para a região de rejeição será:

T o b s > t 1 - α

T o b s > t 0,95

Usando a tabela de t   d e   s t u d e n t e levando em consideração que temos 10 - 1 = 9 graus de liberdade.

T o b s > 1,83

Passo 3

Só que para calcular x ¯ e s precisamos antes passar tudo para velocidade, que é sobre o que a questão trata. Foram dados os tempos e a distância, então vamos usar a seguinte fórmula:

velocidade  km h = 120   km tempo minuto × 60 min h

Os resultados obtidos em km h são:

98,63     105,88     98,63     118,03     102,86     92,31     114,29     112,50     97,30     116,13

Passo 4

Com base nesses dados a gente pode calcular agora x ¯ e s , usando as fórmulas lá do início da matéria. Vou colocar os resultados direto:

x ¯ = 105,66

s = 9,06

Com isso, temos:

T obs = 105,66 - 100 9,06 10 = 1,97

Observando o critério da região de rejeição, como 1,97 > 1,83 então isso implica que H 0 deve ser rejeitada. Ou seja, Sergio parece ter razão.

Resposta

a   rejeitar   H 0

Exercício Resolvido #3

P2- 2013.2 – UFRJ Teste de Hipóteses

Suponha que os tempos de vida, em horas, de certos semicondutores a laser sejam Normalmente distribuidos com média μ e variância σ 2 .

Para testar H 0 :     μ   ≤ 7000 versus H 1 :   μ   > 7000 , uma amostra aleatória de tamanho 25 foi

observada e apresentou os seguintes resultados:

∑ x i = 179500 , ∑ x i - x - 2 = 8640000 .

  1. Qual a sua conclusão, ao nível de significância de 1%?
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Passo 1

(a)

Nessa opção a gente vai ter que fazer o teste de hipótese pra esse caso aí com α = 0,01 .

Repara que nesse caso a gente não conhece o valor de σ então teremos algumas diferenças na conta.

Inicialmente, a gente tem:

H 0 :   μ ≤ 7000

H 1 :   μ > 7000

A nossa estatística de teste vai ser diferente né, porque não temos σ :

T = x ¯ - μ 0 s n

E vamos usar a distribuição t   d e   s t u d e n t com 24 graus de liberdade, já que n = 25 .

Passo 2

Esse é o caso unilateral! Nesse caso, a região de rejeição vai ser definida por:

T o b s > t 1 - α

T o b s > t 0,99

Sabendo que são 24 graus de liberdade, usando a tabela de t   d e   s t u d e n t :

T o b s > 2,492

Passo 3

Só que pra calcular o nosso T o b s a gente tem que calcular x ¯ e s , usando os dados do exercício e as fórmulas que a gente já conhece.

Como tempo é uma coisa escassa, vou colocar os resultados aqui direto:

x ¯ = 7180

s = 600

Agora podemos calcular o T o b s :

T o b s = x ¯ - μ 0 s n

T o b s = 7180 - 7000 600 25 = 1,5

Como 1,5 < 2,492 , então estamos dentro da região de aceitação de H 0 .

Resposta

a   A c e i t a r   H 0

Exercício Resolvido #4

P2- 2012.1 – UFRJ Teste de Hipóteses

Um fabricante de cabos afirma que: “o diâmetro médio dos cabos produzidos pela sua empresa é de pelo menos 5 m m ”. Para testar se esta afirmação é verdadeira, uma amostra de 25 cabos foi observada e mostrou um diâmetro médio de 4,9 m m com um desvio padrão de 0,4 m m . Suponha que os diâmetros desses cabos sigam uma distribuição Normal.

  1. Explicite as hipóteses a serem testadas e apresente a sua conclusão a um nível de significância de 5%. Justifique a sua resposta.
  2. Com base nos recursos de que você dispõe, determine o intervalo de menor amplitude no qual o p -valor se encontra.
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Passo 1

(a)

Vamos fazer um teste de hipóteses para a média populacional.

H 0 :     μ ≥ 5 m m

H 1 :     μ < 5 m m

Mas nesse caso a gente não conhece o valor de σ , conhecemos somente x ¯ = 4,9 m m e s = 0,4 m m . Se liga que a gente vai ter usar t   d e   s t u d e n t   aqui.

A estatística de teste será:

T = x ¯ - μ 0 s n

Passo 2

A região crítica nesse caso é dada por:

T < t α

O exercício diz que:

α = 0,05

t 0,05 = - t 0,95 = - 1,711

Lembrando que são 24 graus de liberdade porque n = 25 .

Então:

T < - 1,711

Passo 3

Agora a gente substitui os valores na estatística de teste pra ver no que que dá.

T = x ¯ - μ 0 s n = 4,9 - 5 0,4 25

T = - 1,25

Como esse valor ( - 1,25 ) é maior que - 1,711 , então está dentro da região de aceitação. Devemos aceitar, ou pelo menos não descartar, a hipótese H 0 .

Passo 4

(b)

Calcular o p-valor.

α ~ = P T < - 1,25

Se você olhar na tabela na linha dos 24 graus de liberdade, você vai encontrar que:

P T < 0,857 = 0,8

E,

P T < 1,318 = 0,9

E o valor que a gente quer tá entre:

- 1,318 < - 1,25 < - 0,857

Isso leva a gente a:

P T < - 0,857 = 1 - 0,8 = 0,2

P T < - 1,318 = 1 - 0,9 = 0,1

Então...

0,1 < α ~ < 0,2

Resposta

a   A c e i t a r   H 0

b   0,1 < α ~ < 0,2

Exercício Resolvido #5

PUC – 2013.2 – P4 -Teste de Hipóteses

Uma amostra de 15 medidores de participação de manganês numa liga de ferro-manganês apresentou uma média de 84 % e desvio padrão de 13 % . Assumindo que a participação nominal da média na liga é de 80 % .

Pede-se:

  1. Teste a hipótese ao nível de significância de 5 % que a participação de manganês da amostra estudada é superior a 80 % . Mostre o resultado através de cálculo e esboce um gráfico da distribuição do teste, indicando a área de rejeição e aceitação com os resultados encontrados.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

A gente tem uma amostra com n = 15 elementos com:

x ¯ = 84 %     e     s = 13 %

E vamos fazer um teste de hipótese para a média de participação do manganês na liga.

Primeiro a gente tem que determinar as hipóteses, que pelo enunciado são:

H 0 : μ 0 = 80 %

H 1 : μ 0 > 80 %

Passo 2

Vamos calcular a nossa estatística de teste...

Como a gente não conhece o desvio padrão populacional σ , vamos usar o que a gente tem... que é o amostral " s " e usar t   d e   s t u d e n t ...

T = x ¯ - μ 0 s n

= 84 - 80 13 15

T = 1,192

Passo 3

A região de rejeição pra esse tipo de teste, que se encaixa no caso 2, é:

T > t 1 - α

O α foi dado no exercício...

α = 5 % = 0,05

t 1 - α = t 0,95

Como temos n = 15 , então vamos ter 14 graus de liberdade... aí é só olhar na tabela:

t 0,95 ; 14 = 1,761

A região de rejeição é então:

T > 1,761

Passo 4

Como a nossa estatística de teste deu:

T = 1,192

E:

1,192 < 1,761

Não caímos na região critica, então, aceitamos H 0 (dentro desse nível de significância pedido né).

Olha o gráfico aí que representa essa situação...

Resposta

a   A c e i t a r   H 0

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