Teste de Hipótese para Proporções

Teoria Completa

A ideia aqui é beeeem parecida com o Teste de Hipóteses para Média Amostral. A diferença é que ao invés de utilizarmos o parâmetro média ( μ ) e desvio padrão ( σ ) vamos utilizar proporção. :D

Vamos fazer um passo a passo?

1º passo: Dada uma população e uma hipótese sobre a proporção p de indivíduos portadores de uma certa característica. Essa hipótese afirma que essa proporção é igual a certo valor p o .

O problema fornecerá as informações sobre a hipótese alternativa e podemos ter um teste:

  • Bilateral H 1 : p ≠ p o
  • Unilateral: H 1 : p > p o ou H 1 : p < p o

Ex.:

O Responde Aí revelou que 99% dos assinantes começam a estudar com no mínimo 2 semanas antes das provas.

H o : p = 0,99 → H i p ó t e s e   q u e   c o n f i r m a   a   p e s q u i s a .

Se essa hipótese não for verdadeira, esperamos uma proporção menor e nunca maior, pois mais de 99% seria inviável, seria dizer que todos fazer isso, mas nós sabemos que temos pelo menos aquele 1% que estuda na semana da prova né? Então

H 1 : p < 0,99

2º passo: A proporção amostral tem uma distribuição aproximadamente normal, onde

p ^   ~   N ( p , p 1 - p n )

Ex.:

Uma pesquisa decide verificar a informação e decide usar uma amostra de 200 alunos para o teste.

p ^   ~   N ( p , p 1 - p 200 )

3º passo: Fixado um valor para α (o erro do tipo I – Rejeitar H o quando a mesma é verdadeira.), devemos construir a região crítica de p , sob a suposição de que o parâmentro definido por H o seja verdadeiro. Ou seja, podemos escrever

p ^   ~   N ( p o , p o 1 - p o 200 )

E com isso teremos

  • Caso Bilateral (ou caso 1)
  • d = Z 1 - α 2 . p o 1 - p 0 n

  • Caso Unilateral (ou caso 2)

d ≥ Z 1 - α 2 . p o 1 - p 0 n   o u   d ≤ Z 1 - α 2 . p o 1 - p 0 n

Ex.:

Continuando o exemplo...

O Responde Aí revelou que 99% dos assinantes do começam a estudar com no mínimo 2 semanas antes das provas. Uma pesquisa decide verificar a informação e decide usar uma amostra de 200 alunos para o teste.

H o : p = 0,99

H 1 : p < 0,99

Fixaremos α = 0,05 e considerenado H o verdadeira teremos

p ^   ~   N ( p o , p o 1 - p o 200 )

p ^   ~   N ( 0,99 , 0,99 1 - 0,99 200 )

p ^   ~   N ( 0,99 ; 0,0000495 )

E agora devemos achar o valor de p c ^ tal que

P p ^ ≤ p c ^ = 0,05

Utilizando a aproximação da normal

P Z ≤ p c ^ - 0,99 0,0099 200 = 0,05  

Olhando na tabela

p c ^ - 0,99 0,0099 200 = - 1,645

p c ^ = 0,9783

Então podemos falar que a região crítica

R C = p ^ ∈ R   p ^ ≤ 0,9783 }

Olha como fica no gráfico

4º passo: Cálculo da proporção amostral.

Ex.:

Admitamos que, da pesquisa feita com os 200 alunos, obtivemos 180 pessoas que começam a estudar com no mínimo 2 semanas antes das provas.

A proporção da amostra p ^ = 180 200 = 0,9

5º passo: Aceitar ou rejeitar H o .

Ex.:

Como p ^   está dentro a região crítica somos levados a rejeitar H o , ou seja, há evidências que menos de 99% dos alunos começam e estudar com no mínimo 2 semanas antes das provas.

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 384.

As especificações dos pentes de memória RAM para computadores fabricados pela Companhia Boa Memória indicam que a porcentagem de pentes defeituosos não excede 5%. Uma amostra de cem desses pentes apresentou sete defeituosos.

Com base nesse resultado, podemos afirmar que as especificações estão incorretas?

  1. Qual a decisão a ser tomada, ao nível de significância de 0,01?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Primeiros definimos as hipóteses:

H 0 :   p ≤ 0,05

H 1 : p > 0,05

Com isso já temos como dados:

p 0 = 0,05       n = 100

σ 0 = p 0 1 - p 0 n = 0,05 × 0,95 100 = 0,022

E também que:

α = 0,01

Passo 2

Podemos notar que nossas hipóteses estão no caso unilateral, por isso sua rejeição acontece em:

p ^ > p 0 + z 1 - α . σ 0

Vamos calcular o que falta então:

z 1 - α = z 0,99 = 2,33

Pra isso, só usei a tabela da Normal.

Com isso:

p ^ > 0,05 + 2,33 × 0,022

p ^ > 0,10

Se isso acontecer, rejeita-se H 0 .

Passo 3

Basta então calcularmos a proporção amostral, p ^ :

p ^ = 7 100 = 0,07

Como 0,07 < 0,10 , então estamos na região de aceitação.

Com isso não é possível rejeitar H 0 .

Resposta

a   n ã o   é   p o s s í v e l   r e j e i t a r   H 0

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