Enunciado

10-10. Considere o teste de hipóteses Suponha que os tamanhos de amostra sejam n, = 15 e que os dados sejam retirados de distribuições normais.Use a

(a) Teste a hipxitese e encontre o valor P.

(b) Explique como o teste paxderia ser conduzido com um intervalo de confiança.

(c) Qual é a poténcia do teste no item (a) para uma diferença verdadeira de médias igual a 3?

(d) Considerando tamanhos iguais de amostras, que tamanho de amostra deveria ser usado para obter B- 0,05, se a diferença verdadeira de médias fosse -2?

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Consideramos o teste de hipótese

H 0 : μ 1 = μ 2

Contra

H 1 : μ 1 ≠ μ 2

Sabemos que

n 1 = n 2 = 15 x - 1 = 4.7 ,   x - 2 = 7.8

E

s 1 2 = 4 , s 2 2 = 6.25

Os dados são extraídos de distribuições normais e assumimos que σ 1 = σ 2 . Portanto, usamos o teste t combinado.

Passo 2

Letra a:

A estatística é

t 0 = x - 1 - x - 2 - Δ s p 1 n 1 + 1 n 2

Onde

s p = n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 n 1 + n 2 - 2 = 14 × 4 + 14 × 6.25 28 = 2.2638

Então

t 0 = 4.7 - 7.8 - 0 2.2638 1 15 + 1 15 = - 3.75

Como | t 0 | = 3.75 , encontramos na Tabela V do Apêndice que

P T n 1 + n 2 - 2 > t 0 = P T 28 > 3.75 < P T 28 > 3.674 = 0.0005

Portanto, concluímos que o limite superior do valor P é

valor P  = 2 P T 28 > 3.75 < 0.001

Portanto, como o valor P é menor que α = 0.05 , rejeitamos H 0 .

Passo 3

Letra b:

Um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % na diferença nas médias μ 1 - μ 2 é

x - 1 - x - 2 - t α / 2 , n 1 + n 2 - 1 s p 1 n 1 + 1 n 2 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ x - 1 - x - 2 + t α / 2 , n 1 + n 2 - 1 s p 1 n 1 + 1 n 2

Sabemos que α = 0.05 . Portanto, do Apêndice Tabela V, obtemos

t 0.025.28 = 2.048

Portanto, um IC de 95% na diferença de médias μ 1 - μ 2 é

4.7 - 7.8 - 2.048 × 2.2638 2 15 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ 4.7 - 7.8 + 2.048 × 2.2638 2 15 - 4.79 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ - 1.41 .

Observe que o intervalo de confiança de 95% não inclui zero. Portanto, neste nível de confiança concluímos que existe uma diferença nas médias.

Passo 4

Letra c:

Para o teste bilateral quando σ 1 = σ 2 = σ e     n 1 = n 2 = n , usamos os Gráficos VIIe e VIIf com

d = Δ - Δ 0 2 σ

onde Δ é a verdadeira diferença nos meios que interessam. Para usar essas curvas. devemos ser inseridos com o tamanho da amostra n * = 2 n - 1 . Sabemos que Δ = 3 e Δ 0 = 0 . Usando s p = 2.2638 como uma estimativa grosseira do desvio padrão comum σ , temos

d = 3 2 × 2.2638 = 0.66

E

n * = 2 × 15 - 1 = 29

Do Gráfico do Apêndice VIIe com d = 0.66 e n * = 29 encontramos β ≈ 0.1 (veja a próxima figura, linha vermelha).

Então, a potência do teste na parte a) é

1 - β = 0.9

Passo 5

Letra d:

Agora, usamos β = 0.05 e a verdadeira diferença nas médias Δ =   - 2 .

Portanto,

d = 2 2 × 2.2638 = 0.44

Do Apêndice Gráfico VIIe com d = 0.44 e β = 0.05 , encontramos n * ≈ 75 (ver figura anterior, linha verde).

Portanto, como n * = 2 n - 1

n = n * + 1 2 = 38

e usaríamos tamanhos de amostra de n 1 = n 2 = n = 38

Resposta

  1. A estatística é t 0 =   - 3.75 . Rejeitamos H 0 porque o valor P é menor que α = 0.05 .
  2. Um IC de 95% é - 4.79 ≤ μ 1 - μ 2 ≤   - 1.41 . Concluímos que há diferença nas médias, pois o intervalo de confiança não inclui zero.
  3. A potência deste teste é 1 - β = 0.9
  4. Os tamanhos da amostra estão em n 1 = n 2 = n = 38
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