Enunciado

10-5. Dois tipos de plásticos são adequados para uso por um fabricante de componentles eletrónicos. A resisténcia à quebra desse plástico é importante. É de tamanho a. A companhia não adotará o plástico 1. a menos que sua resisténcia média à quebra exceda àquela do plástico 2 por, no mínimo, 10 psi.

(a) Baseado na informação da amostra, cles deveriam usar o plástico 1? Use a = 0,05 para decidir algo. Eincontre o valor P.

(b) Calcule um intervalo de confiança de 95 para a diferença de médias. Suponha que a diferença verdadeira de médias seja realmente 12 psi.

(c) Encontre a poténcia do teste, considerando a

(d) Se for realmente importante detectar uma diferença de 12 psi, os tamanhos de amostra empregados no item (a) sào adequados. em sua opinião? A partir de uma amostra

12

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Consideramos as inferências estatísticas sobre a diferença nas médias μ 1 - μ 2 de duas distribuições normais onde as variâncias de σ 2 1 e σ 2 2 são conhecidas. Supomos que

  1. X 1 , X 2 , . . . X n 1 , é uma amostra aleatória da população 1
  2. Y 1 , Y 2 , . . . Y n 2 , é uma amostra aleatória da população 2
  3. As duas populações representadas por X e Y são independentes
  4. Ambas as populações são normais.

Portanto, a estatística de teste

Z = X - Y - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2                           ( 1 )

tem uma distribuição normal padronizada.

Agora consideramos o teste de hipótese se a diferença nas médias μ 1 - μ 2 é igual a um valor especificado Δ 0 .

Nós consideramos a hipótese nula

H 0 : μ 1 - μ 2 = Δ 0

e a hipótese alternativa

H 1 : μ 1 - μ 2 > Δ 0

O critério de rejeição para este teste é

z 0 > z a                     ( 2 )

onde z α é o ponto percentual superior da distribuição normal padrão. Como z 0 tem a distribuição N ( 0,1 ) quando H 0 é verdadeiro. Calcularíamos o valor P como

P-value  = 1 - Φ z 0                         ( 3 )

Passo 2

Letra a:

Considere o teste de hipótese

H 0 : μ 1 - μ 2 = 10

Contra

H 1 : μ 1 - μ 2 > 10

então Δ 0 = 10 . Conhecemos as variâncias σ 1 = 1 e σ 2 = 1 , tamanhos de amostra n 1 = 10 e n 2 = 12 e que x 1 _ = 162.5 e x _ 2 = 155 .

Agora, da Equação (1), obtemos

z 0 = 162.5 - 155 - 10 1 2 10 + 1 2 12 = - 5.84

Para α = 0.05 e da Tabela III do Apêndice, sabemos

z α = 1.65

Então,

z 0 = - 5.84 < 1.65 = z α

e da Equação (2) concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

O valor P para este teste nós obtemos da Equação (3)

Valor P  = 1 - Φ ( - 5.84 ) ≈ 1  . 

Passo 3

Letra b:

Um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % para μ 1 - μ 2 é

x - - y - - z α σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ≤ μ 1 - μ 2

onde z α é o ponto percentual superior da distribuição normal padrão.

Portanto um IC de 95% para μ 1 - μ 2 é

162.5 - 155 - 1.65 1 2 10 + 1 2 12 ≤ μ 1 - μ 2 6.79 ≤ μ 1 - μ 2

Passo 4

Letra c:

Suponha que a hipótese nula H 0 : μ 1 - μ 2 = Δ 0 seja falsa e que a verdadeira diferença nas médias é H 0 : μ 1 - μ 2 = Δ ,  onde  Δ > Δ 0

O erro de probabilidade β   tipo II para uma determinada diferença nas médias Δ e nível de significância α é

β = Φ z α - Δ - Δ 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2

Sabemos que   Δ = 12  e  Δ 0 = 10 .  Então 

β = Φ 1.65 - 2 1 2 10 + 1 2 12 = Φ ( - 3.02 ) = 0.998736

Portanto, o poder do teste na parte a) é

1 - β = 0.998736

Passo 5

Letra d:

O tamanho da amostra é adequado porque nós. observe que a potência está próxima de 1.

Resposta

  1. Falhamos em rejeitar H 0 porque   z 0 = - 5.84 < 1.65 = z α . O valor P para este teste é o valor P ≈ 1
  2. O IC para μ 1 - μ 2  é  6.79 ≤ μ 1 - μ 2
  3. A potência do teste é   1 - β = 0.998736
  4. O tamanho da amostra é adequado.
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