Enunciado

9-125. Considere o experimento, descrito no Exercicio 8-31. do brilho

do tubo de imagem de uma televisão.

(a) Para esse tamanho de amostra n

10, os dados confirmam a afirmação de que o desvio-padrão de corrente é menor do que 20

microamperes?

(b) Em vez de n 10. suponha que o tamanho da amostra foi 51. Repi-

ta a análise feita no item (a) usando n -- 51.

(c) Compare suas respostas e comente como o tamanho da amostra afe-

ta suas conclusões obtidas nos itens (a) e (b).

Passo 1

E aiiii galera, vamos resolver essa questão aqui rapidinho?

Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância de uma população normal σ 2 é igual a σ 2 0 . Seja X 1 , X 2 , . . . X n   uma amostra aleatória de uma observação desta população. Para testar

H 0 : σ 2 = σ 0 2 ,  contra   H 1 : σ 2 ≠ σ 0 2

vamos usar a estatística de teste:

χ 0 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 0 2                   ( 1 )

A estatística de teste χ 2 0 definida na Equação (1) segue a distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, se a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 é verdadeira. Para realizar um teste de nível de significância fixo, pegaríamos uma amostra aleatória da população de interesse e calcularíamos χ 2 0 , que é o valor da estatística de teste χ 2 0 e a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 seria rejeitada se:

χ 0 2 < χ 1 - a , n - 1 2                   ( 2 )

onde χ 2 1 - α , n - 1 é o ponto percentual 100 α da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade. Além disso, este ponto representa os valores críticos para a estatística de teste χ 2 0 .

Sabemos que o tamanho da amostra é n = 10 , a média da amostra é

x - = 1 n ∑ i = 1 n   x i = 317.2

e o desvio padrão é

s = ∑ i = 1 n   x i - x - 2 n - 1 1 2 = 15.7

Passo 2

Letra a:

Considere o teste de

H 0 : σ = 20

Contra

H 1 : σ 2 < 20

Agora. da Equação (1) obtemos valor para a estatística de teste

χ 0 2 = ( 10 - 1 ) 15.7 2 20 2 = 5.546

Para α = 0.01 e da Tabela IV do Apêndice, obtemos

χ 1 - 0.01,9 2 = 2.09

Então

χ 0 2 = 5.546 > 2.09 = χ 1 - 0.019 2

Agora, da Equação (2), concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

Passo 3

Letra b:

Suponha que em vez de n = 10 , o tamanho da amostra fosse 51.

Então, a estatística de teste é

χ 0 2 = ( 51 - 1 ) 15.7 2 20 2 = 30.8

Para α = 0.01 e da Tabela IV do Apêndice, obtemos

χ 1 - 0.01,50 2 = 29.71

Então

χ 0 2 = 30.8 > 29.71 = χ 1 - 0.01,50 2

Agora, da Equação (2), concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

Passo 4

Letra c:

Para maior valor do tamanho da amostra, o valor das estatísticas de teste também é maior. Para um tamanho de amostra maior, a análise realizada é mais precisa.

Resposta

  1. Falhamos em rejeitar H 0 porque x 0 2 = 5.546 > 2.09 = χ 1 - 0.019 2
  2. Falhamos em rejeitar H 0 porque χ 0 2 = 30.8 > 29.71 = χ 1 - 0.01.50 2
  3. Para maior valor do tamanho da amostra, o valor das estatísticas de teste também é maior. Para um tamanho de amostra maior, a análise realizada é mais precisa.
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