Enunciado

10-12.Considere o teste de hipóleses

Suponha que os tamanhos de amostra sejam que.Considere que que

os dados sejam retirados de distribuições normais. Use a - 0.05.

a) leste a hipótese e encontre o valor P.

b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de

conliança.

c) Qual será a poténcia do teste no item (a) se, for 3 unidades maior

que ?

d) Considerando tamanhos iguais de amostras. que tamanho de amos-

tra deveria ser usado para obter, fosse 3 unidades maior

do que p. Suponha a - 0.05.

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Nós consideramos o teste de hipótese

H 0 : μ 1 = μ 2

Contra

H 1 : μ 1 ≠ μ 2

Sabemos que:

n 1 = n 2 = 10 x 1 = 7.8 , x 2 = 5.6 .

E

s 1 2 = 4 , s 2 2 = 9

Os dados são extraídos de distribuições normais e assumimos que σ 1 = σ 2 . Portanto. usamos o teste t agrupado;

Passo 2

Letra a:

A estatística é:

t 0 = x - 1 - x - 2 - Δ 0 s p 1 n 1 + 1 n 2

Onde

s p = n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 n 1 + n 2 - 2 = 9 × 4 + 9 × 9 18 = 2.55

Então

t 0 = 7.8 - 5.6 - 0 2.55 1 10 + 1 10 = 1.93

Como | t 0 | = 1.93 , encontramos na Tabela V do Apêndice que

P T n 1 + n 2 - 2 > t 0 = P T 18 > 1.93 < P T 18 > 1.734 = 0.05 P T n 1 + n 2 - 2 > t 0 = P T 18 > 1.93 > P T 18 > 2.101 = 0.025

Então. concluímos que o limite superior e inferior do valor P é

0.05 <  valor P  = 2 P T 18 > 1.93 < 0.1

Portanto, como o valor P é P > α = 0.05 , falhamos em rejeitar H 0 .

Passo 3

Letra b:

Um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % na diferença de médias μ 1 - μ 2 é

x 1 - x 2 - t α / 2 , n 1 + n 2 - 1 s p 1 n 1 + 1 n 2 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ x 1 - x 2 + t a / 2 , n 1 + n 2 - 1 s p 1 n 1 + 1 n 2

Sabemos que α = 0.05 . Portanto, do Apêndice Tabela V, obtemos

t 0.025,18 = 2.101 .

Portanto, um IC de 95 % sobre a diferença nas médias μ 1 - μ 2 é:

7.8 - 5.6 - 2.101 × 2.55 2 10 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ 7.8 - 5.6 + 2.101 × 2.55 2 10

- 0.195 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ 4.595

Observe que o intervalo de confiança de 95 % inclui zero. Portanto, neste nível de confiança nós não podemos concluir que existe uma diferença nas médias.

Passo 4

Letra c:

Para o teste unilateral quando σ 1 = σ 2 = σ   e n 1 = n 2 = n . Usamos os gráficos VIlg e VIIh com

d = Δ - Δ 0 2 σ

onde Δ é a verdadeira diferença nos meios que interessam. Para usar essas curvas, devemos ser inseridos com o tamanho da amostra n * = 2 n - 1 .

Sabemos que Δ = 3 e Δ 0 = 0 . Usando s P = 2.55 como uma estimativa aproximada do desvio padrão comum σ , temos:

d = 3 2 × 2.55 = 0.588

E

n * = 2 × 10 - 1 = 19

Do Apêndice Vllg com d = 0.588 e n * = 19 encontramos β ≈ 0.3 (Linha vermelha).

Portanto, a potência do teste na parte a) é:

1 - β = 0.7

Passo 5

Letra d:

Agora usamos β = 0.05 e a verdadeira diferença nas médias Δ = 3 . Portanto.

d = 3 2 × 2.55 = 0.588

Do Apêndice Vllg com d = 0.588 e β = 0.05 , encontramos n * ≈ 40 (figura anterior, linha verde). Portanto, como n * = 2 n - 1 ,

n = n * + 1 2 = 20.5 ≈ 21

e teríamos novos tamanhos de amostra de n 1 = n 2 = n = 21 .

Resposta

  1. A estatística é t 0 =   - 1.93 . Falhamos em rejeitar H 0 porque o valor P é 0.05 < V a l o r   P   < 0.1
  2. Um IC de 95 % é - 0.195 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ 4.595 . Não concluímos que há uma diferença nas médias, porque o intervalo de confiança inclui zero.
  3. A potência do teste é 1 - β = 0.7
  4. O tamanho das amostras é n 1 = n 2 = n = 21
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