Enunciado

10-2. Considere o teste de hipóteses com variâncias conhecidas o de amostra sejam ,a = 0,05.

(a) Teste a hipótese e encontre o valor P.

(b) lixplique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de confiança.

(c) Qual será a potència do teste no item (a) se p, for 4 unidades menor que u?

(d) Considerando tamanhos iguais de amostras, que tamanho de amostra deveria ser usado para obter p, fosse 4 unidades menor que u?

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Consideramos as inferências estatísticas sobre a diferença nas médias μ 1 - μ 2 de duas distribuições normais onde as variâncias de σ 2 1 e σ 2 2 são conhecidas. Supomos que

  1. X 1 , X 2 , . . . X n 1 , é uma amostra aleatória da população 1
  2. Y 1 , Y 2 , . . . Y n 2 , é uma amostra aleatória da população 2
  3. As duas populações representadas por X e Y são independentes
  4. Ambas as populações são normais.

Portanto, a estatística de teste

Z = X - Y - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2                     ( 1 )

tem uma distribuição normal padronizada.

Agora consideramos o teste de hipótese se a diferença nas médias μ 1 - μ 2 é igual a um valor especificado Δ 0 .

Nós consideramos a hipótese nula

H 0 : μ 1 - μ 2 = Δ 0

e a hipótese alternativa

H 1 : μ 1 - μ 2 < Δ 0

O critério de rejeição para este teste é

z 0 < - z α                   ( 2 )

onde z α é o ponto percentual superior da distribuição normal padrão. Como z 0 tem a distribuição N ( 0,1 ) quando H 0 é verdadeiro. Calcularíamos o valor P como

valor P  = Φ z 0             ( 3 )

Passo 2

Letra a:

Considere o teste de hipótese

H 0 : μ 1 = μ 2

Contra

H 1 : μ 1 < μ 2

então Δ 0 = 0 . Conhecemos as variâncias σ 1 = 10 e σ 2 = 5 , tamanhos de amostra n 1 = 10 e n 2 = 15 e que x _ = 14.2 e x _ 2 = 19.7 .

Agora, da Equação (1), obtemos

z 0 = 14.2 - 19.7 - 0 10 2 10 + 5 2 15 = - 1.61

Para α = 0.05 e da Tabela III do Apêndice, sabemos

z α = 1.65

Então,

s 0 = - 1.61 > - 1.65 = z a

e da Equação (2) concluímos que falhamos em rejeitar H 0 . Não há evidência de que dois meios sejam diferentes um do outro.

O valor P para este teste nós obtemos da Equação (3)

valor P  = Φ ( - 1.61 ) = 0.053699

Passo 3

Letra b:

Um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % para μ 1 - μ 2 é

μ 1 - μ 2 ≤ x - - y - + z α σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2

onde z α é o ponto percentual superior da distribuição normal padrão.

Portanto um IC para μ 1 - μ 2 é

μ 1 - μ 2 ≤ 14.2 - 19.7 - 1.65 10 2 10 + 5 2 15 μ 1 - μ 2 ≤ 0.134 .

Então, falhamos em rejeitar H 0 porque z 0 ∈ ( - ∞ , 0.134 )

Passo 4

Letra c:

Suponha que a hipótese nula H 0 : μ 1 - μ 2 = Δ 0 seja falsa e que a verdadeira diferença nas médias é H 0 : μ 1 - μ 2 = Δ ,  onde   Δ > Δ 0

O erro de probabilidade β   tipo II para uma determinada diferença nas médias Δ e nível de significância α é

β = Φ - z α - Δ - Δ 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2

Sabemos que     Δ = 4     Δ 0 = 0 .  Então 

β = Φ - 1.65 - 4 10 2 10 + 5 2 15 = Φ ( - 2.56 ) = 0.005234

Portanto, o poder do teste na parte a) é

1 - β = 0.994766

Passo 5

Letra d:

O tamanho da amostra n 1 = n 2 = n necessário para detectar uma diferença real nas médias de Δ com potência de pelo menos 1 - β para uma hipótese alternativa unilateral com nível de significância α   é

n = z α + z β 2 σ 1 2 + σ 2 2 Δ - Δ 0 2

Sabemos que     β = 0.05 , α = 0.05 , Δ = 4  e  Δ 0 = 0 Portanto

n = ( 1.65 + 1.65 ) 2 10 2 + 5 2 4 2

Então, o tamanho da amostra é

n ≈ 85 .

Resposta

  1. Falhamos em rejeitar H 0 porque       z 0 = - 1.61 > - 1.65 = z α . O valor P para este teste é o valor P = 0.053609.
  2. Falhamos em rejeitar H 0 porque       z 0 ∈ ( - ∞ , 0.134 )
  3. A potência do teste é       1 - β = 0.994766
  4. O tamanho da amostra é     n ≈ 85
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