Enunciado

10-9. Pensa-se que a concentração de um ingrediente ativo em um detergente liquido para lavagen de roupas seja afetada pelo tipo de cataIsador usado no processo. O dessio-padrao da concentraçào ativa e 3 gramas por litro, independentemente do tipo de catalisador. Dez observações na concentração são feitas com cada catalisador, sendo os dados mostrados a seguir:

Catalisador 1:57.9. 66.2. 65.4, 65.4. 65.2. 62.6. 67.6. 63.7. 67.2. 71.0

Catalisador 2: 66,4, 71.7. 70.3.69.3, 64,8, 69.6, 68.6, 69,4, 65.3, 68.8

(a) Encontre um intervalo de confiança de 95 para a diferença de concentraçoes medias ativas para os dois catalisadons Encontne o valor P.

(b) Há alguma evidencia ndicando qu as concentraçoes medias ativas dependem da escolha do catalisador! Baseie a sua resposta nos resultados do item a).

(c) Suponha que a diferença média verdadeira na concentraço ativa seja 5 gramas por litro. Qual é a poténcia do testle para detectar essa diferença se a - (0,05?

(d) Se essa diferença de 5 gramas por litro for realmente importante voce considena adequados os tamanhos das amostras usads pelo experimentalista? A suposição de normalidade parece razoável para ambas as anmostras?

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Dados:

σ 1 = 3 σ 2 = 3 n 1 = 10 n 2 = 10 α = 0.05

A média é a soma de todas os valores dividida pelo número de valores:

x - 1 = 57.9 + 66.2 + 65.4 + … + 63.7 + 67.2 + 71.0 10 ≈ 65.22 x - 2 = 66.4 + 71.7 + 70.3 + … + 69.4 + 65.3 + 68.8 10 ≈ 68.42

Passo 2

Letra a:

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela de probabilidade normal no apêndice (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

x - 1 - x - 2 - z α 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 65.22 - 68.42 ) - 1.96 ⋅ 3 2 10 + 3 2 10 ≈ - 5.8296 x - 1 - x - 2 + z α / 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = ( 65.22 - 68.42 ) + 1.96 ⋅ 3 2 20 + 3 2 20 ≈ - 4.1406

Determine o valor da estatística de teste:

z = x - 1 - x - 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 65.22 - 68.42 3 2 10 + 3 2 10 ≈ - 2.39

O valor P é a probabilidade de obter um valor mais extremo ou igual à estatística de teste padronizada z. Determine a probabilidade usando a tabela III.

P = P ( Z < - 2.39  or  Z > 2.39 ) = 2 P ( Z < - 2.39 ) = 2 ( 0.008424 ) = 0.016848

Passo 3

Letra b:

Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que as concentrações ativas médias dependem da escolha dos catalisadores, porque o valor P é pequeno e o intervalo de confiança não contém 0.

Passo 4

Letra c:

A potência é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine o valor z correspondente a uma probabilidade de α / 2 = 0.025 :

z = ± 1.96

A diferença média da amostra correspondente é a diferença média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

x - 1 - x - 2 = μ 1 - μ 2 - z α 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 x - = 0 - 1.96 3 2 10 + 3 2 10 ≈ - 2.6296 x - 1 - x - 2 = μ 1 - μ 2 + z α / 2 ⋅ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 x - = 0 + 1.96 3 2 10 + 3 2 10 ≈ 2.6296

O valor z é a diferença média da amostra diminuída pela diferença média da população (diferença da média alternativa!) dividido pelo desvio padrão:

z = x - 1 - x - 2 - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = - 2.6296 - 5 3 2 10 + 3 2 10 ≈ - 5.69 z = x - 1 - x - 2 - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 2.6296 - 5 3 2 10 + 3 2 10 ≈ - 1.77

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela III:

P = P ( Z < - 5.69   o r   Z > - 1.77 ) = P ( Z < - 5.69 ) + P ( Z > - 1.77 ) = P ( Z < - 5.69 ) + P ( Z < - 1.77 ) = 0 + 0.038364 = 0.038364

Passo 5

Letra d:

Os tamanhos das amostras parecem ser adequados, porque o intervalo de confiança da parte (a) continha -5 e, portanto, a média diferente de 5 foi detectada (neste caso).

Para verificar a normalidade, criaremos dois gráficos de probabilidade normal para ambos os conjuntos de dados.

Gráfico de Probabilidade Normal:

Os valores dos dados estão no eixo horizontal e as pontuações normais padronizadas estão no eixo vertical.

Se os dados contém n valores de dados, então as pontuações normais padronizadas são os valores z na tabela III correspondendo a uma área de j - 0.5 n (ou a área mais próxima) em relação a j ∈ { 1 , 2,3 , . . . , n } .

A menor pontuação padronizada corresponde ao menor valor de dados, a segunda menor pontuação padronizada corresponde ao segundo menor valor de dados e assim por diante.

Passo 6

Catalisador 1:

Catalisador 2:

A suposição normal parece ser razoável para ambas as amostras, porque ambos os gráficos de probabilidade normal não contêm curvatura forte e parecem ser aproximadamente simétricos.

Resposta

  1. P = 0.016848 , - 5.8296 ≤ μ 1 - μ 2 ≤ - 4.1406
  2. Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que as concentrações ativas médias dependem da escolha dos catalisadores, porque o valor P é pequeno e o intervalo de confiança não contém 0.
  3. P o t ê n c i a   = 0.038364
  4. Tamanhos de amostra adequados, a suposição normal é razoável
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10-10. Considere o teste de hipóteses Suponha que os tamanhos de amostra sejam n, = 15 e que os dados sejam retirados de distribuições normais.Use a(a) Teste a hipxitese e encontre o valor P.(b) Expli
10-7. Duas formulaçoes diferentes de um combustivel oxigenado de ummotor devem ser testadas com a finalidade de estudar sua xtanagem na estrada. A variáncia da octanagem na estrada no caso da formulaç
10-1. Considere o teste de hipóteses com variâncias conhecidas o = 10 e o nhos de amostra sejam Use(a) Teste a hipótese e encontre o valor P.(b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um inte
10-3. Considere o teste de hipóteses . u,com variâncias conhecidas o 10 e o= 5. Suponha que os tamanhos de amostra sejam (a) Teste a hipótese e encontre o valor P.(b) Explique como o teste poderia ser
10-4. Duas maquimas são usadas para encher urrafas de plástico que tém um volume liquido de 16.00 onças. O volume de enchimento pode ser suposto normal, com um desvio-padrão. Um membro do grupo de eng