Enunciado

10-11. Considere o teste de hipóteses

Suponha que os tamanhos de amostra sejam n. = 15 e n: - 15,que.Considere que os dados sejam retirados de distribuições normais. Use .

a) Teste a hipótese e cncontre o valor P.

b) Explique como o teste poderia ser conduzido com um intervalo de

confianca.

c) Qual será a potência do lesle no item (a). se for 3 unidades menor

yue?

d) Considerando tamanhos iguais dc amostras. que lamanho de amos-

tra deveria ser usado para obter 0.05. se fosse 2.5 unidades

menor do que ? Suponha a = 0.05.

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Nós consideramos o teste de hipótese

H 0 : μ 1 = μ 2

Contra

H 1 : μ 1 < μ 2

Sabemos que:

n 1 = n 2 = 15 x 1 = 6.2 , x 2 = 7.8

E

s 1 2 = 4 , s 2 2 = 6.25

Os dados são extraídos de distribuições normais e assumimos que σ 1 = σ 2 . Portanto. usamos o teste t agrupado;

Passo 2

Letra a:

A estatística é:

t 0 = x 1 - x 2 - Δ 0 s p 1 n 1 + 1 n 2

onde

s p = n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 n 1 + n 2 - 2 = 14 × 4 + 14 × 6.25 28 = 2.2638

Então

t 0 = 6.2 - 7.8 - 0 2.2638 1 15 + 1 15 = - 1.94

Como os graus de liberdade n 1 + n 2 - 2 = 28 , encontramos no Apêndice Tabela V que:

0.025 = P T 28 > 2.048 < P T 28 > 1.94 < P T 28 > 1.701 = 0.05

Como P T 28 < - 1.94 = P T 28 > 1.94 , concluímos que os limites inferior e superior do valor P são

0.025 < valor P  = P T 28 < - 1.94 < 0.05

Portanto, como o valor P é menor que α = 0.05 , rejeitamos H 0 .

Passo 3

Letra b:

Um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % na diferença de médias μ 1 - μ 2 é

μ 1 - μ 2 ≤ x - 1 - x - 2 + t α , n 1 + n 2 - 1 s p 1 n 1 + 1 n 2

Sabemos que α = 0.05 . Portanto, do Apêndice Tabela V, obtemos

t 0.05.28 = 1.701

Portanto, um IC de 95 % sobre a diferença nas médias μ 1 - μ 2 é:

μ 1 - μ 2 ≤ 6.2 - 7.8 + 1.701 × 2.2638 2 15

μ 1 - μ 2 ≤ - 0.194

Observe que o intervalo de confiança de 95 % não inclui zero. Portanto, neste nível de confiança concluímos que existe uma diferença nas médias.

Passo 4

Letra c:

Para o teste unilateral quando σ 1 = σ 2 = σ   e n 1 = n 2 = n . Usamos os gráficos VIlg e VIIh com

d = Δ - Δ 0 2 σ

onde Δ é a verdadeira diferença nos meios que interessam. Para usar essas curvas, devemos ser inseridos com o tamanho da amostra n * = 2 n - 1 .

Sabemos que Δ = 3 e Δ 0 = 0 . Usando s P = 2.2638 como uma estimativa aproximada do desvio padrão comum σ , temos:

d = 3 2 × 2.2638 = 0.66

E

n * = 2 × 15 - 1 = 29

Do Apêndice Vllg com d = 0.66 e n * = 29 encontramos β ≈ 0.05 (Linha vermelha).

Portanto, a potência do teste na parte a) é:

1 - β = 0.95

Passo 5

Letra d:

Agora usamos β = 0.05 e p i é Δ = 2.5 unidades menor do que p 2 . Portanto,

d = 2.5 2 × 2.26 38 = 0.55

Do Apêndice Vllg com d = 0.44 e β = 0.05 , encontramos n * ≈ 40 (figura anterior, linha verde). Portanto, como n * = 2 n - 1 ,

n = n * + 1 2 = 20.5 ≈ 21

e teríamos novos tamanhos de amostra de n 1 = n 2 = n = 21 .

Resposta

  1. A estatística é t 0 =   - 1.94 . Rejeitamos H 0 porque o valor P é menor que α = 0.05 .
  2. Um IC de 95 % é μ 1 - μ 2 ≤ - 0.194 . Concluímos que há uma diferença nas médias, porque o intervalo de confiança não inclui zero.
  3. A potência do teste é 1 - β = 0.95
  4. O tamanho das amostras é n 1 = n 2 = n = 21
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