Enunciado

10-21.Duas companhias fabricam um material de borracha parausoem

uma aplicação automotiva. A peca será sujeita a um desgaste abrasivo

no campo de aplicação. Assim. decidimos comparar. através de um tes-

te.o material produzido por cada companhia Vinte e cinco amostras

de material de cada companhia vão testadas em um teste de abrasão.

sendo a quantidade de desgasle observada depois de 1000 ciclos. Para a

companhia 1. a média e o desvio-padrào do desgaste na amostra são

20 miligramas 1000 ciclos e s,-2 miligramas1000 cicks.en-

quanto para a companhia 2 obtemos 15 miligramas/1000 ciclos e

s = 8 miligramas/1000 ciclos.

a) O)s dados confirmam a afirmação sde que as duas companhias produ

vem materiais com dilerentes desgasles médios? Use a - 0.05 e

suponha que cada populaçáo eja normalmente distribuida.mas com

variáncias diferentes. Qual é o valor P paru esse teste?

b) O- dados confirmam a afirmação de que o material da companhia l

lem maior desgaste médio do quc o malerial da companhia 2? Use

as mesm:as suposições adotadas no item(a).

c) Construa um intervalo de confiança que considerará as questoes dos

itens (a) e (b).

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

n 1 = 25 n 2 = 25 x - 1 = 20 x - 2 = 15 s 1 = 2 s 2 = 8 a = 0.05

Letra a:

As variâncias são consideradas como não iguais, portanto, precisamos fazer o teste t não agrupado:

H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2

Determine a estatística de teste:

t = x - 1 - x - 2 s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 = 20 - 15 2 2 25 + 8 2 25 ≈ 3.032

Determine os graus de liberdade (arredondado para o número inteiro mais próximo):

v = s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 2 s 1 2 / n 1 2 n 1 - 1 + s 2 2 / n 2 2 n 2 - 1 = 2 2 25 + 8 2 25 2 2 2 / 25 2 25 - 1 + 8 2 / 25 2 25 - 1 ≈ 26

O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste ou um valor mais extremo. O valor P é o número (ou intervalo) no título da coluna de Tabela V contendo o valor t na linha d f = 26 :

0.005 = 2 × 0.0025 < P < 2 × 0.005 = 0.01

Se o valor P for menor ou igual ao nível de significância, então a hipótese nula é rejeitada:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que as médias da população são diferentes.

Passo 2

As variâncias são consideradas como não iguais, portanto, precisamos fazer o teste t não agrupado:

H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 > μ 2

Determine a estatística de teste:

t = x - 1 - x - 2 s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 = 20 - 15 2 2 25 + 8 2 25 ≈ 3.032

Determine os graus de liberdade (arredondado para o número inteiro mais próximo):

v = s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 2 s 1 2 / n 1 2 n 1 - 1 + s 2 2 / n 2 2 n 2 - 1 = 2 2 25 + 8 2 25 2 2 2 / 25 2 25 - 1 + 8 2 / 25 2 25 - 1 ≈ 26

O valor P é a probabilidade de obter o valor da estatística de teste ou um valor mais extremo. O valor P é o número (ou intervalo) no título da coluna de Tabela V contendo o valor t na linha d f = 26 :

0.0025 < P < 0.005

Se o valor P for menor ou igual ao nível de significância, então a hipótese nula é rejeitada:

P < 0.05 ⇒  Rejeita   H 0

Há evidências suficientes para apoiar a afirmação de que a primeira média da população é maior do que a segunda média da população.

Passo 3

Letra c:

a = 0.05 ⇒ c = 1 - a = 1 - 0.05 = 0.95 = 95 %

Determine os graus de liberdade (arredondado para o número inteiro mais próximo):

v = s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 2 s 1 2 / n 1 2 n 1 - 1 + s 2 2 / n 2 2 n 2 - 1 = 2 2 25 + 8 2 25 2 2 2 / 25 2 25 - 1 + 8 2 / 25 2 25 - 1 ≈ 26

Determine t α / 2 usando a tabela de distribuição T-Student, que é dado na coluna com α / 2 = 0.025 e na linha com d f = 26 :

t 0.025 = 2.056

Os pontos finais do intervalo de confiança para μ 1 - μ 2 são:

x - 1 - x - 2 - t α 2 ⋅ s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 = ( 20 - 15 ) - 2.056 ⋅ 2 2 25 + 8 2 25 = 1.6092 x - 1 - x - 2 + t a / 2 ⋅ s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 = ( 20 - 15 ) + 2.056 ⋅ 2 2 25 + 8 2 25 ≈ 8.3908

Resposta

  1. 0.005 < P < 0.01 . Existem evidências suficientes para apoiar a afirmação de que as médias da população são diferentes.
  2. Há evidências suficientes para apoiar a afirmação de que a primeira média da população é maior do que a segunda média da população.
  3. 1.6092 < μ < 8.3908
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