Enunciado

10-67. Em 1990. uma amostra aleatória de 1500 telefones residenciais

em Fênix mostrou que 387 dos números náo tinham sido listados.No

mesmo ano, uma amostra aleatória ke 1 200 telefones em uma outra ci-

dade mostrou que 310 dos números não tinham sido listados.

a)Eneomtre o intervaks de confiança de 95e para a diferenca das duas

proporçoes e use esse intervalo de confiança para determinar se hi.

entre as duas cidades, uma diferença estatisticamente significativa

nas proporçòes de mimeros nào listados.

b) Encontre o intervakosle confiança de 90% para a diferença das duas

proporçoes e use esse intervalo de confiança para determinar se há.

ele as duns cidales, uma diterencu estatisticamente sieniticativa

nas proporçóes de números nio listados.

c) Suponha que todos os números na deserniçäo do problema tenham sido

dohraklos. Isto é. 774 residentes de 3(0X) amostras da primeira cidade

e 620 residenles ale 2400 da outra cidade tiveram numeros não lista-

dos. Repita os itens taie ib) e comente o cfeito nos seus rexultados.

se o tamanho da amostra for aumetado sem variar as proporções.

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

n 1 = 1500 n 2 = 1200 x 1 = 387 x 2 = 310

Letra a:

c = 95 % = 0.95

A proporção da amostra é o número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra:

p ^ 1 = x 1 n 1 = 387 1500 = 0.258 p ^ 2 = x 2 n 2 = 310 1200 ≈ 0.2583

Para o nível de significância 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z a / 2 = 1.96

Os pontos finais do intervalo de confiança p 1 - p 2 são então:

p ˙ 1 - p ˙ 2 - z α 2 p ^ 1 1 - p ^ 1 n 1 + p ^ 2 1 - p ^ 2 n 2 = ( 0.258 - 0.2583 ) - 1.96 0.258 1 - 0.258 1500 + 0.2583 1 - 0.2583 1200 ≈ - 0.0335 p ˙ 1 - p ^ 2 + z α / 2 p ^ 1 1 - p ^ 1 n 1 + p ^ 2 1 - p ^ 2 n 2 = ( 0.258 - 0.2583 ) + 1.96 0.258 ( 1 - 0.258 ) 1500 + 0.2583 ( 1 - 0.2583 ) 1200 ≈ 0.0329

O intervalo de confiança contém 0, que indica que as proporções da população possam ser iguais, e isso não é evidência suficiente para apoiar a afirmação de proporções da população diferentes.

Passo 2

Letra b:

Para o nível de significância 1 - α = 0.90 , determine z α / 2 = z 0.05 usando a tabela III (procure 0.05 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.64

Os pontos finais do intervalo de confiança p 1 - p 2 são então:

p ˙ 1 - p ^ 2 - z α / 2 p ^ 1 1 - p ^ 1 n 1 + p ^ 2 1 - p ^ 2 n 2 = ( 0.258 - 0.2583 ) - 1.64 0.258 1 - 0.258 1500 + 0.2583 1 - 0.2583 1200 ≈ - 0.0281 p ^ 1 - p ^ 2 + z α / 2 ⋅ p ^ 1 1 - p ^ 1 n 1 + p ^ 2 1 - p ^ 2 n 2 = ( 0.258 - 0.2583 ) + 1.64 0.258 ( 1 - 0.258 ) 1500 + 0.2583 ( 1 - 0.2583 ) 1200 ≈ 0.0275

O intervalo de confiança contém 0, que indica que as proporções da população possam ser iguais, e isso não é evidência suficiente para apoiar a afirmação de proporções da população diferentes.

Passo 3

Letra c:

A proporção da amostra é o número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra:

p ^ 1 = x 1 n 1 = 774 3000 ≈ 0.258 p ^ 2 = x 2 n 2 = 620 2400   i s   0.2583

Para o nível de significância 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.96

Os pontos finais do intervalo de confiança p 1 - p 2 são então:

p ^ 1 - p ^ 2 - z a / 2 p 1 1 - p ^ 1 n 1 + p 2 1 - p 2 n 2 = ( 0.258 - 0.258 ) - 1.96 0.258 1 - 0.258 3000 + 0.2583 1 - 0.2583 3000 ≈ - 0.0224 p ˙ 1 - p ˙ 2 + z α / 2 p ˙ 1 1 - p ^ 1 n 1 + p ^ 2 1 - p ˙ 2 n 2 = ( 0.258 - 0.2583 ) + 1.96 0.258 ( 1 - 0.258 ) 3000 + 0.2583 ( 1 - 0.2583 ) 3000 = 0.0218

Para o nível de significância 1 - α = 0.90 , determine z α / 2 = z 0.05 usando a tabela III (procure 0.05 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com o sinal oposto):

z α / 2 = 1.64

Os pontos finais do intervalo de confiança p 1 - p 2 são então:

p ^ 1 - p ^ 2 - z a / 2 p ^ 1 1 - p ^ 1 n 1 + p ^ 2 1 - p ^ 2 n 2 = ( 0.258 - 0.2583 ) - 1.64 0.258 1 - 0.258 3000 + 0.2583 1 - 0.2583 3000 ≈ - 0.0118 p ^ 1 - p ^ 2 + z α / 2 p ^ 1 1 - p ^ 1 n 1 + p ^ 2 1 - p ^ 2 n 2 = ( 0.258 - 0.2583 ) + 1.64 0.258 ( 1 - 0.255 ) 3000 + 0.25 × 3 ( 1 - 0.25 × 3 ) 3000 ≈ 0.0182

Os intervalos de confiança são menos largos à medida que o tamanho da amostra aumenta.

Resposta

  1. - 0.0335 ≤ p 1 - p 2 ≤ 0.0329 . O intervalo de confiança contém 0, que indica que as proporções da população possam ser iguais, e isso não é evidência suficiente para apoiar a afirmação de proporções da população diferentes.
  2. - 0.0281 ≤ p 1 - p 2 ≤ 0.0275 . O intervalo de confiança contém 0, que indica que as proporções da população possam ser iguais, e isso não é evidência suficiente para apoiar a afirmação de proporções da população diferentes.
  3. 95 % ; - 0.0224 ≤ p 1 - p 2 ≤ 0.0218 90 % : - 0.0118 ≤ p 1 - p 2 ≤ 0.0182 .

Os intervalos de confiança são menos largos à medida que o tamanho da amostra aumenta.

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