Enunciado

11-13. Um artigo no Jourmal of Envirommenial Engineering Dvision Lrast Squares Estimates of BOD Parameters - Estimativas de

Minimos Quadrados dos Parâmetros de DBO". 1980. Vol. 106. pp.

1197-12021 tomou uma amostra do rio Holston abaixo de Kingport.

Tennessee. durante o mês de agosto de 1977. O teste de demanla bio-

química de oxigênin (DBO) é conduzido durante um periodo de tempo

dado em dias. Os dados resultantes são mostralos a seguir:

a)Considerando que um modelo de regressão lincar seja apropriado.

ajuste o modelo de regressão relacionando DBO (y) com o tempo x. Qual é a estimativa de

b) Qual é a cstimativa do nivel esperado de DBO para um tempo de 15

dias?

c) Que variação no DBO médio é esperado quando o tempo varia por

3 dias?

d)Suponha que o tempo usado seja 6 dias. Calcule o valor ajustado de

ye o residuo correspondente.

e) Calcule ajustado para cada valor de x, usado para ajustar o mode-

lo. Construa então um gráfico de ý verstus os valores observados cor

respondentes y, e comente o que esse gráfico pareceria se a relaçào

entre ve x fosse uma linha reta deterministica (nenhum erro aleató-

rio). O gráfico obtido realmente indica que o lempo é uma variável

regressora efetiva na previsão de DBO?

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Dados:

∑ i = 1 n   x i = 111 ∑ i = 1 n   x i 2 = 1541 ∑ i = 1 n   y i = 27 ∑ i = 1 n   y i 2 = 80.36 ∑ i = 1 n   x i y i = 347.4 n = 11

Letra a:

As estimativas de mínimos quadrados da interceptação e inclinação são:

β ^ 1 = ∑ i = 1 n   x i y i - ∑ i = 1 n   x i ∑ i = 1 n   y i n ∑ i = 1 n   x i 2 - ∑ i = 1 n   x i 2 n = 347.4 - 111 27 11 1541 - ( 111 ) 2 11 ≈ 0.1781 β ^ 0 = y - - β ^ 1 x - = ∑ i - 1 n   y i n - β ^ 1 ∑ i - 1 n   x i n = 27 11 - 0.1781 111 11 ≈ 0.6578

A linha de regressão de mínimos quadrados torna-se então:

y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x = 0.6578 + 0.1781 x

Determine a soma dos erros quadrados:

S S E = S S T - β 1 S x y = ∑ i = 1 n   y i 2 - ∑ i = 1 n   y i 2 n - β 1 ∑ i = 1 n   x i y i - ∑ i = 1 n   x i ∑ i = 1 n   y i n = 80.36 - 27 2 11 - 0.1781 347.4 - 111 27 11 ≈ 0.7428

σ 2 é então estimado pela soma dos erros quadráticos divididos pelo tamanho da amostra diminuída por 2:

σ 2 ≈ S S E n - 2 = 0.7428 11 - 2 ≈ 0.0825

Passo 2

Letra b:

Substitua x na linha de regressão de mínimos quadrados por 15 e avalie:

y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x = 0.6578 + 0.1781 15 = 3.3286

Passo 3

Letra c:

Substitua x na linha de regressão de mínimos quadrados por 3 e avalie:

y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x = 0.6578 + 0.1781 3 = 1.192

Passo 4

Letra d:

Substitua x na linha de regressão de mínimos quadrados por 6 e avalie:

y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x = 0.6578 + 0.1781 6 = 1.7261

O resíduo é o valor real diminuído pelo valor previsto:

r e s í d u o = y - y ^ = 1.9 - 1.7261 = 0.1739

Passo 5

Letra e:

Os valores y estão no eixo horizontal e os valores y ^   ajustados estão no eixo vertical.

Resposta

  1. y ˙ = 0.6578 + 0.1781 x , σ 2 ≈ 0.0825
  2. 3.3286
  3. 1.192
  4. 1.7261,0.1739
  5. Sim
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