Enunciado

12-18.Considere o modelo de regressao linear

emquet=2xme=2rn.

(a)Escreva as equacoes normais de minimos quadrados para esse modelo.

(b)Verifique quc a estimativa de minimos quadradlos da intersecao nes-

se modelo eBo=yin=y.

(c)Suponha que usemos y,-ycomo a variavel de resposta no modelo

antcrior.Qual o efeito que isso tera na estimativa de minimos qua-

drados da intersecao?

Passo 1

Vamos escrever o seguinte modelo:

y i = β 0 + β 1 x i 1 - x - 1 + β 2 x i 2 - x - 2 , i = 1 , ⋯ , n

Onde definimos   x - j = ∑ i = 1 n   x i k n   com n como o número de medições.

Passo 2

Letra a:

É simples escrever as equações normais de mínimos quadrados para este modelo. Basta seguir o modelo para as equações fornecidas no livro:

n β ^ 0 + β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i 1 - x - 1 + β ^ 2 ∑ i = 1 n   x i 2 - x - 2 = ∑ i = 1 n   y i β ^ 0 ∑ i = 1 n   x i 1 - x - 1 + β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i 1 - x - 1 2 + β ^ 2 ∑ i = 1 n   x i 1 - x - 1 x i 2 - x - 2 = ∑ i = 1 n   x i 1 - x - 1 y i β ^ 0 ∑ i = 1 n   x i 2 - x - 2 + β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i 1 - x - 1 x i 2 - x - 2 + β ^ 2 ∑ i = 1 n   x i 2 - x - 2 2 = ∑ i = 1 n   x i 2 - x - 2 y i

Passo 3

Letra b:

Observe o seguinte:

∑ i = 1 n   x i 1 - x - 1 = ∑ i = 1 n   x i 1 - n x - 1 = n x - 1 - n x - 1 = 0

e similarmente

∑ i = 1 n   x i 2 - x - 2 = 0

Das primeiras equações normais agora se torna:

n β ^ 0 + β ^ 1 × 0 + β ^ 2 × 0 = ∑ i = 1 n   y i n β ^ 0 = ∑ i = 1 n   y i

levando a:

β ^ 0 = ∑ i = 1 n   y i n = y -

Passo 4

Letra c:

Temos que substituir y i - y _ por y i na equação para a interceptação. Como antes, observamos:

β ^ 0 = ∑ i = 1 n   y i - y - n = 0 n = 0

Resposta

Para a parte a) apenas procure o modelo das equações normais de mínimos quadrados no livro e escreva-as da mesma maneira, mas com as variáveis ​​alteradas.

Para a parte b) simplesmente resolva a primeira equação normal para a interceptação.

Para a parte c) calcule a interceptação da parte b) mas para a variável alterada y i

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